重难专题01 利用导数解决不等式问题（含比较大小、不等式恒成立（有解）、证明不等式等）（7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

重难专题01 利用导数解决不等式问题 题型一 比较大小 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·月考）若，为正实数，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 解不等式 1．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 2．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·月考）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 题型三 不等式恒成立问题 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 题型四 不等式有解问题 1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 题型五 证明非数列型不等式 1．（2025高三·全国·专题练习）证明：在上恒成立. 2．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：. 题型六 证明数列型不等式 1．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数， (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：  . 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 题型七 双变量不等式问题 1．（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 2．（2025·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（24-25高二下·山东青岛·期中）已知正数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且当时，，且有，则的解集为 ． 8．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 9．（2025高二·全国·专题练习）设． (1)证明：； (2)若，求a的取值范围． 10．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 1．已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏镇江·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 7．（2025高二·全国·专题练习）给出以下两个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数…… 一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，记作． ②若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式．例如，在点处的n阶泰勒展开式为． 根据以上两段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的3阶泰勒展开式，并直接写出在点处的3阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小 (3)已知不小于其在点处的3阶泰勒展开式，证明：时，． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题01 利用导数解决不等式问题 题型一 比较大小 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 4．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·月考）若，为正实数，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A，由于，根据对数函数的性质，对数函数在正实数范围内是递增的，因此一定成立，故A正确； 对于选项B，将不等式变形为，设，则，当时，因此在上是增函数. 由于，有，即，从而一定成立，故B正确； 对于选项C，设，则.当时， ，当时，.因此，在上是减函数，在上是增函数，由于，不一定成立，因为和可能位于的不同的单调区间，故C错误； 对于选项D，设则. 设，则. 当时，，因此在上是增函数. 由于，所以当时，，即， 因此在上是增函数. 由于，所以当时，， 即一定成立，故D正确. 故答案为ABD. 题型二 解不等式 1．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知函数 的定义域为 是的导函数， 且 ，， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令，对求导，得， ，即在上为减函数， ， ， 不等式可化为不等式，即， 由在上为减函数得， 不等式的解集为. 故选: A 2．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 3．（24-25高二下·安徽·月考）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 4．（24-25高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 5．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】令，所以当时， ， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上单调递减，故在上单调递减且 ， 不等式可化为，即，即 ，故 ， 所以原不等式的解集为. 题型三 不等式恒成立问题 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 【解析】（1）当时，，求导得， ，， 曲线在点处的切线方程为． （2）恒成立，即，即恒成立， 令，则． 令，则， 单调递减，又， 当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减. ，故． 题型四 不等式有解问题 1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【解析】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知①当时，在上单调递增， 若，可知即可，可得， 解得； ②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增， 此时需满足，即，此时无解； ③当时，结合（1）中结论可知在上单调递减，在上单调递增； 所以满足即可，即， 令， 则，易知在上为单调递减； 又，所以存在唯一满足， 因此可得时，，当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时不满足，不合题意； ④当时，在上单调递减，即可得在上单调递减； 所以只需满足，即，解得； 综上可知或. 即的取值范围为. 题型五 证明非数列型不等式 1．（2025高三·全国·专题练习）证明：在上恒成立. 【解析】证明：令函数，，则， 当时，，则， 所以，则函数在上单调递增， 所以，即在上恒成立. 2．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：当时，. 【解析】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}， ∵f′(x)＝2x-2=， 由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1 ∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． (2)设g(x)＝f（x）-3x+4=x2－2lnx-3x+4， ∴g′(x)＝2x-2--3=， ∵当x>2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4, 即当x>2时. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【解析】（1）依题意时，，则，而， 故， 所求切线方程为. （2）证明：要证，即证， 设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减， 又， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 即，即得证. 题型六 证明数列型不等式 1．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数， (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：  . 【解析】（1） 因为对任意的恒成立， 设 ，所以在恒成立， 设， 在恒成立，所以在上为增函数， 所以在恒成立，所以函数为增函数； 所以，所以的取值范围为. （2）（2）由（1）知，令，， ∴当时，，且当且仅当时 令，则 即，， ，，， 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 【解析】（1）由得 知当时在上单调递减 当时， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减. （2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增， ，即有， ， 以上各式相加得， 题型七 双变量不等式问题 1．（24-25高二下·四川眉山·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 2．（2025·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵函数的定义域为R， ∴当时，，当 时， ∴在上单调递增，在 上单调递减 （2）假设存在，使得 成立，则． ∵ ∴ 当时，， 在上单调递减，∴ ，即 ②当时，， 在上单调递增，∴ ，即 ③当时， 在，， 在上单调递减， 在，， 在上单调递增， 所以，即 ―――――――― 由（1）知，在上单调递减， 故，而 ，所以不等式无解 综上所述，存在，使得命题成立 1．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，所以． 故选：D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故选：B. 4．（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 5．（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 在上单调递增，则， ，即，； 设，则， 在上单调递增，则，即， ， 又，． 故选：C． 6．(多选)（24-25高二下·山东青岛·期中）已知正数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题设，令且， 令，则在上恒成立，即在上单调递增， 根据复合函数及指数函数的单调性易知在上单调递增，而， 所以，故，A对；又，则，B错； 由，显然等号不能成立， 所以，即，C对； 由，则，又，则，D错. 故选：AC 7．已知定义在上的函数满足，且当时，，且有，则的解集为 ． 【答案】 【解析】因当时，，则由可得， 令，，则，故在上单调递增， 因为上的函数且满足， 则，则为上的偶函数， 又，则， 因时，则即，也即， 结合的奇偶性和单调性可得，，解得， 故的解集为. 8．（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【解析】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， （3）要证，， 即证，， 令， 则，令， ， 在单调递增， 又，， ，使得， 即，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，， 故， ，时，． 9．（2025高二·全国·专题练习）设． (1)证明：； (2)若，求a的取值范围． 【解析】（1）设 则， 令，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以是增函数，得，即时，， 所以，因为，所以， 在不等式的两边同时除以得，得证. （2）令， 则， 由第（1）问的证明过程可知，当 时，， 故 ，则在上单调递增. ①当时，易知所以在上单调递增， 所以； ②当时，，由函数的连续性可知，使得时，，所以在上单调递减，此时，与“当时，恒成立”矛盾，所以不成立. 综上可知，当时，，即， 所以a的取值范围是． 10．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为. (1)求； (2)求数列中的最小项； (3)证明： 【解析】（1）当时，，定义域为， 在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一零点1， 即； （2）由的零点为， 得， 两式相减得：， 即， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得到， 所以，所以数列是递增数列， 所以数列中的最小项是； （3）令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即， 因为，所以, 所以， 所以， 所以， 所以. 1．已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，求导得， ，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故在内单调递增，在内单调递减， 又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线， 由，可得， 即，则， 故有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且， 将代换，则，，， 令且，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立， 由且，则，即在上单调递增， 所以，即，故，即， 令且，则， 所以在上单调递减，故， 即在上恒成立，故， 综上，. 故选：B 3．（23-24高二下·江苏镇江·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由有，因为， 所以，即，由有， 所以，令，所以， 由，所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 4.（2025·四川成都·三模）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因为，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 5．已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令，则 ， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 【解析】（1）时，， ， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （2）（i）因为 ； 其中， 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列. （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：， 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证. 7．（2025高二·全国·专题练习）给出以下两个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数…… 一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，记作． ②若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式．例如，在点处的n阶泰勒展开式为． 根据以上两段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的3阶泰勒展开式，并直接写出在点处的3阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小 (3)已知不小于其在点处的3阶泰勒展开式，证明：时，． 【解析】（1）因为，则， 所以， 故， 即，同理可得，； （2）由（1）可知，， 令， 则，则， 所以在上单调递增，又， 故当时，，故单调递减， 当时，，故单调递增， 所以的最小值为， 所以，故在上单调递增，又， 所以当时，， 当时，， 综上所述，当时，；当时，；当时，． （3）证明：令， 则，所以． 则在上单调递增，又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 因为在点处的3阶泰勒展开式为：， 所以， 又在处的3阶泰勒展开式为：， 当时，， 所以当时，， 故． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $