专题23.4三角形的中位线与重心 优等生讲义 (11大考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学下册

本讲义聚焦三角形中位线与重心核心知识点，系统梳理中位线的定义、性质及判定，重心的概念、性质与中线联系，延伸至中点四边形应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架，覆盖11大考点。 资料以思维导图总览知识体系，通过11类题型精讲（含实际应用、动点问题等）培养数学眼光（如几何直观）、数学思维（如推理意识），压轴题强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固查漏，提升综合解题能力。

专题23.4 三角形的中位线与重心 优等生讲义 (11大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 理解并掌握 三角形中位线的定义、性质与判定方法 · 理解并掌握 三角形重心的概念、性质及其与中线的联系 · 熟练运用 中位线定理和重心性质解决线段、角度、面积问题 · 掌握 中点四边形、特殊平行四边形中的中位线应用 · 体会 构造中位线、利用重心转化线段的思想方法 ✨ 核心思想：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；重心将中线分成2:1两部分 知识梳理 · 核心概念与定理 ☆ 三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ☆ 三角形中位线定理 · 中位线平行于第三边 · 中位线等于第三边的一半 · 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形 ☆ 重心定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 ☆ 重心性质 · 重心将每条中线分成2:1的两部分（顶点到重心:重心到对边中点） · 重心与三角形顶点的连线将三角形分成面积相等的六个小三角形 · 重心到三角形顶点的距离平方和最小等性质 ☆ 中点四边形 · 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 · 若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形 · 若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形 · 若原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形 核心考点 · 11类题型精讲 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题 ❤知识点/方法 · 中位线定理：DE∥BC且DE=½BC，用于求线段长、角度、面积。 · 构造中位线：已知中点时，连接中点构造中位线，转化线段关系。 · 综合应用：结合等腰三角形、直角三角形、全等三角形求解。 · 中点+平行：有中点和平行时，可构造中位线或全等三角形。 【例题1】 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【例题2】 （25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 【例题3】 （24-25九年级上·上海·月考）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于________．     【例题4】 （24-25八年级上·上海·期中）如图，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)当点是的中点时，判断的形状． 【考点2】与三角形中位线有关的证明 ❤知识点/方法 ·证明线段相等：利用中位线等于第三边的一半，结合已知条件证明。 ·证明线段平行：中位线平行于第三边，常用于证明平行四边形。 ·证明角相等：由平行线性质得到角相等。 ·构造辅助线：取中点构造中位线，转移线段或角度。 【例题5】 （24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【例题6】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【例题7】 （2025·上海崇明·二模）如图，在等腰梯形中， ，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 【例题8】 （23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么__________米． 【考点3】三角形中位线的实际应用 ❤知识点/方法 ·测量问题：利用中位线性质测量不可直接到达的两点距离。 ·几何构图：在复杂图形中识别或构造中位线，简化问题。 ·中点+平行：通过中点和平行线构造平行四边形或全等三角形。 【例题9】 （2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 【例题10】 （23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______．    【例题11】 （25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为__________． 【考点4】重心的概念 ❤ 知识点/方法 ·重心定义：三条中线的交点，常用字母G表示。 ·重心与中线：重心将每条中线分成2:1的两段。 ·重心与面积：重心与顶点连线将三角形分成面积相等的六个小三角形。 【例题12】 （23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 【例题13】 （24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等边三角形边长为1，点D，E，F分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论中正确的是（ ） ①是等边三角形；②；③的面积为与面积之比为；④的外心与的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【例题14】 （25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【例题15】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 ．求证： ． 【考点5】重心的有关性质 ❤知识点/方法 ·线段比例：AG:GD=2:1，BG:GE=2:1，CG:GF=2:1。 ·面积比例：S△GBC = S△GCA = S△GAB = 1/3 S△ABC。 ·重心+勾股：在直角三角形中，结合重心和中线求线段长。 ·重心+中位线：重心与中位线结合，构造平行四边形或三角形。 【例题16】 （25-26九年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【例题17】 （25-26八年级上·上海·月考）如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么__________． 【例题18】 （25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，是边上的中线，点E为边上一点（点E不与点C、B重合），连接交于点F，将沿所在直线翻折，使得点C落在点H处，如果点F是的重心且，那么的值是___________． 【考点6】中点四边形 ❤知识点/方法 · 中点四边形形状：与原四边形对角线有关。 · 对角线相等：中点四边形是菱形。 · 对角线垂直：中点四边形是矩形。 · 对角线相等且垂直：中点四边形是正方形。 · 周长与面积：中点四边形周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半（当原四边形对角线垂直时）。 【例题19】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【例题20】 （24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【例题21】 （18-19八年级下·上海静安·月考）如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 【例题22】 （21-22八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【考点7】利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 ❤知识点/方法 · 对称性：矩形、菱形、正方形是中心对称图形，利用对称性转化面积。 · 全等三角形：证明三角形全等，将阴影部分面积转化为规则图形面积。 · 面积和差：用整体减部分求阴影面积。 【例题23】 （24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【例题24】 （21-22八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【例题25】 （21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【考点8】(特殊)平行四边形的动点问题 ❤知识点/方法 · 方程思想：设未知数，利用平行四边形性质列方程。 · 分类讨论：点在不同位置时分别求解。 · 全等三角形：证明全等得到线段相等。 · 勾股定理：在直角三角形中求线段长。 【例题26】 （2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【例题27】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【例题28】 （24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【考点9】四边形中的线段最值问题 ❤知识点/方法 · 将军饮马模型：利用对称将折线转化为直线，两点之间线段最短。 · 垂线段最短：点到直线垂线段最短。 · 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 · 矩形对角线相等：转化线段。 【例题29】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【例题30】 （21-22八年级下·重庆潼南·期末）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【例题31】 （2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【考点10】四边形其他综合问题 ❤知识点/方法 · 折叠问题：折叠前后对应边相等，对应角相等。 · 旋转问题：旋转前后图形全等。 · 全等三角形：证明全等得到线段相等、角相等。 · 勾股定理：在直角三角形中求线段长。 · 分类讨论：存在多种情况时分别求解。 【例题32】 （24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【例题33】 （22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【例题34】 （21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【考点11】创新与压轴题 ❤知识点/方法 · 新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。 · 最值问题：利用几何性质求最值。 · 存在性问题：分类讨论，列方程求解。 · 旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。 · 中点+重心：综合运用中位线和重心性质。 【例题35】 （21-22八年级下·上海·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 【例题36】 （24-25八年级下·江苏无锡·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【例题37】 （24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【例题38】 （2023·江西上饶·一模）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形． (3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【例题39】 （21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 重心+勾股定理求线段长 · 练习2 中位线+全等三角形求比例 · 练习3 矩形+等边三角形+中位线求面积 · 练习4 两个正方形组合+中位线+勾股 · 练习5 重心+中位线+勾股求周长 【练习1】 （2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 【练习2】 （25-26九年级上·上海·月考）已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则_________________． 【练习3】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【练习4】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【练习5】 （2023·上海·模拟预测）如图，是的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是__． 课后巩固 · 核心作业 · 作业1-3 重心性质与面积、线段关系 · 作业4-5 重心+勾股+中线性质 · 作业6-7 梯形+中点+全等+中位线 · 作业8-9 折叠+中位线+勾股+重心 · 作业10-11 平行四边形+中点+中位线+矩形判定 · 作业12-13 重心+勾股+面积+最值 · 作业14-16 对称性+阴影面积+最值问题 ※复习建议 熟练掌握中位线定理和重心性质，灵活运用勾股定理和全等三角形，动点问题设未知数列方程，最值问题利用轴对称和垂线段最短求解。 【作业1】 （25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【作业2】 （25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【作业3】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【作业4】 （24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】 （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【作业6】 （25-26九年级上·上海·月考）已知G是的重心，，，，那么_________． 【作业7】 （2023·上海崇明·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 【作业8】 （24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 【作业9】 （2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是______．    【作业10】 （24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．    (1)求证：E为的中点； (2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【作业11】 （23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【作业12】 （23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【作业13】 （2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【作业14】 （21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【作业15】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【作业16】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 三角形的中位线与重心 优等生讲义 (11大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 理解并掌握 三角形中位线的定义、性质与判定方法 · 理解并掌握 三角形重心的概念、性质及其与中线的联系 · 熟练运用 中位线定理和重心性质解决线段、角度、面积问题 · 掌握 中点四边形、特殊平行四边形中的中位线应用 · 体会 构造中位线、利用重心转化线段的思想方法 ✨ 核心思想：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；重心将中线分成2:1两部分 知识梳理 · 核心概念与定理 ☆ 三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ☆ 三角形中位线定理 · 中位线平行于第三边 · 中位线等于第三边的一半 · 三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形 ☆ 重心定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 ☆ 重心性质 · 重心将每条中线分成2:1的两部分（顶点到重心:重心到对边中点） · 重心与三角形顶点的连线将三角形分成面积相等的六个小三角形 · 重心到三角形顶点的距离平方和最小等性质 ☆ 中点四边形 · 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 · 若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形 · 若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形 · 若原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形 核心考点 · 11类题型精讲 【考点1】与三角形中位线有关的求解问题 ❤知识点/方法 · 中位线定理：DE∥BC且DE=½BC，用于求线段长、角度、面积。 · 构造中位线：已知中点时，连接中点构造中位线，转化线段关系。 · 综合应用：结合等腰三角形、直角三角形、全等三角形求解。 · 中点+平行：有中点和平行时，可构造中位线或全等三角形。 【例题1】 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解： 、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【例题2】 （25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为______． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，，再根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 又∵是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题3】 （24-25九年级上·上海·月考）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于________．     【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 【例题4】 （24-25八年级上·上海·期中）如图，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)当点是的中点时，判断的形状． 【答案】(1)证明见解析； (2)是直角三角形，理由见解析． 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（）由两直线平行内错角相等得到，继而证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可； （）由得，再结合等腰三角形的三线合一性质得到，根据中位线性质定理得，再由平行线的性质解得即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（）得， ∴，即为上的中线， ∴， ∵点是的中点，， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线性质定理，直角三角形的判定，熟练掌握判定与性质是解题的关键． · 【考点2】与三角形中位线有关的证明 ❤知识点/方法 ·证明线段相等：利用中位线等于第三边的一半，结合已知条件证明。 ·证明线段平行：中位线平行于第三边，常用于证明平行四边形。 ·证明角相等：由平行线性质得到角相等。 ·构造辅助线：取中点构造中位线，转移线段或角度。 【例题5】 （24-25八年级下·上海·月考）如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可求证； （2）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，结合线段中点定义可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先证明其为平行四边形，根据等边对等角可得出，，结合三角形内角和定理可求出，最后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【例题6】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接交于点，连接，根据平行四边形的性质可得，，，根据中位线的性质可得，得出，共线，则四边形是平行四边形，进而证明得出，即可得证； （2）根据（1）的结论得出四边形是平行四边形，根据已知可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵分别为的中点， ∴， ∴，， ∴共线， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：由（1）可得到，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【例题7】 （2025·上海崇明·二模）如图，在等腰梯形中， ，、分别是、边的中点，与相交于点． (1)求证：； (2)连接、，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰梯形的性质得到，进而由全等三角形的判定定理得到，进而得到，再由三角形中位线的判定与性质得到，等量代换得到，再由等角对等边即可得证； （2）由题意，等量代换得到，由中垂线的判定得到，从而由得到，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题中条件确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，进而得证四边形是菱形． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是等腰梯形 ． 又， ． ． 是中点， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ， ， 又是中点， ， 是中点， ， ， 是边中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及等腰梯形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定、菱形的判定等知识．熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 【例题8】 （23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么__________米． 【答案】6 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， ∵米， ∴米， 故答案为：6． 【考点3】三角形中位线的实际应用 ❤知识点/方法 ·测量问题：利用中位线性质测量不可直接到达的两点距离。 ·几何构图：在复杂图形中识别或构造中位线，简化问题。 ·中点+平行：通过中点和平行线构造平行四边形或全等三角形。 【例题9】 （2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC． (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BF＝（AB﹣AC），证明见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论； （2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG和△AEC中， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形． （2）解：BF＝（AB﹣AC）． 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE． ∵D、E分别是BC、GC的中点， ∴BF＝DE＝BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 【例题10】 （23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______．    【答案】2 【知识点】三角形中位线的实际应用、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接，，    ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【例题11】 （25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为__________． 【答案】 【知识点】重心的概念、斜边的中线等于斜边的一半、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握三角形的重心的定义及性质． 连接并延长交于点，根据重心得到为中点，，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为中点，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点4】重心的概念 ❤ 知识点/方法 ·重心定义：三条中线的交点，常用字母G表示。 ·重心与中线：重心将每条中线分成2:1的两段。 ·重心与面积：重心与顶点连线将三角形分成面积相等的六个小三角形。 【例题12】 （23-24九年级上·上海·月考）如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、重心的概念 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题13】 （24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等边三角形边长为1，点D，E，F分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论中正确的是（ ） ①是等边三角形；②；③的面积为与面积之比为；④的外心与的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形重心的概念，全等三角形的判定和性质．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形中线的性质可判断的面积为与面积之比；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：是等边三角形且边长为1， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ，，， ，即，故②正确； 连接， ，， 点分别是的中点， 设， ， ， ， ∴的面积为与面积之比为，故③错误； 设的外心为O， 是等边三角形， 点O也是的内心，作于点G，于点H， ，， ， ， ， 同理，则， 的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【例题14】 （25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例题15】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 ．求证： ． 【答案】见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，如图，延长 、 和 ，与边 、、 分别交于点 、、，延长至点使得，连接，根据三角形重心的性质可得点是边的中点，点是边的中点，点是边的中点，易证四边形是一个平行四边形，推出，，得到，，即得出结论． 【详解】证明：如图，延长 、 和 ，与边 、、 分别交于点 、、，延长至点使得，连接， 是的重心， 点是边的中点，点是边的中点，点是边的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， ， 同理，可得 ， 四边形是一个平行四边形， （平行四边形的对角线互相平分）， （三角形重心定理）， ， ， ， ． 【考点5】重心的有关性质 ❤知识点/方法 ·线段比例：AG:GD=2:1，BG:GE=2:1，CG:GF=2:1。 ·面积比例：S△GBC = S△GCA = S△GAB = 1/3 S△ABC。 ·重心+勾股：在直角三角形中，结合重心和中线求线段长。 ·重心+中位线：重心与中位线结合，构造平行四边形或三角形。 【例题16】 （25-26九年级上·上海·期中）如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例题17】 （25-26八年级上·上海·月考）如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么__________． 【答案】12 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：进而得到，再根据是的中线可得进而得到答案． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 【例题18】 （25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，是边上的中线，点E为边上一点（点E不与点C、B重合），连接交于点F，将沿所在直线翻折，使得点C落在点H处，如果点F是的重心且，那么的值是___________． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】连接，交于点P，设，根据三角形重心的性质及轴对称的性质，可求得，，然后证明，得到，从而求得，，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点P，如图， 设， 点F是的重心， ，， ， 沿所在直线翻折，使得点C落在点H处， ，， ， ，， ， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【考点6】中点四边形 ❤知识点/方法 · 中点四边形形状：与原四边形对角线有关。 · 对角线相等：中点四边形是菱形。 · 对角线垂直：中点四边形是矩形。 · 对角线相等且垂直：中点四边形是正方形。 · 周长与面积：中点四边形周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半（当原四边形对角线垂直时）。 【例题19】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接、交O，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，证明平行四边形是矩形，根据等边三角形的判定和性质得到，根据勾股定理得到，即可得到，，进而根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、交于点O． ∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【例题20】 （24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、中点四边形 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 【例题21】 （18-19八年级下·上海静安·月考）如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 【答案】40 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线的性质得出，，，，且，，，，进而得出，，即可得出答案． 【详解】 解：、、、分别是四边形各边的中点， ∴，，，，且，，，， 对角线的长都是， ，， 四边形的周长是：． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出，是解题关键． 【例题22】 （21-22八年级下·上海长宁·期末）如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【答案】 【知识点】中点四边形 【分析】根据三角形中位线性质定理可得每一次取各边中点，所形成的新四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长， 【详解】解：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC； ∴A1D1B1C1，A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形； 根据中位线的性质知，A1B1=AC；B1C1=BD 四边形A1B1C1D1周长为 同理，四边形A3B3C3D3是平行四边形，A3B3C3D3周长为 同理，四边形的周长是 四边形A15B15C15D15周长为 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【考点7】利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 ❤知识点/方法 · 对称性：矩形、菱形、正方形是中心对称图形，利用对称性转化面积。 · 全等三角形：证明三角形全等，将阴影部分面积转化为规则图形面积。 · 面积和差：用整体减部分求阴影面积。 【例题23】 （24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 【例题24】 （21-22八年级下·全国·单元测试）如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积、根据正方形的性质求面积、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 【例题25】 （21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 【考点8】(特殊)平行四边形的动点问题 ❤知识点/方法 · 方程思想：设未知数，利用平行四边形性质列方程。 · 分类讨论：点在不同位置时分别求解。 · 全等三角形：证明全等得到线段相等。 · 勾股定理：在直角三角形中求线段长。 【例题26】 （2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当秒时，平分对角线 (3)若是以为腰的等腰三角形，的值为或 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又 ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． （3）解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， , ，， ， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得（舍去）； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 【例题27】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 【例题28】 （24-25八年级下·天津南开·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【考点9】四边形中的线段最值问题 ❤知识点/方法 · 将军饮马模型：利用对称将折线转化为直线，两点之间线段最短。 · 垂线段最短：点到直线垂线段最短。 · 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 · 矩形对角线相等：转化线段。 【例题29】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【知识点】四边形中的线段最值问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【例题30】 （21-22八年级下·重庆潼南·期末）如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF=OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OP=BC， ∵AC=， 则BC=2， ∴OP=1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题． 【例题31】 （2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、四边形中的线段最值问题 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键． 连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 【考点10】四边形其他综合问题 ❤知识点/方法 · 折叠问题：折叠前后对应边相等，对应角相等。 · 旋转问题：旋转前后图形全等。 · 全等三角形：证明全等得到线段相等、角相等。 · 勾股定理：在直角三角形中求线段长。 · 分类讨论：存在多种情况时分别求解。 【例题32】 （24-25八年级下·上海宝山·月考）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)的面积 (2)见解析 (3)的长为或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、四边形其他综合问题、折叠问题 【分析】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理求三角形面积； （2）通过折叠和平行四边形性质证明四边形是等腰梯形； （3）分情况讨论直角三角形中不同角为直角时的长度． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ， 由（1）得：， 设，则，在Rt中，由勾股定理得， 解得：， ， ∴的面积； （2）证明：由折叠的性质得：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若不平行于 ∴四边形是梯形 ∵ ∴四边形是等腰梯形 （3）解：分 4 种情况： 如图，当时，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， 在 中，， ； 如图，当时， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 在同一直线上， ， 中，， ； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵与交于点， ∴不符合题意舍去。 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【例题33】 （22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【知识点】(等腰)梯形的定义、四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【详解】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 【例题34】 （21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、公式法解一元二次方程 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，再判断出，即可求出答案； （3）分两种情况①当时，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出答案；②当时，过点D作DF⊥BC于点F，，设，根据勾股定理即可列出关于x的方程，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图， 连接并延长交的延长线于， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ≌， ， ， ， ； （2）解：，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）（3）是直角三角形， ①当时，如图， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ； ②当时，如图，过点D作DF⊥BC于点F， 设， 由题意，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF，BF=AD=2， ∴FC=x-2， 在Rt△DFC中，； ， 在Rt△BDC中，， 在Rt△ABD中，， ∴， ， （舍去负值）， ③∠DBM=时，不符合题意； 综上所述的长为或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【考点11】创新与压轴题 ❤知识点/方法 · 新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。 · 最值问题：利用几何性质求最值。 · 存在性问题：分类讨论，列方程求解。 · 旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。 · 中点+重心：综合运用中位线和重心性质。 【例题35】 （21-22八年级下·上海·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 【答案】(1) (2) (3)4 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，S＝EF•FH＝•2t＝2， ②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM，S＝EF•FH−S△DHM即可得到答案； （3）当O∥AD时，证明O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝4； 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°， ∵GE∥AD， ∴∠GEB＝∠BAD＝60°， ∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°， ∴∠EGA＝∠BAC＝30°， ∴GE＝AE＝2t， ∵四边形EFHG是矩形， ∴FH＝GE＝2t， 在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝， ∴AH＝AF＋FH＝3t， 点H与点D重合时，AH＝AD， ∴3t＝8， ∴t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图： 矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积， ∴S＝EF•FH＝， ②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图： 在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8， ∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝， ∴S△DHM＝DH•HM＝， ∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积 S＝EF•FH−S△DHM＝ ， 综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积： ， （3）当 AD时，如图： ∵四边形EFHG是矩形， ∴是FG的中点， ∵∥AD， ∴是△AFG的中位线， ∴O是AG中点， ∴OA＝OG， 又∵O是AC中点，OA＝OC， ∴G与C重合，此时，E与B重合， ∴t＝ 故答案为：4 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 【例题36】 （24-25八年级下·江苏无锡·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），；（2） ；直线与的夹角度数为；理由见解析；（3）线段的最小值为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、四边形中的线段最值问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【例题37】 （24-25八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究． (1)概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．    (2)性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．    (3)综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．    【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）首先根据题意写出已知条件和求证，然后作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）首先得出，然后根据至少有一组邻边相等分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）已知条件：四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：． 证明：作于E，延长线于F，    ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ①如图所示，当时，连接    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； ②如图所示，当时，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴ ∴； ③如图所示，当时，连接，    ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【例题38】 （2023·江西上饶·一模）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，，则四边形为等邻角四边形． (1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ． ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④等腰梯形 (2)如图，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结，，且，求证：四边形为等邻角四边形． (3)如图，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)证明见解析； (3)，理由见解析 【知识点】四边形其他综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案； （2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形； （3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出． 【详解】（1）∵矩形和等腰梯形都有一组邻角相等， ∴矩形和等腰梯形是等邻角四边形， 故答案是：②④ （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形． （3），理由如下： 过点P作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键． 【例题39】 （21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或2；图形见解析； (4)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、四边形其他综合问题、折叠问题 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键． （1）由平行四边形的定义可得，，由折叠的性质可得，于是可得是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）设，由（1）解答可得，由折叠的性质可得，由可得是矩形，中由勾股定理建立方程求得x，进而求得即可解答； （3）分和两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可； （4）分和，三种情况，根据直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可； 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）解答可得， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴ 中，， ∴， ∴， ∴， ∴面积； （3）解：①如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴； ②如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ∴或2； （4）解：①如图，时， ，则， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴ ； ②如图，时， ∵四边形是平行四边形，，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ③如图，时，作于点H， 由四边形是平行四边形得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ，则， ∴ 综上所述的长为：或或. 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 重心+勾股定理求线段长 · 练习2 中位线+全等三角形求比例 · 练习3 矩形+等边三角形+中位线求面积 · 练习4 两个正方形组合+中位线+勾股 · 练习5 重心+中位线+勾股求周长 【练习1】 （2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 【答案】/ 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、重心的有关性质 【分析】本题考查勾股定理、三角形的重心，直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 延长交于，根据勾股定理可得，根据三角形的重心可得，根据直角三角形的中线性质得到，进而得到． 【详解】解：延长交于，如图， ，，， 点是的重心， 为斜边上的中线，， ， ， 故答案为：． 【练习2】 （25-26九年级上·上海·月考）已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则_________________． 【答案】/ 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答的关键是添加合适的辅助线解决问题． 根据题意画出图形，取的中点H，连接，由三角形的中位线定理得到，再证明得到，则，进而可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， 则， 又， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习3】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 【练习4】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 连接，根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接交于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得和，的长度，从而求得，因为的中点，可得和，再由正方形的性质可得和 ，在中，求解即可． 【详解】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 【练习5】 （2023·上海·模拟预测）如图，是的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是__． 【答案】10 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、重心的有关性质 【分析】连接，延长交于，由三角形重心的性质推出，是中点，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，因此，由三角形中位线定理推出，于是得到四边形的周长． 【详解】解：连接，延长交于， 是的重心， ，是中点， ，，， ， ，是中点， ， ， 、分别是、中点， 是的中位线， ， 同理：，，， ， 四边形的周长． 故答案为：10． 【点睛】本题考查三角形的重心，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由三角形中位线定理推出． 课后巩固 · 核心作业 · 作业1-3 重心性质与面积、线段关系 · 作业4-5 重心+勾股+中线性质 · 作业6-7 梯形+中点+全等+中位线 · 作业8-9 折叠+中位线+勾股+重心 · 作业10-11 平行四边形+中点+中位线+矩形判定 · 作业12-13 重心+勾股+面积+最值 · 作业14-16 对称性+阴影面积+最值问题 ※复习建议 熟练掌握中位线定理和重心性质，灵活运用勾股定理和全等三角形，动点问题设未知数列方程，最值问题利用轴对称和垂线段最短求解。 【作业1】 （25-26九年级上·上海·月考）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，由题意可得，利用三角形重心性质可得，进而可得，即可判断结论A正确． 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 【作业2】 （25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】重心的有关性质、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．连接并延长交于点D，由等腰三角形的性质可得出，，由三角形重心的性质即可得出的长，再根据勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【作业3】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．连接并延长交于点H，由，得，而，，即可根据证明，得，，因为，，所以，由三角形中位线定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 【作业4】 （24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、重心的有关性质、根据三角形中线求长度、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的两条中线交于点， ∴点是的重心， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，故正确，不符合题意；错误，符合题意； ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，故、正确，不符合题意； 故选：． 【作业5】 （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 【作业6】 （25-26九年级上·上海·月考）已知G是的重心，，，，那么_________． 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质及重心的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及重心分中线为的比例关系； 先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度；再根据直角三角形斜边中线的性质，得到斜边中线的长度（为中点）；最后依据重心的性质（重心到顶点的距离是中线长度的），计算出的长度 【详解】解：在中，,,, 由勾股定理得； 设为的中点，则为斜边的中线， 根据直角三角形斜边中线性质，； 因为是的重心，重心分中线为（顶点到重心为份）， 所以. 故答案为：. 【作业7】 （2023·上海崇明·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、勾股定理与折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、中位线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，△是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，作于． 在中，，，， ， ∵点D是的中点， ， ， ，即：， ， ，， 垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【作业8】 （24-25八年级下·上海静安·期末）如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过延长构造全等三角形，得出线段关系，再利用中位线定理求解． 延长交于点，先证，得到的长度，利用勾股定理求得的长度，再结合为中点，是中点，利用中位线定理求． 【详解】延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， 为的中点， 又 F是边的中点， ， 故答案为：1． 【作业9】 （2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是______．    【答案】/ 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、重心的有关性质 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 【作业10】 （24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．    (1)求证：E为的中点； (2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证； （2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． 同理得． ， ，即E为的中点． （2）解：． 取的中点H，联结．   、H分别是、的中点， 是的中位线， ∴，． 是CD中点， ， ， ． ∵，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【作业11】 （23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三线合一、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）连接，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【作业12】 （23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、重心的有关性质 【分析】（1）延长到，与相交于D，使，即可证明，则有，结合重心得性质得，，利用勾股定理逆定理即可判定是直角三角形，可求得，结合即可求得答案． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，由重心的性质可知，点D，E，F是中点，且，，，结合题意有，化简得，同理：，利用勾股定理得，结合可得，即可证． 【详解】（1）解：延长到，与相交于D，使，如图，    则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图，    由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 【点睛】本题主要考查重心的性质，涉及全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理和勾股定理，解题的关键是熟悉重心的性质和勾股定理的逆定理． 【作业13】 （2025·河南郑州·二模）如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析 (2)见解析 【知识点】重心的有关性质、全等三角形综合问题、等边三角形的性质、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【作业14】 （21-22八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【作业15】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、用SAS证明三角形全等（SAS）、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 【作业16】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 【答案】(1) (2) 【知识点】四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知 ． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $