精品解析：河北唐山市乐亭县2024-2025学年学年中考数学第四次学情自测试卷

唐山市乐亭县2024-2025学年中考数学四模试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在中， ，，，点 在 上，以 为对角线的所有平行四边形中， 的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定和性质．由平行四边形的对角线的交点是 的中点O，当时，最小，即 最小，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：平行四边形的对角线的交点是 的中点O，当时，最小，即 最小． ∵，， ∴， 又∵四边形的平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣2，﹣3） C. （2，﹣1） D. （﹣3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可． 【详解】根据第二象限的点的坐标的特征：横坐标符号为负，纵坐标符号为正，各选项中只有C（﹣3，1）符合，故选D． 【点睛】本题考查点的坐标的性质，解题的关键是掌握点的坐标的性质. 3. 如果与互补，与互余，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】解：∵∠1+∠2=180° ∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠3=90° ∴∠3=90°-∠2 ∴∠1-∠3=90°，即∠1=90°+∠3． 故选：C． 【点睛】此题考查余角和补角，熟练掌握互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度是解题关键． 4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. a＜﹣1 B. ab＞0 C. a﹣b＜0 D. a+b＜0 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案． 【详解】选项A，从数轴上看出，a在﹣1与0之间， ∴﹣1＜a＜0， 故选项A不合题意； 选项B，从数轴上看出，a在原点左侧，b在原点右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴ab＜0， 故选项B不合题意； 选项C，从数轴上看出，a在b的左侧， ∴a＜b， 即a﹣b＜0， 故选项C符合题意； 选项D，从数轴上看出，a在﹣1与0之间， ∴1＜b＜2， ∴|a|＜|b|， ∵a＜0，b＞0， 所以a+b＝|b|﹣|a|＞0， 故选项D不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小. 5. 如图，四边形中， 垂直平分 ，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故 平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵ 垂直平分 ， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 6. 已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2， ∴2×2+a﹣9=0， 解得a=5． 故选D．　 7. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】易证△CFE∽△BEA，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】若点E在BC上时，如图 ∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°， ∴∠CFE＝∠AEB， ∵在△CFE和△BEA中， ， ∴△CFE∽△BEA， 由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，BE＝CE＝x﹣，即， ∴， 当y＝时，代入方程式解得：x1＝（舍去），x2＝， ∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB＝， ∴矩形ABCD的面积为2×＝5； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键． 8. 如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC=100°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若∠2=32°，则∠1的大小为（　　） A. 32° B. 42° C. 46° D. 48° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可. 【详解】∵a∥b， ∴∠BCA=∠2， ∵∠BAC=100°，∠2=32° ∴∠CBA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-100°-32°=48°. ∴∠1=∠CBA=48°. 故答案选D. 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质. 9. 如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是⊙O优弧弧AB上一点，连接AC、BC，如果∠P=∠C，⊙O的半径为1，则劣弧弧AB的长为（　　） A. π B. π C. π D. π 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线的性质得∠OAP=90°，再利用圆周角定理得到∠C=∠O，加上∠P=∠C可计算写出∠O=60°，然后根据弧长公式计算劣弧 的长． 【详解】解：∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP=90°， ∵∠C=∠O，∠P=∠C， ∴∠O=2∠P， 而∠O+∠P=90°， ∴∠O=60°， ∴劣弧AB的长= ． 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和弧长公式． 10. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由矩形的性质的可得，可得即可求解． 【详解】解：由矩形的性质的可得，， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形与折叠的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 11. 下列等式正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3n+3n+3n=3n+1 C. a3+a3=a6 D. （ab）2=a 【答案】B 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答； （2）根据合并同类项进行解答； （3）根据合并同类项进行解答； （4）根据幂的乘方进行解答. 【详解】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误； B、3n+3n+3n=3n+1，正确； C、a3+a3=2a3，故此选项错误； D、（ab）2=a2b，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查整数指数幂和整式的运算，解题关键是掌握各自性质. 12. 已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质进行判断． 【详解】解：∵，电压为定值， ∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分． A．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点是直线上一点，则点 与其对应点间的距离为__________． B．比较__________的大小． 【答案】 ①. 5 ②. ＞ 【解析】 【分析】A：根据平移的性质得到OA′＝OA，OO′＝BB′，根据点A′在直线求出A′的横坐标，进而求出OO′的长度，最后得到BB′的长度；B：根据任意角的正弦值等于它余角的余弦值将sin53°化为cos37°，再进行比较. 【详解】A：由平移的性质可知，OA′＝OA＝4，OO′＝BB′.因为点A′在直线上，将y＝4代入，得到x＝5.所以OO′＝5，又因为OO′＝BB′，所以点B与其对应点B′间的距离为5.故答案为5. B：sin53°＝cos（90°－53°）＝cos37°， tan37°＝ ， 根据正切函数与余弦函数图像可知，tan37°＞tan30°，cos37°＞cos45°， 即tan37°＞ ，cos37°＜ ， 又∵，∴tan37°＜cos37°，即sin53°＞tan37°.故答案是＞. 【点睛】本题主要考查图形的平移、一次函数的解析式和三角函数的图像，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键. 14. 在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：如图，设AH＝x，GB＝y， ∵EH∥BC， ， ∵FG∥AC， ， 由①②可得x＝，y＝2， ∴AC＝，BC＝7， ∴S△ABC＝， 故答案为． 【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 15. 如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】解∶∵∠AOB=∠COD， ∴S阴影=S△AOB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=×4=2． ∵AB⊥AC， ∴S阴影=S△AOB=OA•AB=×2×4=4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算等知识，解题的关键是判断出阴影部分的面积等于△AOB的面积． 16. 计算的结果等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行展开，然后再进行同类项合并即可. 【详解】解： . 故填. 【点睛】主要考查的是完全平方公式及二次根式的混合运算，注意最终结果要化成最简二次根式的形式. 17. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得， ∵关于x的分式方程无解， ∴，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：． 18. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式-y，再运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式= = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，综合运用这两种方法分解因式，是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75 【答案】景点A与B之间的距离大约为280米 【解析】 【分析】由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=37°，∠B=45°且PA=200m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长． 【详解】解:如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°， 由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m． 在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°， ∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=120． 在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°， ∴BC=PC=120． ∴AB=AC+BC=160+120=280（米）． 答：景点A与B之间的距离大约为280米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 20. 如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标； （3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）（，）或（﹣，）． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式； （2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标； （3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标． 【详解】（1）∵B（2，t）在直线y=x上， ∴t=2， ∴B（2，2）， 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点， ∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t）， ∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t， ∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t， ∵△OBC的面积为2， ∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1， ∴C（1，﹣1）； （3）存在．设MB交y轴于点N， 如图2， ∵B（2，2）， ∴∠AOB=∠NOB=45°， 在△AOB和△NOB中， ∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO， ∴△AOB≌△NOB（ASA）， ∴ON=OA=， ∴N（0，）， ∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=， ∴直线BN的解析式为，联立直线BN和抛物线解析式可得：，解得：或， ∴M（，）， ∵C（1，﹣1）， ∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2）， ∴OB=，OC=， ∵△POC∽△MOB， ∴，∠POC=∠BOM， 当点P在第一象限时 ，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3 ∵∠COA=∠BOG=45°， ∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO， ∴△MOG∽△POH， ∴ ∵M（，）， ∴MG=，OG=， ∴PH=MG=，OH=OG=， ∴P（，）； 当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H， 同理可求得PH=MG=，OH=OG=， ∴P（﹣，）； 综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况． 21. （）如图①已知四边形中，，BC=b，，求： ①对角线长度的最大值； ②四边形的最大面积；（用含，的代数式表示） （）如图②，四边形是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：，，，，请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号） 【答案】（1）①；②；（2）150＋475＋475. 【解析】 【分析】（1）①由条件可知AC为直径，可知BD长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC，求得AD2＋CD2，利用不等式的性质可求得AD•CD的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值； （2）连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，可先求得△ABC的面积，结合条件可求得∠D＝45°，且A、C、D三点共圆，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，再求得 △ACD′的面积即可． 【详解】（1）①因为∠B＝∠D＝90°，所以四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，则BD长度的最大值为AC，此时BD＝， ②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝ADCD≤（AD2＋CD2）＝（a2＋b2），所以四边形ABCD的最大面积＝（a2＋b2）＋ab＝； （2）如图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E，因为AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，所以AE＝ABsin60°＝10，EB＝ABcos60°＝10，S△ABC＝AEBC＝150，因为BC＝30，所以EC＝EB＋BC＝40，AC＝＝10，因为∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，所以∠D＝45°，则△ACD中，∠D为定角，对边AC为定边，所以，A、C、D点在同一个圆上，做AC、CD中垂线，交点即为圆O，如图， 当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D’，交AC于F，FD’即为所求最大值，连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD’C＝90°，OA＝OC，所以△AOC，△AOF等腰直角三角形，AO＝OD’＝5，OF＝AF＝＝5,D’F＝5＋5，S△ACD’＝ACD’F＝5×（5＋5）＝475＋475，所以Smax＝S△ABC＋S△ACD＝150＋475＋475. 【点睛】本题为圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理、不等式的性质、解直角三角形及转化思想等．在（1）中注意直径是最长的弦，在（2）中确定出四边形ABCD面积最大时，D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，计算量很大，难度适中． 22. 矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是 边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边 交于点E； （1）当点F运动到边 的中点时，求点E的坐标； （2）连接，求的正切值； （3）如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得点 、 的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标； （2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到 、的值，再利用计算即可； （3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式． 【小问1详解】 解：、， 、， 点F是边 的中点， ， 点F在反比例函数的图像上， ， ， 反比例函数的解析式为， 将点的纵坐标代入得：， ， ； 【小问2详解】 解：点的横坐标为， ， ， 点的纵坐标为， ， ， 在中，； 【小问3详解】 解：过点E作于点H，如图： 、， ， 由折叠可知，、、， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 此时反比例函数的解析式为． 23. 据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．（参考数据：sin14°=0.24，cos14°=0.97，tan14°=0.25） 【答案】客车不能通过限高杆，理由如下： ∵DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠EDF=∠ABC=14°． 在Rt△EDF中，∠DFE=90°， ∵cos∠EDF=， ∴DF=DE•cos∠EDF=2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47． ∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米， ∴客车不能通过限高杆． 【解析】 【分析】根据DE⊥BC，DF⊥AB，得到∠EDF=∠ABC=14°．在Rt△EDF中，根据cos∠EDF=，求出DF的值，即可判断. 【详解】略 【点睛】考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键. 24. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 【答案】（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元； （2）当且  为整数时，； 当且  为整数时，； 当且  为整数时，； （3）公司应将最低销售单价调整为2875元 【解析】 【分析】（1）设件数为x，则销售单价为元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解； （2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2800元，按，，多种情况列出函数关系式即可； （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价． 【详解】解：（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元， 由题意得：，解得：． 即商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元； （2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得： 当且  为整数时，， 当且  为整数时，， 当且  为整数时，； （3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大， 所以y随x增大而增大，函数，均是y随x增大而增大， 而， 在时，y随x增大而增大， 由上述分析得x的取值范围为：时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为元， 答：公司应将最低销售单价调整为2875元． 【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 25. 某校航模小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒，A在地面C的北偏东12°方向，B在地面C的北偏东57°方向．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 【答案】29.8米． 【解析】 【分析】作，，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出与的长度，由求出的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如图，作，， 由题意得： 米， 米， 则 米， 答：这架无人飞机的飞行高度为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 26. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台 型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米? (2)若不同数量的型和 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元? 【答案】（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台 型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）共有三种调配方案．方案一: 型挖掘机7台, 型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台, 型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台, 型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元． 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意列出方程组即可； （2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 详解：(1)设每台型, 型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得 解得 所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台 型挖掘机一小时挖土15立方米． (2)设型挖掘机有台,总费用为元,则 型挖掘机有台．根据题意,得 ， 因为，解得， 又因为,解得,所以． 所以,共有三种调配方案． 方案一:当时, ,即型挖掘机7台, 型挖掘机5台； 方案二:当时, ,即型挖掘机8台, 型挖掘机4台； 方案三:当时, ,即型挖掘机9台, 型挖掘机3台． ,由一次函数的性质可知,随的减小而减小, 当时，， 此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元． 点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题． 27. 如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点 ，经过点 的直线交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，过点作的平行线交抛物线于另一点 ，点是抛物线上位于线段 下方的一个动点，连接，求四边形面积的最大值； （3）如图3，连接 ，将绕点逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线交于点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）9 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线，求出的值即可； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，进而求得直线 的解析式，设，则，表示出，用配方法求出它的最大值， 联立方程求出点 的坐标，进一步可知，然后计算四边形EAPD面积的最大值即可； （3）分、和三种情况，分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点P作轴交AD于点G， 设直线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ，设直线 的解析式为， 将点，可得，解得， ∴直线 的解析式为， 设，则， 则， ∴当 时，的值最大，最大值为2， 由，解得 或， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①如下图，当时，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 可得； ②如下图，当时， 设点， ∵， ∴， 解得， ∴或； ③当时，如下图，过点作轴，交点为， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件点点Q坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市乐亭县2024-2025学年中考数学四模试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在中，，，，点 在 上，以为对角线的所有平行四边形中， 的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在平面直角坐标系中，位于第二象限的点是（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣2，﹣3） C. （2，﹣1） D. （﹣3，1） 3. 如果与互补，与互余，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. a＜﹣1 B. ab＞0 C. a﹣b＜0 D. a+b＜0 5. 如图，四边形 中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A. B. 5 C. 6 D. 8. 如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC=100°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若∠2=32°，则∠1的大小为（　　） A. 32° B. 42° C. 46° D. 48° 9. 如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是⊙O优弧弧AB上一点，连接AC、BC，如果∠P=∠C，⊙O的半径为1，则劣弧弧AB的长为（　　） A. π B. π C. π D. π 10. 如图所示，将长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为 ，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 下列等式正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3n+3n+3n=3n+1 C. a3+a3=a6 D. （ab）2=a 12. 已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分． A．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点是直线上一点，则点与其对应点间的距离为__________． B．比较__________的大小． 14. 在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 15. 如图，平行四边形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为_____． 16. 计算的结果等于__________． 17. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_____ 18. 分解因式：______． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75 20. 如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标； （3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （）如图①已知四边形中，，BC=b，，求： ①对角线长度的最大值； ②四边形的最大面积；（用含，的代数式表示） （）如图②，四边形是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：，，，，请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号） 22. 矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是 边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E； （1）当点F运动到边 的中点时，求点E的坐标； （2）连接 ，求的正切值； （3）如图2，将沿 折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 23. 据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．（参考数据：sin14°=0.24，cos14°=0.97，tan14°=0.25） 24. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 25. 某校航模小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒，A在地面C的北偏东12°方向，B在地面C的北偏东57°方向．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 26. 为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米? (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元? 27. 如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点 ，经过点的直线交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，过点作的平行线交抛物线于另一点 ，点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，求四边形面积的最大值； （3）如图3，连接，将绕点逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线交于点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $