第五章 二元一次方程组（单元自测·基础卷）数学新教材北京版七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京西城·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京延庆·期末）《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．（24-25七年级下·北京平谷·期中）已知方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京西城·期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知是二元一次方程，则a的值为 ． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 12．（24-25七年级下·北京通州·期中）方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 13．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 14．（24-25七年级下·北京·期末）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1－60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如下表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是 ； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是： ． 16．（25-26七年级下·北京·期中）对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： 18．（5分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 19．（6分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了5个大人和3个小孩，共花了56元钱；乙说她家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，丙家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？ 20．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设，， 则原方程组变为 整理，得 解得 解得 请用这种方法解方程组： 21．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）怀柔的慕田峪长城享有“万里长城，慕田峪独秀”的美誉，是北京新十六景之一．在某票务平台上，慕田峪长城有两条旅游线路： 路线A（西线）：缆车往返（14号敌楼上下）费用成人120元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，适合所有年龄段． 路线B（中线）：缆车上（14号敌楼）＋滑道下（6号敌楼），总费用成人140元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，60周岁以上老人不可乘坐． 已知：某旅行团共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人．问： (1)旅行团中60周岁以上游客和60周岁以下游客的人数； (2)在满足（1）的条件下，若总预算为2440元，如何分配乘坐线路A和线路B的人数，使总费用不超预算？列举所有可能的方案． 22．（8分）（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）人工智能模型的参数数量是衡量其规模和性能的重要指标，随着人工智能技术的突飞猛进，模型的参数数量不断增加．某人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量共，第二代的模型参数数量比第一代的100倍还多． （注：人工智能大模型中，常用字母“”作单位来表示模型的参数数量，“”是“”的缩写，即十亿） (1)求该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量各是多少？ (2)大量的模型参数需要巨大的训练成本，已知该人工智能语言模型每参数的训练成本约为50 万元，第三代模型参数数量不低于第二代的，第三代模型的训练成本至少为多少亿元？ 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”． 例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”． (1)对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围． 25．（10分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）据国家邮政局监测数据显示，截至年月日，我国快递业务量已突破五百亿件大关，快递业务极大程度为我们的生活提供了便利．一家快递公司在某一个城市对物品A的寄件方式和收费标准如下： ．寄件方式分为标准快递和特惠快递两种，标准快递既可以寄往市内也可以寄往市外，特惠快递只能寄往市内． ．两种寄件方式都按照每件快递包裹的重量（单位：千克）计算快递费用． （）标准快递规定寄往市内的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价；寄往市外的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． （）特惠快递规定每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． 下表是一位客户在该快递公司三次寄往市内的寄件情况： 第一次 第二次 第三次 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：－－－ 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 根据以上信息，解决下列问题： (1)①直接写出的值； ②第三次的寄件方式是______快递（填“标准”或“特惠”）． (2)在该快递公司快递物品， ①分别寄往市内、市外各件，寄往市内的快递包裹重量为千克，寄往市外的快递包裹重量为千克，一共支付的快递费用最少为______元； ②寄往市内件，如果选择标准快递所支付的费用小于选择特惠快递所支付的费用，那么这件快递包裹的重量（单位：千克）的取值范围为______． 26．（10分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京西城·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有个未知数，且含有未知数的项的次数均为的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A. ，是二元一次方程，符合题意； B. ，是二元二次方程，不符合题意； C. ，是分式方程，不符合题意； D. ，是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解，关键是理解二元一次方程的解的概念． 二元一次方程的解有无数个，将选项分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程得， ∴不是方程的解，不符合题意； B．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程得 ∴是方程的解，符合题意； D．把代入方程得 ∴不是方程的解，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级下·北京延庆·期末）《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意并根据题意得出方程组是解题的关键．根据题意大和尚和小和尚的人数之和为100，馒头总数也为100以此建立方程组即可． 【详解】解：大和尚x人，小和尚y人，总人数为100， 第一个方程为：， 大和尚每人分3个，共分得个； 小和尚每3人分1个，共分得个，总馒头数为100， 第二个方程为：， 可列方程组为． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． 通过移项，等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，设购买了x本笔记本，y支的签字笔，可得，再利用二元一次方程的正整数解解题即可． 【详解】解：购买了x本笔记本，y支的签字笔， 则， 即． ∴，，，， ∴购买方案有4种； 故选：A 6．（24-25七年级下·北京平谷·期中）已知方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键． 先将两个方程相加，得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 7．（24-25七年级下·北京西城·期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为， 由图1得， 整理得：①， 图2得， 整理得：②， ①②得：， 将代入②得：， 则， 那么， 即， 故选：C． 8．（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时， 解得， 将代入， 故①错误； ② 得， 当时，， 故②正确； ③ 得 解得， 故③错误； ④ 得 得， 不论取什么数，的值为1始终不变 故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【详解】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知是二元一次方程，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得． 故答案为：2． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意正确列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长比宽多， 根据题意得：， 解得： 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·北京通州·期中）方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把代入第二个方程求出，再把方程的解，代入第一个方程即可得到数的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得， 解得：， ∴方程组的解为，即有， 把代入得：， 故答案为：；． 13．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组． 用加减消元法得到，则，即可求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 解得：， 故答案为：2． 14．（24-25七年级下·北京·期末）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，第一行相加为：，设第二行中间的数为，则可列出关于的一元一次方程，进而求得的值． 【详解】解：∵， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍， 依题意，第一行相加为： ∴， ∴ 设第二行中间的数为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1－60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如下表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是 ； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是： ． 【答案】 绿 绿，黄，红，蓝，紫 【分析】本题考查方程组的应用，解方程组等知识点，根据题意列出方程组并求解是解题的关键． （1）根据题意设未知数，列方程组，解方程组，找到最大的数对应的颜色即可； （2）根据题意，由大到小找到数字对应颜色即可． 【详解】解：（1）设红、黄、蓝、绿、紫五个按键分别对应的数字为a，b，c，d，e. 由题意得：，解得， 所以对应数字最大的按键颜色是绿； 故答案为：绿 （2）由（1）知，， 因为要按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱， 所以能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是绿，黄，红，蓝，紫； 故答案为： 绿，黄，红，蓝，紫． 16．（25-26七年级下·北京·期中）对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∵，为非负数， ∴， 即， ∴； ∴ ， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解方法，熟练掌握代入消元法求解二元一次方程组是解题的关键． 根据代入消元法求解，先消去y，求得x，再将x代入即可求解． 【详解】解： 把代入得：， 解得：， 将 代入可得， 方程组的解为： 18．（5分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2 (2)②，计算减法时没有把负号转变为正号 (3)见解析 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． （2）第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （3）解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 19．（6分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了5个大人和3个小孩，共花了56元钱；乙说她家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，丙家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？ 【答案】34元 【分析】设成人票x元/张，儿童票y元/张，利用总价=.单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x + 2y）中即可求出结论． 【详解】解：设大人门票为x元/张，小孩门票为y元/张， 由题意，得： ， 解得：， ∴． 答：丙家计划去3个大人和2个小孩，需要34元的门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设，， 则原方程组变为 整理，得 解得 解得 请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．设，，将方程组变为，求解后得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设，， 则原方程组变为， 解得 ， 解得 21．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）怀柔的慕田峪长城享有“万里长城，慕田峪独秀”的美誉，是北京新十六景之一．在某票务平台上，慕田峪长城有两条旅游线路： 路线A（西线）：缆车往返（14号敌楼上下）费用成人120元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，适合所有年龄段． 路线B（中线）：缆车上（14号敌楼）＋滑道下（6号敌楼），总费用成人140元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，60周岁以上老人不可乘坐． 已知：某旅行团共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人．问： (1)旅行团中60周岁以上游客和60周岁以下游客的人数； (2)在满足（1）的条件下，若总预算为2440元，如何分配乘坐线路A和线路B的人数，使总费用不超预算？列举所有可能的方案． 【答案】(1)旅行团中有60岁以下游客12人，60岁以上游客8人； (2)可以有三种方案：方案一：选路线的游客有2人，选路线A的游客有18人；方案二：选路线的游客有1人，选路线A的游客有19人；方案三：选路线的游客有0人，选路线A的游客有20人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题关键． （1）设旅行团中60岁以下游客人，60岁以上游客人，根据“共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人”列二元一次方程组求解即可； （2）设选路线B的游客为人，根据总预算列一元一次不等式，求出，从而得到可以取2、1、0三个值，即可求解． 【详解】（1）解：设旅行团中60岁以下游客人，60岁以上游客人， 列方程为：， ①+②，得， 将代入①式，得， 方程组的解为， 答：旅行团中有60岁以下游客12人，60岁以上游客8人； （2）解：设选路线B的游客为人，则选路线A的游客为， 由题意选择路线B的游客只能是60周岁以下的12名游客，因此 a 需满足 ， 则， 化简，得， ， 可以取2、1、0三个值， 可以有三种方案： 方案一：选路线的游客有2人，选路线A的游客有18人； 方案二：选路线的游客有1人，选路线A的游客有19人； 方案三：选路线的游客有0人，选路线A的游客有20人． 22．（8分）（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）人工智能模型的参数数量是衡量其规模和性能的重要指标，随着人工智能技术的突飞猛进，模型的参数数量不断增加．某人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量共，第二代的模型参数数量比第一代的100倍还多． （注：人工智能大模型中，常用字母“”作单位来表示模型的参数数量，“”是“”的缩写，即十亿） (1)求该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量各是多少？ (2)大量的模型参数需要巨大的训练成本，已知该人工智能语言模型每参数的训练成本约为50 万元，第三代模型参数数量不低于第二代的，第三代模型的训练成本至少为多少亿元？ 【答案】(1)第一代和第二代的模型参数数量分别为和 (2)第三代模型的训练成本至少为9亿元 【分析】该题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找到等量和不等量关系． （1）设该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量分别为，，根据“第一代和第二代的模型参数数量共，第二代的模型参数数量比第一代的100倍还多”列方程求解即可． （2）设第三代模型的训练成本为m万元，根据“第三代模型参数数量不低于第二代的”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量分别为，， 由题意得 ， 解得 ， 答：第一代和第二代的模型参数数量分别为和． （2）解：设第三代模型的训练成本为m万元， 由题意得 ， 即． 答：第三代模型的训练成本至少为9亿元． 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”． 例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”． (1)对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)， (3)． 【分析】该题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是理解新定义． （1）根据“3阶不等式（组）”的定义求解即可； （2）根据加减消元法解方程即可； （3）由②知，，根据关于的“k阶不等式（组）”定义可知，则，，解得，且，，根据关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，得出，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ①，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； ②，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意； ③，解不等式组得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； 故答案为：①③； （2）解：， 得：， 将代入②得：， 故答案为：，． （3）解：由②知，， ∵， ∴，， 故，，， ∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”， ∴， 即， 解得：， 综上，． 25．（10分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）据国家邮政局监测数据显示，截至年月日，我国快递业务量已突破五百亿件大关，快递业务极大程度为我们的生活提供了便利．一家快递公司在某一个城市对物品A的寄件方式和收费标准如下： ．寄件方式分为标准快递和特惠快递两种，标准快递既可以寄往市内也可以寄往市外，特惠快递只能寄往市内． ．两种寄件方式都按照每件快递包裹的重量（单位：千克）计算快递费用． （）标准快递规定寄往市内的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价；寄往市外的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． （）特惠快递规定每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． 下表是一位客户在该快递公司三次寄往市内的寄件情况： 第一次 第二次 第三次 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：－－－ 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 根据以上信息，解决下列问题： (1)①直接写出的值； ②第三次的寄件方式是______快递（填“标准”或“特惠”）． (2)在该快递公司快递物品， ①分别寄往市内、市外各件，寄往市内的快递包裹重量为千克，寄往市外的快递包裹重量为千克，一共支付的快递费用最少为______元； ②寄往市内件，如果选择标准快递所支付的费用小于选择特惠快递所支付的费用，那么这件快递包裹的重量（单位：千克）的取值范围为______． 【答案】(1)①， ；②标准 (2)① ；②或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）①根据题意列出方程组即可求解；②根据收费标准即可判断； （）①分别求出寄往市内快递选择标准快递时支付的快递总费用和寄往市内快递选择特惠快递时支付的快递总费用，比较即可求解；②分和两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，， 解得， 即，； ②∵元， ∴第三次的寄件方式是标准快递， 故答案为：标准； （2）解：①当寄往市内快递选择标准快递时，支付的快递总费用为： 元； 当寄往市内快递选择特惠快递时，支付的快递总费用为： 元； ∵， ∴一共支付的快递费用最少为元， 故答案为：； ②当时， 解得， 又∵， ∴； 当， 解得； 综上，包裹的重量的取值范围为或， 故答案为：或． 26．（10分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京西城·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列每对数值中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京延庆·期末）《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）九年级某班为奖励学习进步的学生，购买了单价为12元/本的笔记本和单价为8元/支的签字笔两种文具，正好花费120元，则购买方案共有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．（24-25七年级下·北京平谷·期中）已知方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京西城·期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（24-25七年级下·北京顺义·期末）已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论： ①当时，该方程组的解和方程的解相同； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④对于任意有理数的值始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 10．（24-25七年级下·北京房山·期中）已知是二元一次方程，则a的值为 ． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 12．（24-25七年级下·北京通州·期中）方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ． 13．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 14．（24-25七年级下·北京·期末）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1－60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如下表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是 ； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是： ． 16．（25-26七年级下·北京·期中）对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： 18．（5分）（24-25七年级下·北京大兴·期中）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③        第一步 得：            第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是        第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． (2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． (3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 19．（6分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）列二元一次方程组解应用题：某公园举行大型游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣，甲、乙都随她们的家人参加了本次活动，丙也想去，就去打听甲、乙买门票花了多少钱，甲说她家去了5个大人和3个小孩，共花了56元钱；乙说她家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，丙家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多少元钱买门票？ 20．（6分）（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设，， 则原方程组变为 整理，得 解得 解得 请用这种方法解方程组： 21．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）怀柔的慕田峪长城享有“万里长城，慕田峪独秀”的美誉，是北京新十六景之一．在某票务平台上，慕田峪长城有两条旅游线路： 路线A（西线）：缆车往返（14号敌楼上下）费用成人120元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，适合所有年龄段． 路线B（中线）：缆车上（14号敌楼）＋滑道下（6号敌楼），总费用成人140元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，60周岁以上老人不可乘坐． 已知：某旅行团共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人．问： (1)旅行团中60周岁以上游客和60周岁以下游客的人数； (2)在满足（1）的条件下，若总预算为2440元，如何分配乘坐线路A和线路B的人数，使总费用不超预算？列举所有可能的方案． 22．（8分）（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）人工智能模型的参数数量是衡量其规模和性能的重要指标，随着人工智能技术的突飞猛进，模型的参数数量不断增加．某人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量共，第二代的模型参数数量比第一代的100倍还多． （注：人工智能大模型中，常用字母“”作单位来表示模型的参数数量，“”是“”的缩写，即十亿） (1)求该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量各是多少？ (2)大量的模型参数需要巨大的训练成本，已知该人工智能语言模型每参数的训练成本约为50 万元，第三代模型参数数量不低于第二代的，第三代模型的训练成本至少为多少亿元？ 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”． 例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”． (1)对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围． 25．（10分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）据国家邮政局监测数据显示，截至年月日，我国快递业务量已突破五百亿件大关，快递业务极大程度为我们的生活提供了便利．一家快递公司在某一个城市对物品A的寄件方式和收费标准如下： ．寄件方式分为标准快递和特惠快递两种，标准快递既可以寄往市内也可以寄往市外，特惠快递只能寄往市内． ．两种寄件方式都按照每件快递包裹的重量（单位：千克）计算快递费用． （）标准快递规定寄往市内的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价；寄往市外的每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． （）特惠快递规定每件快递包裹重量不超过千克的，需付费元，超过千克的部分按每千克元计价． 下表是一位客户在该快递公司三次寄往市内的寄件情况： 第一次 第二次 第三次 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：特惠快递 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 快递物品： 寄件方式：－－－ 件数： 包裹重量：千克 支付的快递费用：元 根据以上信息，解决下列问题： (1)①直接写出的值； ②第三次的寄件方式是______快递（填“标准”或“特惠”）． (2)在该快递公司快递物品， ①分别寄往市内、市外各件，寄往市内的快递包裹重量为千克，寄往市外的快递包裹重量为千克，一共支付的快递费用最少为______元； ②寄往市内件，如果选择标准快递所支付的费用小于选择特惠快递所支付的费用，那么这件快递包裹的重量（单位：千克）的取值范围为______． 26．（10分）（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B D A A C C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．2 11． 12． 13．2 14． 15．绿 绿，黄，红，蓝，紫 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】解： 把代入得：， 解得：，将 代入可得，··········································3分 方程组的解为：···········································5分 18．（5分） 【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立．··········································2分 （2）第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号；·········································3分 （3）解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是··········································5分 19．（6分） 【详解】解：设大人门票为x元/张，小孩门票为y元/张， 由题意，得： ，··········································2分 解得：，··········································4分 ∴． 答：丙家计划去3个大人和2个小孩，需要34元的门票．··········································6分 20．（6分） 【详解】解：设，， 则原方程组变为，··········································2分 解得··········································3分 ， 解得··········································6分 21．（6分） 【详解】（1）解：设旅行团中60岁以下游客人，60岁以上游客人， 列方程为：， ①+②，得， 将代入①式，得， 方程组的解为， 答：旅行团中有60岁以下游客12人，60岁以上游客8人；···························2分 （2）解：设选路线B的游客为人，则选路线A的游客为， 由题意选择路线B的游客只能是60周岁以下的12名游客，因此 a 需满足 ， 则， 化简，得， ， 可以取2、1、0三个值， 可以有三种方案： 方案一：选路线的游客有2人，选路线A的游客有18人； 方案二：选路线的游客有1人，选路线A的游客有19人； 方案三：选路线的游客有0人，选路线A的游客有20人．··········································6分 22．（8分） 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为．··········································3分 （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴．··········································8分 23．（8分） 【详解】（1）解：设该人工智能语言模型第一代和第二代的模型参数数量分别为，， 由题意得 ， 解得 ， 答：第一代和第二代的模型参数数量分别为和．··········································4分 （2）解：设第三代模型的训练成本为m万元， 由题意得 ， 即． 答：第三代模型的训练成本至少为9亿元．··········································8分 24．（8分） 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ①，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； ②，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意； ③，解不等式组得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； 故答案为：①③；··········································2分 （2）解：， 得：， 将代入②得：，··········································4分 故答案为：，．··········································6分 （3）解：由②知，， ∵， ∴，， 故，，， ∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”， ∴， 即， 解得：， 综上，．··········································8分 25．（10分） 【详解】（1）解：①由题意得，，解得， 即，；··········································2分 ②∵元， ∴第三次的寄件方式是标准快递， 故答案为：标准；··········································4分 （2）解：①当寄往市内快递选择标准快递时，支付的快递总费用为： 元； 当寄往市内快递选择特惠快递时，支付的快递总费用为： 元； ∵， ∴一共支付的快递费用最少为元， 故答案为：；··········································6分 ②当时， 解得， 又∵， ∴； 当， 解得； 综上，包裹的重量的取值范围为或， 故答案为：或．··········································10分 26．（10分） 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③；··········································2分 （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴，解得：；··········································5分 （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴，解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴，解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴．··········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $