精品解析：浙江省台州市临海市东塍镇中学2025-2026学年九年级上学期数学期末综合作业

九年级数学期末综合作业 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 可能性很大的事件就必然发生 B. 可能性很小的事件也可能会发生 C. 如果一个事件不可能发生，那么它就是必然事件 D. 如果在一次试验过程中有一个事件没有发生，那么这个事件就是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的分类：必然事件，不可能事件，随机事件逐项判断即可． 【详解】A选项中，可能性很大的事件是随机事件，仍有不发生的可能，错误； B选项中，可能性很小的事件是随机事件，存在发生的可能，正确； C选项中，不可能发生的事件是不可能事件，并非必然事件，错误； D选项中，一次试验未发生的事件可能是随机事件，后续试验仍可能发生，不是不可能事件，错误． 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个解 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程为， 则判别式， 又由于， 则，即， 因此，该一元二次方程有两个不相等实数根， 故选：B． 5. 如图，与相切于点，，的半径3，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，通过切线的性质得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∵，的半径3， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把A点的横、纵坐标都乘以即可求解． 【详解】解：∵把按位似比为缩小，且在原点异侧，点A的对应点为点C， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． 7. 已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 若，则函数值取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本根据k的正负判断图象所在象限、增减性，再逐一验证选项即可． 【详解】解：由于反比例函数为， 则其图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 故A错误，C正确， 当时，，则图象经过点，而非， 故B错误， ∵当时，，当时，， ∴当时，或， 故D错误． 8. 如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知，，结合垂径定理，可求得，然后利用勾股定理在以及中可分别求得以及． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ） A. 的大小 B. 的长度 C. 的长度 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理即可判断A；过点O作于点D，根据垂径定理得到，求出，，进而可判断B；根据弧长公式即可求出的长度，进而可判断C；根据现有条件求出不能求出的面积，进而得到答案． 【详解】∵ ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点O作于点D ∵的半径是， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵，但点C的位置不固定，即点C到的距离不固定 ∴的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，先证明，得到，不妨设点横坐标为，那么点横坐标为，，，最后利用这两点纵坐标比等于求得答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∴， ∵， ∴， 不妨设点横坐标为，那么点横坐标为， ∵射线分别与二次函数，的图象交于点A，B， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，则________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用同弧所对的圆周角相等解题即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 高速收费站推行（电子不停车收费系统）可以有效节约人工成本，提高道路通行效率．某高速收费站出口有通道1，通道2，通道3，共3个通道，所有车辆均可从3个通道中随机通过．甲车经过该收费站时，选择从通道1通过的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率计算公式即可求解． 【详解】甲车经过该收费站时，有3种选择通道通过的方式，选择通道1通过的方式只有1种， 则选择通道1通过的概率是． 13. 已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得母线长，继而根据弧长公式求得弧长，根据圆锥的侧面展开图的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24， ∴圆锥的母线长， ∵圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， ∴圆锥侧面展开图的面积． 14. 如图，在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，然后利用相似三角形对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点的横坐标是点的横坐标的3倍．一次函数图象与坐标轴的交点为，，若的面积是8，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】不妨设，将其代入，得到，可求得，，通过，求得，那么有，然后解得答案即可． 【详解】解：不妨设， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B， ∴， ∴， 把代入，解得； 把代入，解得； ∵一次函数图象与坐标轴的交点为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将原方程转化为，然后用因式分解法解题即可； （2）利用公式法即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： 这里， ∴ ∴， ∴，； 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出旋转后的，并写出旋转后的三角形的各顶点坐标． （2）求旋转过程中顶点A经过的路线长（结果保留）． 【答案】（1）作图见解析，，，和 （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转变换和圆的弧长计算，解题关键在于掌握旋转变换的坐标变化规则和弧长的计算方法； （1）根据当一个点绕原点逆时针旋转时，坐标变换规则为变为．利用此规则，求得旋转后的三角形的顶点坐标，利用旋转的性质得出对应点位置，画图即可； （2）根据勾股定理求得，利用弧长公式即可求的点所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求， 旋转后的三角形的顶点坐标分别为，，和． 【小问2详解】 解：如图所示： ， ， 点到旋转中心（原点）的距离（即圆的半径）为， ∵旋转 ， ∴路径长为， ∴点A旋转到所经过的路径长为． 19. 商场里新上市一套衣服，上衣有棕色，蓝色和白色三种不同颜色，裤子有黑色和白色两种不同颜色．这些上衣和裤子除了颜色不同，其他都一样． （1）求上衣和裤子各取一件可以配成多少套不同的衣服； （2）若任意拿出1件上衣和1条裤子，求正好是白色套装的概率．（请列出表格或画出树状图）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能； （2）画出树状图，再利用概率计算公式求解． 【小问1详解】 解：棕色上衣搭配黑色裤子； 棕色上衣搭配白色裤子； 蓝色上衣搭配黑色裤子； 蓝色上衣搭配白色裤子； 白色上衣搭配黑色裤子； 白色上衣搭配白色裤子； 可知，上衣和裤子各取一件可以配成6套不同的衣服； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求出该反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式：的解集． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据图象找到一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 反比例函数的解析式为． 把代入，得． 把，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，故的解集为：或． 21. 某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人次，若进馆人次月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为20%；（2）到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，见解析 【解析】 【分析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据第三个月进馆达到288次，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第五个月的进馆人次，再与400比较大小即可． 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得： 200 (1+x)2=288 解得：x1=0.2，x2=﹣2.2(舍去)． 答：进馆人次的月平均增长率为20%． （2）第四个月进馆人数为288(1+0.2)=345.6(人次)，第五个月进馆人数为288(1+0.2)2=414.72(人次)， 由于400＜414.72． 答：到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，列出方程是解答本题的关键．本题难度适中，属于中档题． 22. 如图，在中，，为中点，连接，相交于点．过点作交于点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质，证明，然后利用相似三角形对应边成比例解题即可； （2）通过平行线分线段成比例，可得，再证明，得到，从而得到，推出，从而得出答案． 【小问1详解】 解：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 为的中点， ． ，， ， ，即． ， ， ，即． ， ， ． ． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）若抛物线与轴只有一个交点，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与轴有两个交点，设抛物线与轴的两个交点分别为A，B，与轴的交点为，已知的面积为3，求的值； （3）若当时，始终成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得方程只有一个实数根，然后根据解题即可； （2）根据，可求得，根据时，可求得，那么，，最后通过解答即可； （3）先求得该函数过，，，那么当时，该函数开口向上，，可知当，在时，取得最小值，始终成立；当时，该函数开口向下，则需满足，那么有，从而求得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线（为常数，）与轴只有一个交点, ∴对于方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即， ∴， 当时，， ∵抛物线与轴的两个交点分别为A，B，与轴的交点为， ∴，， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：当时，； 当时，， 即， ∴， ∴该函数过，，， 当时，该函数开口向上，， ∴当时，在处取得最小值， ∴当，时，始终成立； 当时，该函数开口向下，， ∵当时，始终成立， ∴， ∴； 综上，或． 24. 如图1，已知的半径是5，，点在上，连接，． （1）如图2，若． ①求证：是等边三角形； ②求弦的长． （2）如图3，连接，若． ①当时，求证：； ②直接写出的最大值． 【答案】（1）①见解析；② （2）①见解析；②50 【解析】 【分析】（1）①根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形证明即可；②连接，作于，先求得，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，从而得出答案； （2）①连接，，过点作于点，连接，先证明、、三点共线，不妨设，利用，求得，得到，，接着证明，得到，不妨设，那么，再证，即可得到，即可得证；②延长至点，使得，连接，通过证明得到，进而证明，则有，推出，即，再结合即可得出答案． 【小问1详解】 证明：①∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②连接，作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，，过点作于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 不妨设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，连接，，使得，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长至点，使得，连接，如图所示： 由①得，，， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是5，是的弦， ∴， ∴，即， ∴的最大值为50． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期末综合作业 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 可能性很大事件就必然发生 B. 可能性很小的事件也可能会发生 C. 如果一个事件不可能发生，那么它就是必然事件 D. 如果在一次试验过程中有一个事件没有发生，那么这个事件就是不可能事件 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个解 5. 如图，与相切于点，，的半径3，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内把按位似比为缩小，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 若，则函数值取值范围是 8. 如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ） A. 的大小 B. 的长度 C. 的长度 D. 的面积 10. 如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，中，，则________． 12. 高速收费站推行（电子不停车收费系统）可以有效节约人工成本，提高道路通行效率．某高速收费站出口有通道1，通道2，通道3，共3个通道，所有车辆均可从3个通道中随机通过．甲车经过该收费站时，选择从通道1通过的概率是________． 13. 已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 14. 如图，在中，，，，则________． 15. 已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点的横坐标是点的横坐标的3倍．一次函数图象与坐标轴的交点为，，若的面积是8，则________． 三、解答题（本题有8个小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出旋转后的，并写出旋转后的三角形的各顶点坐标． （2）求旋转过程中顶点A经过的路线长（结果保留）． 19. 商场里新上市一套衣服，上衣有棕色，蓝色和白色三种不同颜色，裤子有黑色和白色两种不同颜色．这些上衣和裤子除了颜色不同，其他都一样． （1）求上衣和裤子各取一件可以配成多少套不同的衣服； （2）若任意拿出1件上衣和1条裤子，求正好是白色套装的概率．（请列出表格或画出树状图）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求出该反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式：解集． 21. 某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人次，若进馆人次的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，并说明理由． 22. 如图，在中，，为的中点，连接，相交于点．过点作交于点． （1）求的长； （2）求的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（常数，）． （1）若抛物线与轴只有一个交点，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与轴有两个交点，设抛物线与轴的两个交点分别为A，B，与轴的交点为，已知的面积为3，求的值； （3）若当时，始终成立，直接写出的取值范围． 24. 如图1，已知的半径是5，，点在上，连接，． （1）如图2，若． ①求证：是等边三角形； ②求弦的长． （2）如图3，连接，若． ①当时，求证：； ②直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $