1.2等腰三角形第3课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 第3课时 学 习 目 标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理;(重点) 2.掌握含有30°角的直角三角形的性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题．(难点) 知识回顾 1.等腰三角形的判定定理： 的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 2.反证法的一般步骤: 1. 假设: 先假设命题的结论 ; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设 ,从而肯定命题的结论正确. 不成立 相矛盾 不正确 有两个角相等 情境引入 问题：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形又满足什么条件时是等边三角形呢？ A B C 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个条件： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明你的结论吗？并与同伴进行交流. 新知探究 探究一：等边三角形的判定 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. A B C 证明：∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理的证明： 转化为几何语言 新知探究 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？还有另一种情形吗？ 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. A B C 转化为几何语言 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 新知探究 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． A C B 60° 第二种情况：有一个底角是60°. 【验证】 新知探究 等边三角形的判定定理： 知识归纳 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形. A B C ∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C， ∴ △ABC是等边三角形. ∵AB＝AC，∠A＝ 60°, 或（AB=AC，∠B=60°） ∴ △ABC等边三角形. ∵AB＝BC＝CA， ∴ △ABC是等边三角形. 还有其他判定等边三角形的方法吗？ 新知探究 1.下列说法不正确的是 (　　)A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角为60°的三角形是等边三角形 D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形 C 新知探究 探究二：含30°角的直角三角形的性质 (1)用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？你能拼成一个等边三角形吗？ 30° 30° 30° 30° 等边三角形 等腰三角形 新知探究 如图，两个完全相同的含 30°角的三角尺，可以拼成一个等边三角形. 由此可以发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半. (2)在上述拼接过程中，你发现了什么结论？ 请证明你的结论. D 新知探究 已知:如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°. 求证:BC=AB. A B C ∵ ∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°. ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS） . ∴ AB=AD（全等三角形的对应边相等）. 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）. ∵∠BAC=30°，∠ACD=90°， ∴∠B=180°-30°-90°=60°. ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)， ∴BC=BD=AB． 证明: 如图，延长BC至D，使CD=BC，连接AD. 新知探究 含30°角的直角三角形的性质定理： 知识归纳 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC=AB(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)． A B C 30° 推论：BC:AC:AB=1::2. 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC的长为(　　) A.6 B.6 C.6 D.12 新知探究 A 典例分析 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，ED的延长线交 BC的延长线于F，EF⊥AB，CD=CF且∠F=30°.求证:△ABC是等边三角形. 例1 证明:∵CD=CF, ∴∠CDF=∠F=30°， ∵∠ACB=∠CDF+∠F=60°， ∵EF⊥AB， ∴∠F+∠B=90°， ∴∠B=60°， ∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠ACB， ∴△ABC是等边三角形. 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 例2 典例分析 C B A D 已知：如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. 解：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°， ∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30° (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC=90°， ∴CD=AC(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半), ∴CD=AB. 巩固练习 2.如图所示，AC=BC=10 cm，∠B=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 1.如图所示,已知△ABC,D是BC上的一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是(　　)A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C C 3.如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．若CE=9，则AB的长为（    ） A．8 B．4 C．5 D．6 巩固练习 D 4.如图所示，已知∠AOB=60∘，点P在OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM的长度为（    ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm B 巩固练习 6.如图所示,一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为　　　　m. 5.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①所示,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是　　　cm. 18 12 巩固练习 7.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明: ∵ AB=BC， ∴△ABC是等边三角形. 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， 巩固练习 8.已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D． 求证:BD= D A C B 30° 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90° ∴BC=，∠B=60°． ∴∠BCD=30°， ∴BD= ∴BD=. 巩固练习 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=60cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 解：∵在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵AB=60cm，点P的运动速度为2cm/s， ∴0≤t≤30， ∵点P的运动时间为 t s， ∴AP=2t cm，BQ=t cm， ∴BP=60−2tcm， 当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60−2t=t， 解得：t=20； ∴当t=20时，△PBQ为等边三角形. 课堂小结 等腰三角形3 等边三角形的判定定理 含30°角的直角三角形的性质定理 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 作业布置 1.必做题：习题1.2第8，9，13题。 2.探究性作业：习题1.2第14，15题。 感谢聆听! $