5.3.3 最大值与最小值（八大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

5.3.3 最大值与最小值 题型一：由导数求函数的最值 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为 ． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 3．（22-23高二上·江苏·期末）已知函数 (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 4．已知函数，且 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数在处取得极大值10． (1)求的值； (2)求在上的最值． 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 8.已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 题型二：已知函数最值求参数 10．（23-24高二下·江苏淮安·月考）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 12．（22-23高二下·江苏苏州·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求的值． 13．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 题型三：函数单调性、极值与最值的综合应用 14．（22-23高二上·江苏连云港·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．为函数的极大值点 C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值 15．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 17．（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数是上的单调递增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为 . 18．（24-25高二上·江苏·月考）设函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)令，是否存在实数，当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型四：利用导数证明不等式 19．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 21．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 22．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中. (1)求的值和的方程； (2)证明：当时，. 23．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 题型五：利用导数研究不等式恒成立问题 24．（23-24高二上·江苏镇江·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为 . 26．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值及的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 29．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数． (1)已知在处取得极小值，求a的值； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 题型六：利用导数研究能成立问题 30．设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为 . 31．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 32．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 33．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知，它们的图象在处有相同的切线． (1)求与的解析式； (2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围． 题型七：利用导数研究函数的零点 34．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数与，则它们的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 36．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极值点有两个 D．直线与曲线有两个不同的交点 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（    ） A．e B． C．1 D． 40．（多选）（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同的直线与相切 D．函数有5个零点 41．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为 ． 42．（23-24高二上·江苏南通·月考）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 43．（22-23高三上·江苏·月考）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 44．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 45．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 46．（23-24高二上·江苏南京·期末）为正实数，已知函数 . (1)若函数 有且仅有2个零点，求 的值； (2)当 时，函数 的最小值为 ，求 的取值范围. 题型八：最值的实际应用 47．用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高二上·江苏南京·期末）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 49．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 50．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为. (1)试把饮料罐的表面积表示为的函数； (2)求为多少时饮料罐的用料最省？ 51.某厂家拟在2020年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足 (其中，为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 52．（23-24高二上·江苏盐城·月考）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）． (1)将利润（元）表示为产量的函数； (2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？ 53．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元），当年产量不小于7万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （注：取） 54.已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元． (1)求比例系数； (2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ 55.已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元. (1)求的值； (2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？ 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·期中）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（   ） A．有对称轴 B．上任意两点间的距离 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则 . 6．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 四、解答题 8．（23-24高二上·江苏连云港·期末）数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案： (1)小明的方案：设圆柱的高为，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值； (2)小亮的方案：取圆柱底面圆上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值. 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 10．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在点处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； (3)对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 12．（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 13．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，a∈. (1)若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； (2)设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； (3)若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 15．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； (2)若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 18．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； (3)当时，若，且，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.3 最大值与最小值 题型一：由导数求函数的最值 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【详解】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【详解】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为： 3．（22-23高二上·江苏·期末）已知函数 (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)8； (2). 【分析】（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案. （2）根据题意知，分参得，即可得到答案. 【详解】（1），因为，所以，所以 在上恒成立，所以函数在区间上单调递增 所以 （2）因为函数在区间上为增函数， 所以在上恒成立 所以在上恒成立，所以 4．已知函数，且 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解. 【详解】（1）解：由题意，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）解：因为，， 所以时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即函数在区间上的最小值为. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数在处取得极大值10． (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为10，最小值为2， 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【详解】（1）， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意， （2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且 故最大值为10，最小值为2. 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 8.已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性； （2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可. 【详解】（1）因为，故可得， 令，可得或； 当时，，此时在上单调递增； 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增 又，，故在单调递减，在单调递增. 则的最小值； 又， 当时，的最大值， 此时； 当时，的最大值， 此时， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以； 所以的取值范围为. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 题型二：已知函数最值求参数 10．（23-24高二下·江苏淮安·月考）已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以， 令，因为在开区间上有最小值， 则在上必有两根，即有， 又在上的两根为，且， 由的图象可知， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又在开区间上有最小值，则必有，且， 令，得到，所以， 整理得到，令， 则，易知在区间上单调递减， 又，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以在上有且只有一根， 由，解得， 故答案为：. 11．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 12．（22-23高二下·江苏苏州·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，后分，两种情况讨论正负性即可； （2）由（1）分，，，讨论在上的单调性可得答案. 【详解】（1）. 当时，，则在上单调递增； 当时，在上单调递增； 在上单调递减. （2）由（1），若，则在上的最小值是，不合题意； 若，由（1）可得在上单调递增，则，不合题意； 若，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，则； 若，由（1）可得在上单调递减，则，不合题意. 综上可知：. 13．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)的极小值为，极大值为11； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答. （3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答. 【详解】（1）当时，函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增， 因此当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以的极小值为，极大值为11． （2）函数，，求导得， 因为，则由得，显然， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，则函数在上的最小值为，解得， 所以实数a的值为1. 题型三：函数单调性、极值与最值的综合应用 14．（22-23高二上·江苏连云港·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．为函数的极大值点 C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值 【答案】C 【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由的图象可得，当时，，当时，， 当时，，当时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确； 是的零点，但不一定是的零点，所以A错误； 是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误. 故选：C 15．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 16．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 【答案】BCD 【分析】利用导数研究三次函数的单调区间，极值，切线，对称中心问题. 【详解】令 若在区间上单调递减, 则在区间上小于或者等于零恒成立， 即恒成立， 即，又在区间单调递增， 则 所以a的取值范围为，故选项A错误. 若在区间上有极小值, 则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零， 则 解得a的取值范围为.故选项B正确. 当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为 切线为又切线经过点， 则有三解，即有三解， 令 则当时函数取极值， 则实数m的取值范围为，故选项C正确. 若曲线的对称中心为,则即 解得. 故选：BCD. 17．（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数是上的单调递增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值，结合过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可. 【详解】由， 得， 是上的增函数， 在上恒成立， 即：在上恒成立. 设，，， 设，， ， 函数在单调递增， . 即，， 又，. 的最大值为3. 故得. 将函数的图像向上平移3个长度单位， 所得图像相应的函数解析式为： ， 由于， 为奇函数， 故的图像关于原点对称， 由此即得函数的图像关于成中心对称. 这表明存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等. 故答案为：. 18．（24-25高二上·江苏·月考）设函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)令，是否存在实数，当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在， 【详解】（1）当时，，，得， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）存在实数，使得当时，的最小值是 理由如下： 因为，，所以，所以， ①当时，易知在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去； ②当时，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，解得，满足题意； ③当时，时，，在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去. 综上，存在实数，使得当时，的最小值是. 题型四：利用导数证明不等式 19．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 【答案】ABD 【分析】分别构造，，，，即可利用导数求解单调性得解. 【详解】对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确， 对于B，设，则当时在单调递减， 当时，在单调递增，故，故，B正确， 对于C，令, ，当在单调递增， 当在单调递减，所以，故，故C错误， 对于D，令，则， 故在单调递增，故，故，D正确， 故选：ABD 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. （2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数中，，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，时，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）知，当时，， 设，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以. 21．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明； （2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在上为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 22．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中. (1)求的值和的方程； (2)证明：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程； （2），求导，根据单调性求出最值即可. 【详解】（1）由已知 因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得，又 所以切线方程为，即； （2）令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 整理得， 所以，即. 23．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，从而求出切线斜率与切点坐标，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，分情况讨论，可得答案； （3）由题意明确参数的取值范围，法1：整理方程，构造函数，利用导数研究新函数的性质，可得答案；法2：由函数的单调性求得函数最值，结合题意进一步明确参数的取值范围，整理所证的不等式，利用函数的单调性构造函数，根据导数求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无增区间． ②若，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）若，由（2）知在单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以． 法1．由题意知，所以，且． 要证，只要证，只要证， 只要证，只要证． 令，，， 所以在单调增，， 因为，所以，即， 所以得证． 法2．由（2）得在单调递减，在单调递增， 所以，所以． 因为，所以， 要证，只要证，只要证， 只要证． 而， 令，，， 所以在单调增，， 所以时，恒成立，令得， 所以． 所以得证． 题型五：利用导数研究不等式恒成立问题 24．（23-24高二上·江苏镇江·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故. 故选:  C 25．（24-25高二下·江苏南京·期中）若恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 26．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 27．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值及的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，．单调递增区间为，；函数单调递减区间为． (2),,． 【分析】（1），根据函数在和处取得极值．可得导数值为0，即可求解，．进而得出函数的单调区间． （2）由（1）可得，利用函数在上单调性，可得的最大值，利用即可得出的取值范围． 【详解】（1）， 函数在和处取得极值． ，， 联立解得：，． ， 令，解得和， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增． 故和是的极值点， 故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为． （2）由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需且， 故且， 解得，或， 的取值范围是,,． 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可； （2）原不等式可转化为对任意，恒成立，令，则在上单调递减，利用导数求的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 29．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数． (1)已知在处取得极小值，求a的值； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数解析式得到函数的定义域，再根据求导以及极值可求得a的值，注意一定要验证； （2）根据恒成立问题，构造新的函数，根据函数的导函数判断函数的单调性，求得最值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，定义域为 所以 因为在取得极小值，所以，所以， 检验：，定义域为， ， x 3 - 0 + ↓ 极小值 ↑ 所以； （2）因为对恒成立 所以令 ①即时，恒成立， 在单调递增恒成立， ②即时，， x 1 - 0 + 0 ↓ 极小值 ↑ 所以，与题意不符，舍去， 综上所述：． 题型六：利用导数研究能成立问题 30．设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式分离参数，令，则求即可． 【详解】由，得， 令，则 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故 由于存在，成立，则 故答案为： 31．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 32．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【详解】（1）， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 33．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知，它们的图象在处有相同的切线． (1)求与的解析式； (2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义结合题意可得，进而可得出答案； （2）由题意不等式在上有解，分离参数可得，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）， 由题意可得， 代入可得，解得， 所以； （2）， 则， 因为在区间上存在单调递增， 所以不等式在上有解， 即在上有解， 令，则即可， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，解得. 题型七：利用导数研究函数的零点 34．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可. 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 35．已知函数与，则它们的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案. 【详解】令，则，由，得， ∴当时，，当时，. ∴当时，取得最小值， ∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点. 故选：B. 36．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极值点有两个 D．直线与曲线有两个不同的交点 【答案】D 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解即得；对于C，求导后令导数为零即得；对于D，令，分，两种情况利用导数结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为，定义域为， 所以， 对于A，因为,，所以切点为，切线斜率，切线方程为，故A不正确； 对于B，，得且，所以的单调递减区间为和，故B不正确； 对于C，令，得，故的极值点不可能有两个，故C不正确 对于D，令，则. 又， 令，则 所以在上单调递减，在上单调递增, 所以，即在恒成立， 所以在上单调递增， 故在上有唯一零点. 当时，，所以在上单调递减， 而，. 故在上有唯一零点. 综上，有两个零点，即直线与曲线有两个不同的交点.故D正确. 故选：D. 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 38．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 39．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用同构化得出的关系：，则，然后引入函数，由导数求得函数最大值即得． 【详解】由已知，即， ，即，令，则， 又函数是上的增函数，因此， ，令，则， 时，，递增，时，，递减， 所以时，， 所以的最大值是1. 故选：C． 40．（多选）（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同的直线与相切 D．函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 41．（22-23高二上·江苏南京·期末）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求导得，然后根据在上有解列出不等式，即可得到结果. 【详解】函数，则 再由在上有解，是二次函数，对称轴为， 可得，或，即，或 解得 故答案为: 42．（23-24高二上·江苏南通·月考）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，得到时，方程有两解，构造函数，利用导数研究的性态，进而进行求解即可. 【详解】由，得. 当时，易知在上单调递增，最多有一个极值点， 当时，无极值点； 时，方程有两解，即， 令，则，再令， 则在上递减，又， 所以，单调递增； ，单调递减，所以， 又，解得. 故答案为：. 43．（22-23高三上·江苏·月考）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)在上有两个零点 【分析】 (1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以在区间上单调递减， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值. （2）先讨论在上的零点个数， 由（1）可知，在上递减，， 所以在上递减，因为， 所以在上有唯一零点， 又因为， 所以是偶函数，所以在上有两个零点. 44．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) 【分析】（1）运用导数的正负判定即可； （2）利用函数单调性，导数性质来求函数最值，进而得到参数范围. 【详解】（1）当时， 此时为上的递增函数，注意到， 当时，，所以递减区间为， 当时，，所以递增区间为. 综上所得，递减区间为，递增区间为. （2）注意到，所以为上的递增函数， 当时，， 当时，， 所以存在唯一的使得， 当时，， 当时，， 所以 （当且仅当即时，取等号） 所以. 45．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 又，且当时，，所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 综上，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）证明:由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点， 当时，令 则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得, 且当时，，即，则在上单调递增， ，故在上没有零点, 当时，有，即，则在上单调递减， 又，所以在上有且只有一个零点， 综上，函数在上有2个零点． 46．（23-24高二上·江苏南京·期末）为正实数，已知函数 . (1)若函数 有且仅有2个零点，求 的值； (2)当 时，函数 的最小值为 ，求 的取值范围. 【答案】(1)或3 (2). 【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性然后结合函数的零点个数即得； （2）根据a的取值分类讨论结合条件可得不等式进而即得. 【详解】（1） ①当 时，，在上单调递增，只有一个零点，则 不成立. ②当时，令 ，则 或 ，且. 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. 函数有且仅有两个零点，且 ，所以 ，即 . ③当时，令 ，则 或 ，且. 当 时，在 上单调递增； 当 时，在 上单调递减； 当 时，在 上单调递增. 函数 有且仅有两个零点，且，所以 ，即 . 综上所述：的取值为 或3. （2）由（1）可知： ①当 时，在 上单调递增，则 ，故 成立. ②当时，分为如下两种情况， 当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，可得，故 ； 当时，在 ，上单调递增，在 上单调递减，则 ，可得，故； ③当时，在 ，上单调递增，在 上单调递减，则 可得，所以； 综上所述：. 题型八：最值的实际应用 47．用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将容器容积表示成底面宽的函数关系，然后利用导数求此函数的最值，由此即可求出结果． 【详解】设容器底面宽为米，则另长为米，由总长，所以高为米． 由，得， 设容器的容积为，则有． 整理，得， 所以． 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，此时宽. 故选：C． 48．（23-24高二上·江苏南京·期末）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 【答案】/1.5 【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值. 【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元， 则， 可得， 当时，可得，函数单调递增； 当时，可得，函数单调递减； 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 故答案为： 49．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 50．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为. (1)试把饮料罐的表面积表示为的函数； (2)求为多少时饮料罐的用料最省？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由体积公式、面积公式消h即可； （2）由导数法求最小值. 【详解】（1）由题意知，，即， ，即. （2），令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，当时，取得最小值，用料最省. 51.某厂家拟在2020年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足 (其中，为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 【答案】（1）；（2）当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 【分析】（1）确定该产品售价为万元，，销售量万件满足代入化简得该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数； （2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大． 【详解】（1）由题意知，该产品售价为元/件，由题意，得 ，代入化简，得． （2）， 当且仅当，即时，上式取等号． 当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大， 当时，， 故在上单调递增， 所以在时，函数有最大值，促销费用投入万元时，厂家的利润最大． 综上，当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大． 52．（23-24高二上·江苏盐城·月考）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）． (1)将利润（元）表示为产量的函数； (2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当产量为200时，利润最大，可获得最大利润为315万元． 【分析】（1）根据题意列式求出关于利润的表达式； （2）利用导数求出函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， ， （2）因为，由，解得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以当时，取得最大值，且最大值为315万元． 答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元． 53．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元），当年产量不小于7万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （注：取） 【答案】（1）；（2）当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元. 【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式； （2）分和两种情况分别求出最大值，即可得到结论. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元 依据题意得，当时，， 当时， （2）当时，， 因为（当且仅当，即x=2时取等号）， 所以， 即时，当时，的最大值为万元 当时， ∴， ∴当时，，单调递减， ∴当时，的最大值为万元 ∵ ∴当时，的最大值为5万元 答：当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元. 54.已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元． (1)求比例系数； (2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ 【答案】(1)5 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意设每小时的燃料费为，则，然后根据当，每小时的燃料费为720元，可求出比例系数， （2）设全程燃料费为y，根据题意可得，然后利用导数可求出其最小值， （2）分和两种情况分析计算即可 【详解】（1）设每小时的燃料费为，则， 当，每小时的燃料费为720元， 代入得． （2）由（1）得． 设全程燃料费为y，则， 所以， 令，解得（舍去）或， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以当时，y取得最小值， 故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为． （3）由（2）得当时，则y在区间上单调递减， 所以当时，y取得最小值； 若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增， 则当时，y取得最小值． 综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省； 当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省． 55.已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元. (1)求的值； (2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，待定系数即可； （2）根据题意求得以行驶所用时间，构造费用关于的函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得结果. 【详解】（1）因为汽车以的速度行驶时，汽车的耗油率为， 又当时，，解得. （2）若汽车的行驶速度为，则从地到地所需用时， 则这次行车的总费用， 则，令，解得， 则当，，单调递减， 当，，单调递增， 故时，该次行车总费用最低. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及极值的定义求解. 【详解】由题意可得， 令，则，记，则， 当时，此时在上单调递增， 当时，此时在上单调递减，故， 当，且， 若，则，此时存在， 当时，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增，此时只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当，则，存在，使， 故当，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增， 当，，此时，，故在上单调递减，此时是的极大值点，符合要求， 当，即时，此时，此时，，故单调递减，不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2．（24-25高二下·江苏·期中）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数a的取值范围． 【详解】令，则， 当时， ，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数； 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为 当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，因为， 当直线过点时，则，解得； 又，直线，所以此时函数与直线相切于点， 当直线过点时，则，且， 结合图象可得， 所以的取值范围是， 故选：A 二、多选题 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（   ） A．有对称轴 B．上任意两点间的距离 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 【答案】ACD 【分析】利用反函数概念可判断；联立方程，求出交点即可判断；找出过与曲线相切且与平行的点即可；由，计算即可判断. 【详解】对于选项A：由， 的反函数为，两者关于对称，故A正确. 对于选项B：， 令， 当时，；当时，； 可知在上单调递减；上单调递增， 注意到， 在内有一个零点，另一个零点为， ，故B错误. 对于选项C：与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令， 此时到的距离， 直线被截得弦长最大值为，故正确. 对于选项D：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本题中. 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则 . 【答案】 【分析】根据题设在上取得最小值，讨论、、，应用分类讨论及导数研究函数的最值确定参数即可. 【详解】由在上恒成立，即在上取得最小值， 对于，图象开口向上且对称轴为， 若，即时，， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，故，则最小值， 而在上单调递增，故， 综上，满足题设； 若，即时，在上， 在上，则，即单调递增，所以， 综上，满足题设； 若，即时，最小值在上取得， 由于，在上，即单调递减， 在上，即单调递增， 所以最小值在处取得，此时，与前提矛盾； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设有在上取得最小值，结合二次函数的性质、导数研究函数的最小值得到关于参数a的方程为关键. 6．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意，设函数，代入点即可求出，进而求出函数的解析式.将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 四、解答题 8．（23-24高二上·江苏连云港·期末）数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案： (1)小明的方案：设圆柱的高为，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值； (2)小亮的方案：取圆柱底面圆上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值. 【答案】(1)，（），最大值为. (2)，，最大值. 【分析】（1）圆柱的高为，勾股定理表示出圆柱底面半径，利用体积公式表示出体积与之间的函数关系式，利用导数求最大值； （2），表示出圆柱的高和底面半径，利用体积公式表示出体积与之间的函数关系式，换元后利用导数求最大值； 【详解】（1）设圆柱底面半径为，则有，（）， 所以，（） 令，则， 令，得又，所以， 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减. 所以. 故. 所以圆柱体积的最大值为. （2）由题意可得当时，圆柱的高，圆柱的底面半径. 所以，， 令，（），则. 令则，当时，. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 则，得. 所以圆柱体积的最大值为. 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 10．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在点处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； (3)对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得，再根据切线方程得到，解出即可； （2）当，，当时，分离参数得，再设新函数，求出其最大值即可； （3）求出的最大值点和与轴交点，再求出两点连线所在直线方程，求出，，再代入计算即可. 【详解】（1）因为函数在点处的切线方程为， ，所以，得. （2）因为对恒成立， 当时，， 当时，等价于恒成立 令，得， 令， 得，则在区间上单调递增． 则，即在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以， 所以数的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，在单调递减， 最大值为，记最大值点为， 函数与轴的交点记为点． 因为直线， 由（2）知在区间上， 又因为直线， 又当在区间上时，， 又与直线交点横坐标记为， 直线直线交点横坐标记为， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用分离参数法得到，再设新函数，利用多次求出其最大值即可. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)e 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解； （2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解； （3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】（1）由函数 ，可得 ， 令 ，可得 ， 则 的关系，如图下表： 2 (-2,1) (1,2) f(-2)= 极大值 f(1)=e f(2)=0 综上可得，函数 ． （2）由函数 ， 可得 ， 因为 ， 所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有 极小值 极大值 综上可得，函数 恰有个极值点． （3）因为 ，所以 ，不等式 恒成立， 设 ，可得 ， 所以 的关系，如图下表： (-3,-1) (-1,2) 2 h(-3)= 极大值h(-1)=e h(2)= ， ， ， 所以 ，所以实数 的最小值为． 12．（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先求，再得即可证明； （2）①根据凸函数的定义，转化为在区间上恒成立，进而可得； ②设，根据导函数可得，设，令，换元后，根据导函数可得，进而可得. 【详解】（1），则，， ，， 故在区间上恒成立，即为上的凸函数. （2）①， ，， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立，                      令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为， 所以，得到，所以的最小值为，                   ②由①知， 令， 则， 令， 则在区间恒成立，          所以在区间上单调递增，得到， 即在区间恒成立， 即在区间上单调递增，所以， 令，令，得到， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递减，， 所以，在上恒成立． 【点睛】关键点点睛：第二问由可以观察不等号前后有明显差异，可考虑即可. 13．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)增区间为，无减区间； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【详解】（1）当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． （2）， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． （3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 14．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，a∈. (1)若曲线在点处切线方程为，求实数a的值； (2)设函数在区间I上有定义，若对任意的都有则称函数y=ω（x）为区间I上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定定义域上的下凸函数； (3)若对任意的，都有f（x）≥0，求实数a的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】第一问：对函数求导根据切点的导数值等于切线的斜率求出a的值. 第二问：利用题中下凸函数的定义及函数解析式,作差，结合对数运算性质化简，再根据基本不等式判断差的正负情况，进而得到结论. 第三问：方法1：对原函数求导，对参数a进行分类讨论，然后通过导函数的正负确定原函数的单调性求得最小值看是否符合题意以确定a的取值范围. 方法2（分离法）：对原函数分离常数a构造了新函数，通过进行两次求导确定它的最大值，进而得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）定义域为，设， 则 因为， 所以， 所以（当且仅当时取等号） 所以（当且仅当时取等号） 所以， 即 所以是定义域内的下凸函数. （3）法1：因为， 当时，因为，所以，即为减函数， 又与矛盾， 所以不满足题意； 当时，令，解得 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以． 设，所以在是增函数， 又， 所以当时，； 当时，． 因为恒成立，所以． 综上可得，即的最小值为1． 法2（分离法）：由且， 得对任意佰成立 设，所以， 令，则 所以函数在上是减函数，且． 所以当时，；当时，． 当单调递增； 当单调递减， ， 所以． 即的最小值为1． 15．（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值； (2)若方程有两个不同的解，且， ①求实数的范围，试比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：. 【答案】(1) (2)①，，理由见解析；②证明见解析. 【分析】（1）求导得，求出切线方程，并联立曲线，根据判别式等于0即可得到答案； （2）①设，求出其最大值即可得到的范围，判断，等价证明，再通过合理变形和比值换元即可证明； ②由①知，再设，代入后再累加即可证明. 【详解】（1），曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为． 由于切线与曲线只有一个公共点， 得有且只有一解， 所以， 解得． （2）①令， 因为方程有两个不同的解，所以有两个不同的零点． ，当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以． 一方面因为， 另一方面因为， 令，所以． 综上：． 判断： 下证：等价于． 因为，所以，所以， 要证：即证，即证：，因为，即证： ，令， 设，则， 所以，所以． ②由①可知：当时，， 令，所以． 所以， 将以上个不等式进行累加，所以． 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【详解】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 17．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为实数，函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）设，求导得，令，分和讨论，验证； （3）由（2），当时，，令，可得，得，求和得证. 【详解】（1）由， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在单调递增. （2）设，， 则，，令， ①当即时，令，故在上单调递增， 故，所以在上单调递增，故，符合题意； ②当即时，当时，，即单调递减， 故，单调递减，故，不符合题意； 综上，. （3）由（2），当时，，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以， 即. 18．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【详解】（1）函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3）函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； (3)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2），则在上有且仅有1变号零点，就、、分类讨论后可得的取值范围； （3）记，由结合三角变换公式可得，利用导数可证，从而得到 ，或者可以利用极值点偏移的方法来证明 . 【详解】（1）当时，，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），令，则， ①若，当时，，单调递减， 所以，单调递减，不符合； ②若，当时，，单调递增， 所以，单调递增，不符合； ③若，则在有两个解，不妨设为，（）． 列表如下： － 0 ＋ 0 － 极小值 极大值 当时，，则在上没有零点． 要使在上有且仅有1个极值点， 则在上有且仅有一个变号零点， 则需要，即，解得． 又因为，所以． 当时，，， 由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数，所以为的极小值点． 综上所述，的取值范围为． （3）法1：当时，，所以， 由可得， 即， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 记，则， 因此 ， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以 当时，， 则，即． 法2：当时，，所以， 令，则，故在上单调递增． 又，， 根据零点存在性定理，存在唯一的，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 又，且， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由于，且， 则，从而． 要证，只要证，只要证，即证． 因为，，所以即证，即证． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以． 所以，即．故． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $