21.3.2菱形(九大题型)同步练习2025-2026学年 人教版八年级数学下册

21.3.2菱形（九大题型） 1．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 由菱形的性质和等边三角形的性质得到，，，设，则，，根据列方程求解即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，是等边三角形， ，． 又， ，， ． ∵四边形是菱形， ，， ． 设，则，． ， ， ，即． 故答案为：． 6．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及勾股定理，解答关键是根据折叠的条件推出． 过作于，过作于，可求得，，根据勾股定理求得， ，根据折叠可知：，， ，然后证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：过作于，过作于，如图： ， 由已知，，菱形的面积为，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠可知：， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 7．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线的性质得到，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 【点睛】注意三角形中位线平行于底边且等于底边的一半． 8．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 9．如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握菱形的性质是解题的关键．首先求出，然后求出，得到即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 10．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 11．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是 ． 【答案】24 【分析】题目主要考查菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意是解题关键． 根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：如图，在菱形中，． ∴，， ∴ ． ∴面积 故答案为：24． 12．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 14．已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 【答案】A 【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 直接代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半， ∴该菱形的面积=， 故选：A． 15．如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 菱形是四边相等的平行四边形，具有四边相等、对角线互相垂直、轴对称和中心对称等性质，但对角线不一定相等，即可解答． 【详解】解：A．菱形的定义是四边相等的四边形，该项正确； B．菱形的对角线互相垂直平分，该项正确； C．菱形的对角线不一定相等（仅正方形等特殊菱形对角线相等），该项不正确； D．菱形是轴对称图形（对称轴为对角线所在直线）和中心对称图形（对称中心为对角线交点），该项正确． 故选：C． 17．如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据菱形的性质，菱形的四条边相等且对角相等，可得到，；再结合题目已知条件，利用角角边的全等判定条件，即可证明与全等． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴． 18．如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．如图，点是菱形内一点，连接、、，．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 利用已知条件与菱形的性质，可证明，即可得证． 【详解】证明：∵菱形， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ∴． 20．如图，点E是菱形内一点，连接、，点F在下方，连接、，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，根据菱形的性质得出，，结合已知条件可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．如图，在下列条件中，能够判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，熟练掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形这一判定方法是解题的关键．根据菱形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，所以选A 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：A． 22．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件： （写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 23．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 24．如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 25．如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； B、由有一组邻边相等的平行四边形为菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； C、∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，符合题意； 故选D． 26．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是 ． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 27．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（ ）． ∴ ， ∵，， ∴AF垂直平分线段BE， ∴ ， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】见解析，；；；； 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 本题根据平行四边形的性质证得，然后通过垂直平分线的性质得到，然后即可求解； 【详解】证明：如图所示， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；；； 28．如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形中位线定理和菱形的判定．由题意知，，，是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有，根据四边相等的四边形是菱形判定作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴, ∵D，E，F分别为三边，，的中点， ∴, , , ∵，，是的中位线， ∴,,, ∴， ∴四边形、四边形、四边形是菱形， 即图中有3个菱形． 故选B． 29．如图，已知矩形，点E，F分别在和上，将矩形折叠，使点E和点F重合． (1)请用无刻度的直尺和圆规画出折痕，点G在上，点H在上（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接和，证明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查矩形的性质，菱形的判定定理，线段垂直平分线的作法， （1）折痕垂直平分线段，则只需要作线段的垂直平分线分别交于点G，交于点H； （2）由折叠的性质得到，可证明得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组两边相等的平行四边形是菱形可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，设交于点O， 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 30．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、三线合一，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据等腰三角形的判定和性质得出，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 31．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 32．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 33．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 34．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 35．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质．根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 36．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形．根据六边形的各个内角相等，即可得出，，都是等边三角形，由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形，再根据，，即可得到． 【详解】解：∵六边形的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为，每个外角都是， ∴，，都是等边三角形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，即， 又， ∴， 由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 37．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 38．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 39．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 40．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 41．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∴， ∴，故②正确； ，故③错误； 是的垂直平分线， ∴， ∴， 即的最小值是9，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 42．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解： 、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 43．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 44．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形中位线定理、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理分别求出，根据菱形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：，点，分别为的中点， ， 点为的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：，点分别为边，的中点， ， ． ， 四边形是菱形， ， 45．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形（九大题型） 题型一、利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为 ． 2．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为 ． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为 ． 题型二、利用菱形的性质求线段长 6．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为 ． 7．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为 ． 9．如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三、利用菱形的性质求面积 11．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积是 ． 12．如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 14．已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（   ） A．6 B．11 C．16 D．9 15．如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于 ． 题型四、利用菱形的性质证明 16．如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（   ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形，又是中心对称图形 17．如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 18．如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 19．如图，点是菱形内一点，连接、、，．求证：． 20．如图，点E是菱形内一点，连接、，点F在下方，连接、，已知，，求证：． 题型五、添加一个条件使四边形变成菱形 21．如图，在下列条件中，能够判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件： （写出一种情况即可），使四边形是菱形． 23．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 24．如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 25．如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 题型六、菱形的判定 26．如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是 ． 27．由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（ ）． ∴ ， ∵，， ∴AF垂直平分线段BE， ∴ ， ∴， ∴四边形是菱形． 28．如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．如图，已知矩形，点E，F分别在和上，将矩形折叠，使点E和点F重合． (1)请用无刻度的直尺和圆规画出折痕，点G在上，点H在上（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接和，证明四边形为菱形． 30．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 题型七、根据菱形的性质与判定求角度 31．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 32．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是 ． 33．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 34．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型八、根据菱形的性质与判定求线段长 36．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 37．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为 ． 38．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 39．如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 40．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 题型九、根据菱形的性质与判定求面积 41．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 42．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 43．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 44．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 45．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $