15.1.1分式同步讲义（4知识点+9大题型归纳）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

15.1分式同步讲义 （4知识点+9大题型归纳） 目录 【知识点1 分式的定义】 1 【知识点2 分式有意义、无意义、值为零的条件】 1 【知识点3 分式的求值】 2 【知识点4 分式值的正负性与整数性】 2 【题型1 分式的判断】 3 【题型2 分式的规律性问题】 4 【题型3 按要求构造分式】 6 【题型4 分式无意义的条件】 7 【题型5 分式有意义的条件】 8 【题型6 分式值为零的条件】 9 【题型7 分式的求值】 11 【题型8 求分式的值为正】 12 【题型9 求是分式值为整数时未知数的整数值】 13 1. 理解分式的定义，能准确区分分式与整式，掌握分式的本质特征，能判断一个式子是否为分式。 2. 掌握分式有意义、无意义以及值为零的条件，能根据条件求分式中未知数的取值范围，规避易错点。 03 知识•梳理 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。 关键说明： · 分式的分子A可以是整式（含常数、单项式、多项式），可以为0，但分母B不能为0（分母为0时，分式无意义）； · 分式与整式的区别：整式的分母中不含字母，分式的分母中必须含有字母。 · 分数是分式的特殊形式（分数的分母是不含字母的常数，属于整式，因此分数是整式，不是分式）。 【知识点2 分式有意义、无意义、值为零的条件】 1. 分式有意义的条件 分式有意义的条件：分母B≠0（分子A可以为任意整式，无论A的值为多少，只要分母不为0，分式就有意义）。 2. 分式无意义的条件 分式 无意义的条件：分母B=0（只要分母为0，无论分子A的值为多少，分式都无意义）。 3. 分式值为零的条件（双重条件，缺一不可） 分式 值为零的条件：分子A=0，且分母B≠0。 易错提醒：仅分子为0不足以让分式值为0，必须同时满足分母不为0，否则分式无意义，更谈不上值为0。 【知识点3 分式的求值】 分式求值的核心：先确保分式有意义（即代入的未知数的值满足分母≠0），再将未知数的值代入分式，计算出结果。 常见方法： · 直接代入法：已知未知数的具体值，直接代入分式计算（注意先判断分母是否为0）； · 化简后代入法：先将分式化简（后续学习），再代入未知数的值计算，简化运算； · 整体代入法：已知未知数的代数式的值，将其整体代入分式计算. 【知识点4 分式值的正负性与整数性】 1. 分式值为正的条件 分式 值为正，需满足：分子与分母同号（即A、B同时为正，或同时为负），且分母B≠0。 数学表达：A>0 ,B>0 或 A<0 , B<0 2. 分式值为整数的条件 分式（A、B为整式，B为含未知数的整式，且B≠0）值为整数，需满足：分子A能被分母B整除（即A÷B的结果为整数），同时分母B≠0。 解题思路：将分式化为“整数+余数”的形式，或变形为=k （k为整数），进而求解未知数的整数值。 （五）易错点提醒 · 混淆分式与整式：误将分数当作分式，忽略分式分母必须含字母； · 判断分式值为零时，只考虑分子为0，忽略分母不为0的条件； · 求未知数取值范围时，遗漏分母不能为0的限制； · 分式求值时，未先判断分母是否为0，直接代入计算，导致无意义； · 解决分式值为整数的问题时，忽略未知数的取值需使分母不为0，且未分类讨论所有可能的整数解。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题关键：紧扣分式的定义，判断式子是否满足“分子、分母均为整式，且分母中含有字母”，排除整式、分数（分母不含字母）。 【典例1】．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列各式，，，，，中，是分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 分式的规律性问题】 解题关键：观察已知分式的分子、分母的变化规律（如数字规律、字母次数规律、符号规律），总结规律后，推导后续分式或第n个分式。 【典例2】．已知，则的值 ； 跟随训练2-1．已知（且），，，，，则等于 ． 跟随训练2-2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【题型3 按要求构造分式】 解题关键：根据题目要求（如“分母含某个字母”“分子是多项式”“分式值为正数”等），结合分式的定义，构造符合条件的分式，注意分母不能为0（构造时需保证分母有意义）。 【典例3】．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 跟随训练3-1．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 跟随训练3-2．当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式： ． 【题型4 分式无意义的条件】 解题关键：分式无意义的条件是“分母=0”，先列出分母等于0的方程，求解方程的解，即为使分式无意义的未知数的值。 【典例4】．若分式无意义，则x满足的条件是 ． 跟随训练4-1．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 跟随训练4-2．若分式无意义，则的值为 ． 【题型5 分式有意义的条件】 解题关键：分式有意义的条件是“分母≠0”，先列出分母不等于0的不等式，求解不等式，即为未知数的取值范围。 【典例5】．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 跟随训练5-1．无论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-2．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【题型6 分式值为零的条件】 解题关键：紧扣“分子=0且分母≠0”的双重条件，先令分子=0，求出未知数的值，再代入分母检验，排除使分母为0的解，剩余的解即为满足条件的未知数的值。 【典例6】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B．-2 C．3或-2 D．无法确定 跟随训练6-1．当时，下列各式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如果分式的值为，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【题型7 分式的求值】 解题关键：先判断分式有意义（即代入的x值满足分母≠0），再代入计算；若已知代数式的值，可采用整体代入法简化运算。 【典例7】．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 跟随训练7-1．已知，则分式的值为 ． 跟随训练7-2．若，则= ． 【题型8 求分式的值为正】 解题关键：分式值为正 → 分子与分母同号（同正或同负），结合分母≠0，列出不等式组，求解不等式组，得到未知数的取值范围。 【典例8】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 跟随训练8-1．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 跟随训练8-2．写出使分式的值为正数的的一个值 ． 【题型9 求是分式值为整数时未知数的整数值】 解题关键：分式值为整数 → 分子能被分母整除，且分母≠0，先将分式变形，再结合整数的整除性，分类讨论所有可能的整数解，排除使分母为0的解。 【典例9】．当整数m 时，分式的值也为整数． 跟随训练9-1．若分式的值为整数，则整数的值为 ． 跟随训练9-2．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1分式同步讲义 （4知识点+9大题型归纳） 目录 【知识点1 分式的定义】 1 【知识点2 分式有意义、无意义、值为零的条件】 1 【知识点3 分式的求值】 2 【知识点4 分式值的正负性与整数性】 2 【题型1 分式的判断】 3 【题型2 分式的规律性问题】 4 【题型3 按要求构造分式】 6 【题型4 分式无意义的条件】 7 【题型5 分式有意义的条件】 8 【题型6 分式值为零的条件】 9 【题型7 分式的求值】 11 【题型8 求分式的值为正】 12 【题型9 求是分式值为整数时未知数的整数值】 13 1. 理解分式的定义，能准确区分分式与整式，掌握分式的本质特征，能判断一个式子是否为分式。 2. 掌握分式有意义、无意义以及值为零的条件，能根据条件求分式中未知数的取值范围，规避易错点。 03 知识•梳理 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。 关键说明： · 分式的分子A可以是整式（含常数、单项式、多项式），可以为0，但分母B不能为0（分母为0时，分式无意义）； · 分式与整式的区别：整式的分母中不含字母，分式的分母中必须含有字母。 · 分数是分式的特殊形式（分数的分母是不含字母的常数，属于整式，因此分数是整式，不是分式）。 【知识点2 分式有意义、无意义、值为零的条件】 1. 分式有意义的条件 分式有意义的条件：分母B≠0（分子A可以为任意整式，无论A的值为多少，只要分母不为0，分式就有意义）。 2. 分式无意义的条件 分式 无意义的条件：分母B=0（只要分母为0，无论分子A的值为多少，分式都无意义）。 3. 分式值为零的条件（双重条件，缺一不可） 分式 值为零的条件：分子A=0，且分母B≠0。 易错提醒：仅分子为0不足以让分式值为0，必须同时满足分母不为0，否则分式无意义，更谈不上值为0。 【知识点3 分式的求值】 分式求值的核心：先确保分式有意义（即代入的未知数的值满足分母≠0），再将未知数的值代入分式，计算出结果。 常见方法： · 直接代入法：已知未知数的具体值，直接代入分式计算（注意先判断分母是否为0）； · 化简后代入法：先将分式化简（后续学习），再代入未知数的值计算，简化运算； · 整体代入法：已知未知数的代数式的值，将其整体代入分式计算. 【知识点4 分式值的正负性与整数性】 1. 分式值为正的条件 分式 值为正，需满足：分子与分母同号（即A、B同时为正，或同时为负），且分母B≠0。 数学表达：A>0 ,B>0 或 A<0 , B<0 2. 分式值为整数的条件 分式（A、B为整式，B为含未知数的整式，且B≠0）值为整数，需满足：分子A能被分母B整除（即A÷B的结果为整数），同时分母B≠0。 解题思路：将分式化为“整数+余数”的形式，或变形为=k （k为整数），进而求解未知数的整数值。 （五）易错点提醒 · 混淆分式与整式：误将分数当作分式，忽略分式分母必须含字母； · 判断分式值为零时，只考虑分子为0，忽略分母不为0的条件； · 求未知数取值范围时，遗漏分母不能为0的限制； · 分式求值时，未先判断分母是否为0，直接代入计算，导致无意义； · 解决分式值为整数的问题时，忽略未知数的取值需使分母不为0，且未分类讨论所有可能的整数解。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题关键：紧扣分式的定义，判断式子是否满足“分子、分母均为整式，且分母中含有字母”，排除整式、分数（分母不含字母）。 【典例1】．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断选项． 【详解】解：∵分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子， ∴对各选项分析： A选项：分母是常数，不含字母，故不是分式； B选项：是单项式，属于整式，不是分式； C选项：分母含有字母，符合分式定义，故是分式； D选项：分母3是常数，不含字母，故不是分式． 故选：C 跟随训练1-1．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断各选项 【详解】∵分式的定义是形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子， ∴对各选项逐一分析： A选项的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； B选项的分母是含有字母x的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是常数2，是常数，属于整式，不是分式； D选项是多项式，属于整式，不是分式， 故选：B 跟随训练1-2．下列各式，，，，，中，是分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键在于看原式分母是否含字母．根据分式的定义，“形如（、为整式，且中含有字母）的式子是分式”这一概念，逐一判断各式子是否为分式即可解答． 【详解】解：分式的定义：形如（、为整式，且中含有字母）的式子是分式， 逐一分析各式子： ：分母含字母，是分式， ：分母含字母，是分式， ：分母不含字母，是整式， ：分母不含字母，是整式， ：分母含字母、，是分式， ：分母不含字母，是整式， 分式共有个， 故选：． 【题型2 分式的规律性问题】 解题关键：观察已知分式的分子、分母的变化规律（如数字规律、字母次数规律、符号规律），总结规律后，推导后续分式或第n个分式。 【典例2】．已知，则的值 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 跟随训练2-1．已知（且），，，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 跟随训练2-2．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，则第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探究，观察代数式的系数和x的指数，第1个代数式为，第2个代数式为，第3个代数式为，据此找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， ... 第n个代数式为； 故选：A． 【题型3 按要求构造分式】 解题关键：根据题目要求（如“分母含某个字母”“分子是多项式”“分式值为正数”等），结合分式的定义，构造符合条件的分式，注意分母不能为0（构造时需保证分母有意义）。 【典例3】．写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母x，且当时无意义；②当时，分式的值为0． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 跟随训练3-1．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了写出某些特征的分式，根据分式值为零的条件，当时分子为零且分母不为零，因此分子应含的因子，分母在时不为零． 【详解】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0， 设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 跟随训练3-2．当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式和分母有意义的条件，根据题意，分式在 时有意义，因此分母应包含因式 ；同时要求分式为最简形式，即分子与分母无公因式，即可求得答案． 【详解】解：∵当 时，分母不为零，分式有意义， ∴构造分母为 的分式 ， ∵分子 与分母 互质，无公因式， ∴因此分式为最简分式． 故答案为： ． 【题型4 分式无意义的条件】 解题关键：分式无意义的条件是“分母=0”，先列出分母等于0的方程，求解方程的解，即为使分式无意义的未知数的值。 【典例4】．若分式无意义，则x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件，分母为零，进行求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 跟随训练4-1．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选：B． 跟随训练4-2．若分式无意义，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 【题型5 分式有意义的条件】 解题关键：分式有意义的条件是“分母≠0”，先列出分母不等于0的不等式，求解不等式，即为未知数的取值范围。 【典例5】．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，据此求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴分母 ∴． 跟随训练5-1．无论x取何值时，下列分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式总有意义的条件是分母不为零，需判断各选项分母是否恒不为零，若分母无论x取何值都不为零，则该分式总有意义． 【详解】解：∵分式总有意义的条件是分母不为0 对于选项A，∵， ∴，即无论x取何值，分母都不为0，该分式总有意义 对于选项B，当时，分母，分式无意义 对于选项C，当时，分母，分式无意义 对于选项D，当时，分母，分式无意义 ∴总有意义的是选项A. 跟随训练5-2．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零． 根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【题型6 分式值为零的条件】 解题关键：紧扣“分子=0且分母≠0”的双重条件，先令分子=0，求出未知数的值，再代入分母检验，排除使分母为0的解，剩余的解即为满足条件的未知数的值。 【典例6】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B．-2 C．3或-2 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查分式值为0的条件，需满足分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，分母， ∴． 跟随训练6-1．当时，下列各式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件，逐个判断即可．注意分子为0，分母不为0． 【详解】解：A、当时，分子，分母，分式无意义，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，分子，分母，满足分式值为0的条件，故C符合题意； D、当时，分母，分式无意义，故D不符合题意． 故选：C． 跟随训练6-2．如果分式的值为，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的值为零的条件，解题关键是熟练掌握分式的值为零的条件． 分式的值为零的条件：分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 由，解得， 当时，，符合条件， 的值是． 故选：． 【题型7 分式的求值】 解题关键：先判断分式有意义（即代入的x值满足分母≠0），再代入计算；若已知代数式的值，可采用整体代入法简化运算。 【典例7】．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值． 【详解】方法一：∵， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴设，（）， 则． 跟随训练7-1．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 跟随训练7-2．若，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知等式变形，求出的值，再代入目标表达式计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【题型8 求分式的值为正】 解题关键：分式值为正 → 分子与分母同号（同正或同负），结合分母≠0，列出不等式组，求解不等式组，得到未知数的取值范围。 【典例8】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 跟随训练8-1．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 跟随训练8-2．写出使分式的值为正数的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型9 求是分式值为整数时未知数的整数值】 解题关键：分式值为整数 → 分子能被分母整除，且分母≠0，先将分式变形，再结合整数的整除性，分类讨论所有可能的整数解，排除使分母为0的解。 【典例9】．当整数m 时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 跟随训练9-1．若分式的值为整数，则整数的值为 ． 【答案】0或2或4或6 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，由分式的值为整数，可推出3能被整除，则可得或或或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴3能被整除， ∵x为整数， ∴是整数， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：0或2或4或6． 跟随训练9-2．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 试卷第1页，共3页 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