第五章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：① ：含两个未知数，但次数为2（二元二次方程），不符合． ② ：两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ③ ：分母含未知数，不是整式方程，不符合． ④ ：的次数为2（二元二次方程），不符合． ⑤ ：化简为，两个未知数，次数均为1，整式方程，符合． ⑥ ：含三个未知数（三元一次方程），不符合． 综上，符合的方程有②和⑤，共2个． 故选B． 2．（24-25七年级下·北京·期中）用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易． 本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法． 【详解】解：观察可知，②中的系数为，由②得代入后化简比较容易，故D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可． 【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以该选项不符合题意； B选项，把代入方程得：左边，右边，左边＝右边，所以该选项符合题意； C选项，把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以该选项不符合题意； D选项，把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，需由图形中的数量关系建立等式列方程组，结合无盖长方体纸盒的展开图结构分析并结合是解决本题的关键． 首先可由得到，结合，可由列第一个方程，再根据正方形的另外一条边由两个和两个组成即可列第二个方程． 【详解】解：因为，，， 所以， 又因为， 可得； 又因为该无盖长方体纸盒的底面由组成， 所需两个和两个组成，为正方形的另外一条边长， 所以， 所以可以列方程组为． 故选：D ． 5．（24-25七年级上·北京延庆·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： ， 得， 解得：， 代入①得， 解得：， ∴， 因为， 所以， 解得：， 所以． 故选：B． 7．（24-25七年级上·北京延庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 8．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误； ③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确； ④当时，，即，∴，不符合题意，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京丰台·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，的：， 解得：； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知，用含x的代数式表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程．将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：，解得：． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京通州·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个小长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每个小长方形的长为，宽为， ∴每个小长方形的面积为． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 原来的数为， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 【答案】6 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可． 【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元， 根据题意，得， ①②得：， 整理，得． 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，解二元一次方程组，正确求解方程与不等式是关键；解不等式组，再根据解集为，可求得a的范围；解二元一次方程组，根据也可以求出a的范围，最后确定a的范围，则可求得此范围内的整数值，从而求得这些数的和． 【详解】解：解不等式组中的两个不等式得：； 由于不等式组的解集为， 所以， 解得； 对于二元一次方程组，两个方程相加得：， 所以； 由于，即， 所以； 所以， 满足条件的整数为，0，1，2，3，其和为； 故答案为：5． 16．（25-26九年级上·北京昌平·月考）某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买 ． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为 （以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 纯净水 矿泉水 【分析】本题考查方案选择问题，理解题意并正确计算是关键． （1）计算12瓶每种饮用水的总价，并进行比较； （2）由于酸性水单价较高，故先考虑只购买一瓶，然后考虑碱性水的数量．确定碱性水和酸性水购买数量后，根据剩余的钱，对矿泉水的购买数量进行分类讨论，比较不同方案的购买总数，得出结论． 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1） ，得 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 把代入②，得 ∴ ∴ 18．（5分）（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围. 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．先解方程组可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ， ， 解得：． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配制含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 【答案】(1) (2) (3) (4)需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程是解题关键． （1）根据等量关系可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）将方程组化简即可； （3）运用加减消元法解方程组即可； （4）根据结果作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）整理得： （3）， 得：， 将代入①得， ∴； （4）答：需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克． 20．（6分）（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日-2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物1套、B型号吉祥物1套共需160元，购买A型号吉祥物5套、B型号吉祥物2套共需500元． (1)分别求A、B型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套？ 【答案】(1)A、B型号吉祥物每套的价格为60元、100 (2)型号吉祥物最多购进50套 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和一元一次不等式成为解题的关键． （1）设型号吉祥物每套的价格为元，则型号吉祥物每套的价格为元．根据题意列出方程组求解即可； （2）设A型号吉祥物购进套，则B型号吉祥物购进套，然后根据题意列一元一次不等式并求最大整数值即可解答． 【详解】（1）解：解：设型号吉祥物每套的价格为元，则型号吉祥物每套的价格为元． 则   解得 答：A、B型号吉祥物每套的价格为60元、100元； （2）解：型号吉祥物购进套，则B型号吉祥物购进套， 根据题意得：， 解得：， 型号吉祥物最多购进50套， 答：型号吉祥物最多购进50套． 22．（8分）（24-25七年级下·北京昌平·期末）传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15，5 (2)18， (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意可得，，则，即可判断得解； （2）依据题意，由，则，故，，进而计算可以得解； （3）依据题意，可得，，，从而可得，，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意可得，． 又， ， ； ． ，即“幻方和”是“中心数”的3倍． ． 故答案为：15，5． （2）解：由题意，， ． ，． ，． ． 故答案为：18，． （3）解：． 证明：，① ，② ，③ ①②③，得 ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ⑤⑥⑦，得 ，⑧ ④⑧，得 ． ． 23．（8分）（25-26七年级上·北京西城·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 【答案】(1)71，82，93 (2)333 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出二元一次方程，进行求解即可； （2）设三位数上的各数位的数字均为，利用进制之间的转化关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 即， ∵，，且均为整数， ∴或或， ∴这个十进制的两位数可能是71，82，93； （2）设三位数上的各数位的数字均为，由题意，转化为十进制的数为， ∵为整数， ∴转化后的数是31的倍数， 故，解得， 故这个五进制的三位数是333． 24．（8分）（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 25．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）列方程（组）、不等式解答问题． 小辰在某商场购买签字笔和笔记本两种商品若干次（每次两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，签字笔和笔记本两种商品同时打折，三次购买的两种商品的数量和费用情况如下表所示： 购买签字笔的数量（支） 购买笔记本的数量（本） 购买总费用（元） 第一次 6 4 88 第二次 3 6 84 第三次 10 6 98 (1)求签字笔和笔记本两种商品的标价各是多少元？ (2)若小辰第三次购买时，签字笔和笔记本的折扣相同，求签字笔和笔记本打几折出售． (3)在（2）的条件下打折，小辰预计购买签字笔和笔记本总数量是30，总金额不超过200元，小辰至少要买签字笔多少支？ 【答案】(1)签字笔的标价是元，笔记本的标价是元 (2)折 (3)至少购买签字笔支 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设签字笔的标价是元，笔记本的标价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设签字笔和笔记本打折出售，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （3）设小辰购买签字笔支，则购买笔记本支，根据总金额不超过200元建立不等式，求出不等式的最小正整数解即可得． 【详解】（1）解：设签字笔的标价是元，笔记本的标价是元． 由题意得：， 解得：， 答：签字笔的标价是元，笔记本的标价是元． （2）解：设签字笔和笔记本打折出售， 由题意得：， 解得， 答：签字笔和笔记本打7折出售． （3）解：设小辰购买签字笔支，则购买笔记本支， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以的最小值为8， 答：小辰至少要买签字笔8支． 26．（10分）（25-26七年级上·江苏淮安·月考）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值（），数的绝对值记为，读作“的绝对值”．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． （）若数轴上的点表示的数分别为、、，则表示 之间的距离． （）若，，则 ． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和新城学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现：，，，． （）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当满足 时，；当满足 时，． 【拓展应用】 （）若，，则的值为 ． （）当成立时，应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号）． ①个正数，个负数；②个正数，个负数；③个正数；④个负数；⑤个，个正数；⑥个，个负数；⑦个，个正数，个负数． 【答案】（）；（）；（）同号或者中有一个为；异号；（）或；（）①②⑦ 【分析】（）根据绝对值的几何意义即可求解； （）由已知可得当或时，，或当或时，，，再根据绝对值的性质解答即可求解； （）根据材料写出答案即可； （）由可得异号， 再分两种情况解答即可求解； （）根据（）的结论判断即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，绝对值的性质，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴表示之间的距离， 故答案为：； （）∵, 且， ∴当或时，，， ， ∴， ∴； 当或时，，， ， ∴， ∴； 综上所得，， 故答案为：； （）根据题意可得，当满足同号或者中有一个为时，；当满足异号时，， 故答案为：同号或者中有一个为；异号； （）∵，|， ∴， ∴异号， 当，时，，或， ∴或， 解得或； 当，时，，或， ∴或， 解得或； 综上所得，的值为或， 故答案为：或； （）由（）同理可得，当中存在两数异号时，， 当应满足的条件是①②⑦时，， 故答案为：①②⑦． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·北京·期中）用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 3．（24-25七年级下·北京·期中）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京延庆·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 6．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·北京延庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京丰台·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知，用含x的代数式表示y为 ． 11．（24-25七年级下·北京通州·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是 ． 12．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 14．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 16．（25-26九年级上·北京昌平·月考）某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买 ． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为 （以上两空均填水种类的名称）． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围. 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配制含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 20．（6分）（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日-2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物1套、B型号吉祥物1套共需160元，购买A型号吉祥物5套、B型号吉祥物2套共需500元． (1)分别求A、B型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套？ 22．（8分）（24-25七年级下·北京昌平·期末）传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 23．（8分）（25-26七年级上·北京西城·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 24．（8分）（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 25．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）列方程（组）、不等式解答问题． 小辰在某商场购买签字笔和笔记本两种商品若干次（每次两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，签字笔和笔记本两种商品同时打折，三次购买的两种商品的数量和费用情况如下表所示： 购买签字笔的数量（支） 购买笔记本的数量（本） 购买总费用（元） 第一次 6 4 88 第二次 3 6 84 第三次 10 6 98 (1)求签字笔和笔记本两种商品的标价各是多少元？ (2)若小辰第三次购买时，签字笔和笔记本的折扣相同，求签字笔和笔记本打几折出售． (3)在（2）的条件下打折，小辰预计购买签字笔和笔记本总数量是30，总金额不超过200元，小辰至少要买签字笔多少支？ 26．（10分）（25-26七年级上·江苏淮安·月考）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值（），数的绝对值记为，读作“的绝对值”．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． （）若数轴上的点表示的数分别为、、，则表示 之间的距离． （）若，，则 ． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和新城学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现：，，，． （）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当满足 时，；当满足 时，． 【拓展应用】 （）若，，则的值为 ． （）当成立时，应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号）． ①个正数，个负数；②个正数，个负数；③个正数；④个负数；⑤个，个正数；⑥个，个负数；⑦个，个正数，个负数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D A B D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13． 14．6 15．5 16．纯净水 矿泉水 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】（1） ，得 把代入①，得 ∴ ∴··································2分 （2） ，得 把代入②，得 ∴ ∴··································5分 18．（5分） 【详解】解：， 解得：，··································2分 ， ，··································4分 解得：．··································5分 19．（6分） 【详解】（1）解：由题意得：．··································1分 （2）整理得：··································2分 （3）， 得：， 将代入①得， ∴；··································4分 （4）答：需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克．···························6分 20．（6分） 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，；··································2分 （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得；··································4分 （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为．··································6分 21．（6分） 【详解】（1）解：解：设型号吉祥物每套的价格为元，则型号吉祥物每套的价格为元． 则 ，解得 答：A、B型号吉祥物每套的价格为60元、100元；··································2分 （2）解：型号吉祥物购进套，则B型号吉祥物购进套， 根据题意得：， 解得：， 型号吉祥物最多购进50套， 答：型号吉祥物最多购进50套．··································6分 22．（8分） 【详解】（1）解：由题意可得，． 又， ， ； ． ，即“幻方和”是“中心数”的3倍． ． 故答案为：15，5．··································2分 （2）解：由题意，， ． ，． ，． ． 故答案为：18，．··································4分 （3）解：． 证明：，① ，② ，③ ①②③，得 ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ⑤⑥⑦，得 ，⑧ ④⑧，得 ． ．··································8分 23．（8分） 【详解】（1）解：由题意，， 即， ∵，，且均为整数， ∴或或， ∴这个十进制的两位数可能是71，82，93；··································3分 （2）设三位数上的各数位的数字均为，由题意，转化为十进制的数为， ∵为整数， ∴转化后的数是31的倍数， 故，解得， 故这个五进制的三位数是333．··································8分 24．（8分） 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为；··································4分 （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：．··································8分 25．（10分） 【详解】（1）解：设签字笔的标价是元，笔记本的标价是元． 由题意得：， 解得：， 答：签字笔的标价是元，笔记本的标价是元．··································2分 （2）解：设签字笔和笔记本打折出售， 由题意得：， 解得， 答：签字笔和笔记本打7折出售．··································5分 （3）解：设小辰购买签字笔支，则购买笔记本支， 由题意得：， 解得，··································7分 因为为正整数， 所以的最小值为8， 答：小辰至少要买签字笔8支．··································10分 26．（10分）（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 【详解】解：（）∵， ∴表示之间的距离， 故答案为：；··································2分 （）∵, 且， ∴当或时，，， ，∴，∴； 当或时，，， ，∴，∴； 综上所得，， 故答案为：；··································4分 （）根据题意可得，当满足同号或者中有一个为时，；当满足异号时，， 故答案为：同号或者中有一个为；异号；··································6分 （）∵，|， ∴，∴异号， 当，时，，或， ∴或， 解得或； 当，时，，或， ∴或，解得或； 综上所得，的值为或， 故答案为：或；··································8分 （）由（）同理可得，当中存在两数异号时，， 当应满足的条件是①②⑦时，， 故答案为：①②⑦．··································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）下列方程中，二元一次方程的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·北京·期中）用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 3．（24-25七年级下·北京·期中）如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京延庆·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 6．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·北京延庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京丰台·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知，用含x的代数式表示y为 ． 11．（24-25七年级下·北京通州·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是 ． 12．（24-25七年级上·北京延庆·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 14．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 15．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 16．（25-26九年级上·北京昌平·月考）某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买 ． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为 （以上两空均填水种类的名称）． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的取值范围. 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配制含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 20．（6分）（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日-2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物1套、B型号吉祥物1套共需160元，购买A型号吉祥物5套、B型号吉祥物2套共需500元． (1)分别求A、B型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套？ 22．（8分）（24-25七年级下·北京昌平·期末）传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 23．（8分）（25-26七年级上·北京西城·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．五进制数，其各数位上的数字为0，1，2，3，4，将五进制数表示成各数位上的数字与5的幂的乘积之和的形式，就可以转换成十进制数． 例如：（规定，当时，），即五进制数1234转换为十进制数就是194． (1)一个十进制的两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，将m与n对调，新的两位数比原两位数小54．这个十进制的两位数可能是______（写出所有可能的结果）； (2)一个五进制的三位数，其各数位上的数字都相同，将它转化为十进制数，恰好是（1）中的一个两位数，则这个五进制的三位数是______． 24．（8分）（24-25八年级上·河北保定·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 25．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）列方程（组）、不等式解答问题． 小辰在某商场购买签字笔和笔记本两种商品若干次（每次两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，签字笔和笔记本两种商品同时打折，三次购买的两种商品的数量和费用情况如下表所示： 购买签字笔的数量（支） 购买笔记本的数量（本） 购买总费用（元） 第一次 6 4 88 第二次 3 6 84 第三次 10 6 98 (1)求签字笔和笔记本两种商品的标价各是多少元？ (2)若小辰第三次购买时，签字笔和笔记本的折扣相同，求签字笔和笔记本打几折出售． (3)在（2）的条件下打折，小辰预计购买签字笔和笔记本总数量是30，总金额不超过200元，小辰至少要买签字笔多少支？ 26．（10分）（25-26七年级上·江苏淮安·月考）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值（），数的绝对值记为，读作“的绝对值”．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． （）若数轴上的点表示的数分别为、、，则表示 之间的距离． （）若，，则 ． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和新城学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现：，，，． （）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当满足 时，；当满足 时，． 【拓展应用】 （）若，，则的值为 ． （）当成立时，应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号）． ①个正数，个负数；②个正数，个负数；③个正数；④个负数；⑤个，个正数；⑥个，个负数；⑦个，个正数，个负数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $