15.2.1分式的乘除同步培优讲义（7知识点+8大题型归纳）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

15.2.1分式的乘除同步培优讲义 （7知识点+8大题型归纳） 目录 【知识点1 分式乘法法则】 1 【知识点2 分式除法法则】 2 【知识点3 分式乘除混合运算】 2 【知识点4 分式乘方】 2 【知识点5 含乘方的分式乘除混合运算】 3 【知识点6 分式的化简求值】 3 【知识点7 分式乘除的实际应用】 3 【题型1 分式乘法】 4 【题型2 分式除法】 5 【题型3 分式乘除混合运算】 7 【题型4 分式乘方】 10 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 11 【题型6 分式的化简求值】 13 【题型7 分式的实际应用】 14 【题型8 分式运算中定义新运算】 19 1. 理解分式乘法、除法、乘方的法则，掌握法则的推导过程（类比分数的乘除、乘方法则），明确运算的前提条件（分母不为0、被除式不为0）。 2. 能熟练运用分式乘除法则，进行分式与分式、分式与整式的乘除运算，掌握运算步骤，做到格式规范、计算准确。 3. 理解分式乘方的本质（分子分母分别乘方），能准确进行分式乘方运算，能处理含乘方的分式乘除混合运算，规避符号错误。 4. 能进行分式的化简求值（先化简、再求值），掌握化简的技巧，注意代入求值前检验分母不为0，提升运算能力。 03 知识•梳理 【知识点1 分式乘法法则】 1. 文字表述 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 2. 数学表达式 用字母表示为：，其中是整式，. 3. 关键说明 · 运算前提：分母b、d均不为0（保证所有分式有意义）； · 运算技巧：相乘前可先对分子、分母进行因式分解，再约分（先约分、再相乘），简化运算，避免后续计算繁琐； · 整式与分式相乘：可将整式看作分母为1的分式，再按分式乘法法则计算。 【知识点2 分式除法法则】 1. 文字表述 两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（除以一个分式，等于乘这个分式的倒数） 2. 数学表达式 用字母表示为：，其中是整式，. 3. 关键说明（易错重点） · 运算前提：除式的分子c不能为0（否则除式无意义），分母b、d不能为0； · 核心步骤：先将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），再按分式乘法法则计算，切勿直接约分或漏颠倒除式； · 整式与分式相除：将整式看作分母为1的分式，再颠倒后相乘。 【知识点3 分式乘除混合运算】 1. 运算顺序 从左到右依次运算；若有括号，先算括号内的运算。 2. 运算方法 先将所有除法转化为乘法（颠倒除式分子分母），再统一进行因式分解、约分，最后相乘得到结果，结果需化为最简分式或整式。 【知识点4 分式乘方】 1. 文字表述 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 2. 数学表达式 用字母表示为：（为正整数）. 3. 关键说明 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. 【知识点5 含乘方的分式乘除混合运算】 1. 运算顺序 先算乘方，再算乘除（从左到右）；若有括号，先算括号内的运算。 2. 运算方法 第一步：计算分式乘方，注意符号和分子分母分别乘方；第二步：将所有除法转化为乘法；第三步：因式分解、约分；第四步：相乘得到最简结果。 【知识点6 分式的化简求值】 1. 核心思路 先将分式通过乘除、约分等变形，化为最简分式或整式，再代入已知条件中未知数的值（注意：代入前需检验未知数的值使所有分母不为0），计算出结果。 2. 关键步骤 1. 化简：对分式进行乘除运算、因式分解、约分，化为最简形式； 2. 检验：将已知未知数的值代入所有分母，确保分母不为0； 3. 求值：将符合条件的未知数的值代入化简后的式子，计算结果。 【知识点7 分式乘除的实际应用】 核心：根据实际问题中的数量关系，列出分式乘除算式，再按分式乘除法则求解，注意结合实际意义检验结果（如长度、面积、数量等不能为负数）。 常见场景：行程问题、面积问题、比例问题、工作量问题等。 易错点提醒 · 分式乘法：未先因式分解就相乘，导致计算繁琐；约分只约分子或只约分母，或约去非公因式。 · 分式除法：忘记将除法转化为乘法（不颠倒除式分子分母）；除式的分子为0，导致运算无意义。 · 分式乘方：分子分母未分别乘方；符号判断错误（负数奇次幂、偶次幂混淆）。 · 混合运算：运算顺序错误（先算乘除、后算乘方）；括号内运算遗漏。 · 化简求值：未先化简就代入求值，计算繁琐；代入前未检验分母不为0，导致无意义。 · 实际应用：未理清数量关系，列错算式；结果未结合实际意义检验（如出现负数）。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题关键：先对分子、分母因式分解（若可分解），再约分，最后将分子相乘、分母相乘，结果化为最简分式或整式，注意分母不为0。 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 跟随训练1-1．化简： ． 【答案】 【分析】先算立方，再进行乘法运算，最后简化表达式． 【详解】原式=． 故答案为: ． 【点睛】本题考查了分式的乘法，解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 跟随训练1-2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2 分式除法】 解题关键：先将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），再按分式乘法法则计算，注意除式的分子不能为0，结果化为最简。 【典例2】．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②． 【详解】解：由题意可知，且， 解得且且， ， ∴结论①正确； ∵，且为整数，为整数， ∴， ∴， ， ∴值为共5种， ∴ 结论②错误． 综上，只有结论①正确． 故选：A． 跟随训练2-1． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 跟随训练2-2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，先将除法运算转换为乘法运算，再因式分解后约分即可求解，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题关键：从左到右依次运算，先将所有除法转化为乘法，再因式分解、约分，最后相乘，注意运算顺序，结果化为最简。 【典例3】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 跟随训练3-1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 跟随训练3-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【题型4 分式乘方】 解题关键：分子、分母分别乘方，注意符号规律（负数奇次幂为负，偶次幂为正），结果化为最简，注意分母不为0。 【典例4】．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，需运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 跟随训练4-1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 跟随训练4-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式和分式的乘方与乘法运算，正确运用运算法则是解题的关键． （1）将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可； （2）先计算分式的乘方，再通过约分完成分式乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题关键：先算乘方，再算乘除（从左到右），先将除法转化为乘法，再因式分解、约分，注意符号和运算顺序。 【典例5】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 跟随训练5-1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 跟随训练5-2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型6 分式的化简求值】 解题关键：先将分式化简为最简分式或整式，再代入未知数的值（代入前检验分母不为0），计算结果，避免直接代入导致计算繁琐。 【典例6】．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 跟随训练6-1．化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，选择，式子的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将分式的除法转化为乘法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∴选择代入得：原式． 跟随训练6-2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先对分式的分子、分母进行因式分解，同时将除法化为乘法，将结果化为最简分式，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【题型7 分式的实际应用】 解题关键：理清实际问题中的数量关系，列出分式乘除算式，按法则计算，结合实际意义检验结果（如不为负数、符合题意）。 【典例7】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)丰收2号 (2) 【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 “丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 ， ，，， ∴ ∴， ∵， 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2） 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 跟随训练7-1．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 跟随训练7-2．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【答案】 （1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，， ∴， ∴④的值最大， 故答案为：④； （2）∵为定值， ∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值， ∴时，存在最大值， ∴当，存在最大值，最大值为； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， ∵为定值， ∴当时，的值最大，即的值最小， ∴时，的值最小， 答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【题型8 分式运算中定义新运算】 解题关键：理解新运算的规则，将新运算转化为分式乘除、乘方运算，再按法则求解，注意新运算的适用条件。 【典例8】．已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】题目主要考查代数式的规律问题，乘法运算及加减运算，理解题意，找出规律是解题关键 通过计算前几项发现周期性，利用周期性简化计算即可 【详解】解：∵ ∴ 由此发现周期为6， ， ∴每6项乘积为1， ∴前24项为4个完整周期，乘积为， 第25项为， 故总乘积为， ∵余3， ∴， ∴， 故选：C 跟随训练8-1．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 跟随训练8-2．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了数字规律，新定义，分式的运算，根据“如影随形数”的定义，得，整理，结合为整数，故为整数，所以，因此，因为是5的倍数，所以是5的倍数，当要取M的最大值，即要求千位数最大，且，当时，，因为满足是5的倍数，则或，即或（舍去），同理要取M的最小值，即要求千位数最小，且，当时， ，则或，即可作答． 【详解】解：∵一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数， ∴ ∵一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．且M与互为“如影随形数”， ∴， ∵仍是一个四位正整数， ∴， ∵ ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵为正整数，且， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵要取M的最大值，即要求千位数最大，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或， ∵要取M的最大值，， ∴（舍去） 则M的最大值为， ∵要取M的最小值，即要求千位数最小，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或或或， 则M的最小值为， ∴ 故答案为：7，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2.1分式的乘除同步培优讲义 （7知识点+8大题型归纳） 目录 【知识点1 分式乘法法则】 1 【知识点2 分式除法法则】 2 【知识点3 分式乘除混合运算】 2 【知识点4 分式乘方】 2 【知识点5 含乘方的分式乘除混合运算】 3 【知识点6 分式的化简求值】 3 【知识点7 分式乘除的实际应用】 3 【题型1 分式乘法】 4 【题型2 分式除法】 5 【题型3 分式乘除混合运算】 7 【题型4 分式乘方】 10 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 11 【题型6 分式的化简求值】 13 【题型7 分式的实际应用】 14 【题型8 分式运算中定义新运算】 19 1. 理解分式乘法、除法、乘方的法则，掌握法则的推导过程（类比分数的乘除、乘方法则），明确运算的前提条件（分母不为0、被除式不为0）。 2. 能熟练运用分式乘除法则，进行分式与分式、分式与整式的乘除运算，掌握运算步骤，做到格式规范、计算准确。 3. 理解分式乘方的本质（分子分母分别乘方），能准确进行分式乘方运算，能处理含乘方的分式乘除混合运算，规避符号错误。 4. 能进行分式的化简求值（先化简、再求值），掌握化简的技巧，注意代入求值前检验分母不为0，提升运算能力。 03 知识•梳理 【知识点1 分式乘法法则】 1. 文字表述 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 2. 数学表达式 用字母表示为：，其中是整式，. 3. 关键说明 · 运算前提：分母b、d均不为0（保证所有分式有意义）； · 运算技巧：相乘前可先对分子、分母进行因式分解，再约分（先约分、再相乘），简化运算，避免后续计算繁琐； · 整式与分式相乘：可将整式看作分母为1的分式，再按分式乘法法则计算。 【知识点2 分式除法法则】 1. 文字表述 两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（除以一个分式，等于乘这个分式的倒数） 2. 数学表达式 用字母表示为：，其中是整式，. 3. 关键说明（易错重点） · 运算前提：除式的分子c不能为0（否则除式无意义），分母b、d不能为0； · 核心步骤：先将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），再按分式乘法法则计算，切勿直接约分或漏颠倒除式； · 整式与分式相除：将整式看作分母为1的分式，再颠倒后相乘。 【知识点3 分式乘除混合运算】 1. 运算顺序 从左到右依次运算；若有括号，先算括号内的运算。 2. 运算方法 先将所有除法转化为乘法（颠倒除式分子分母），再统一进行因式分解、约分，最后相乘得到结果，结果需化为最简分式或整式。 【知识点4 分式乘方】 1. 文字表述 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 2. 数学表达式 用字母表示为：（为正整数）. 3. 关键说明 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. 【知识点5 含乘方的分式乘除混合运算】 1. 运算顺序 先算乘方，再算乘除（从左到右）；若有括号，先算括号内的运算。 2. 运算方法 第一步：计算分式乘方，注意符号和分子分母分别乘方；第二步：将所有除法转化为乘法；第三步：因式分解、约分；第四步：相乘得到最简结果。 【知识点6 分式的化简求值】 1. 核心思路 先将分式通过乘除、约分等变形，化为最简分式或整式，再代入已知条件中未知数的值（注意：代入前需检验未知数的值使所有分母不为0），计算出结果。 2. 关键步骤 1. 化简：对分式进行乘除运算、因式分解、约分，化为最简形式； 2. 检验：将已知未知数的值代入所有分母，确保分母不为0； 3. 求值：将符合条件的未知数的值代入化简后的式子，计算结果。 【知识点7 分式乘除的实际应用】 核心：根据实际问题中的数量关系，列出分式乘除算式，再按分式乘除法则求解，注意结合实际意义检验结果（如长度、面积、数量等不能为负数）。 常见场景：行程问题、面积问题、比例问题、工作量问题等。 易错点提醒 · 分式乘法：未先因式分解就相乘，导致计算繁琐；约分只约分子或只约分母，或约去非公因式。 · 分式除法：忘记将除法转化为乘法（不颠倒除式分子分母）；除式的分子为0，导致运算无意义。 · 分式乘方：分子分母未分别乘方；符号判断错误（负数奇次幂、偶次幂混淆）。 · 混合运算：运算顺序错误（先算乘除、后算乘方）；括号内运算遗漏。 · 化简求值：未先化简就代入求值，计算繁琐；代入前未检验分母不为0，导致无意义。 · 实际应用：未理清数量关系，列错算式；结果未结合实际意义检验（如出现负数）。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题关键：先对分子、分母因式分解（若可分解），再约分，最后将分子相乘、分母相乘，结果化为最简分式或整式，注意分母不为0。 【典例1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．化简： ． 跟随训练1-2．计算： (1)． (2)． 【题型2 分式除法】 解题关键：先将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），再按分式乘法法则计算，注意除式的分子不能为0，结果化为最简。 【典例2】．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 跟随训练2-1． ． 跟随训练2-2．计算： ． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题关键：从左到右依次运算，先将所有除法转化为乘法，再因式分解、约分，最后相乘，注意运算顺序，结果化为最简。 【典例3】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．计算： (1)． (2)． 跟随训练3-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型4 分式乘方】 解题关键：分子、分母分别乘方，注意符号规律（负数奇次幂为负，偶次幂为正），结果化为最简，注意分母不为0。 【典例4】．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．计算： (1)； (2)． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题关键：先算乘方，再算乘除（从左到右），先将除法转化为乘法，再因式分解、约分，注意符号和运算顺序。 【典例5】．计算：． 跟随训练5-1．计算：． 跟随训练5-2．计算： (1) (2) 【题型6 分式的化简求值】 解题关键：先将分式化简为最简分式或整式，再代入未知数的值（代入前检验分母不为0），计算结果，避免直接代入导致计算繁琐。 【典例6】．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 跟随训练6-1．化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 跟随训练6-2．先化简，再求值：，其中． 【题型7 分式的实际应用】 解题关键：理清实际问题中的数量关系，列出分式乘除算式，按法则计算，结合实际意义检验结果（如不为负数、符合题意）。 【典例7】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 跟随训练7-1．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 跟随训练7-2．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【题型8 分式运算中定义新运算】 解题关键：理解新运算的规则，将新运算转化为分式乘除、乘方运算，再按法则求解，注意新运算的适用条件。 【典例8】．已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练8-1．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 跟随训练8-2．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $