第八章立体几何初步：8.1-8.2基本立体图形及其直观图核心基础知识清单（含pdf可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

第8章立体几何初步(8.1基本立体图形-8.2立体图形的直观图) 知识清单 8.1基本立体图形 基本概念 1.空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形，分为多 面体和旋转体两类。 2多面体的核心概念：由若干个平面多边形围成的几何体，组成要素包括： 面：围成多面体的各个多边形； o棱：相邻两个面的公共边： o顶点：棱与棱的公共点。 3旋转体的核心概念：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线（轴）旋转形成的封闭几何体。 4.常见基本立体图形的定义与性质 几何体 定义 图形 关键性质 棱柱 有两个面互相平行（底面），其余各 侧棱都相等；侧面都是平行四边形；直棱 面都是四边形，且相邻四边形的公共 柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形 边互相平行 棱锥 有一个面是多边形（底面），其余各 正棱锥底面为正多边形，顶点与底面中心 面都是有一个公共顶点的三角形 连线垂直底面；三棱锥又叫四面体 棱台 用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底 侧棱延长线交于一点：上下底面互相平行 面与截面之间的部分 且相似 圆柱 以矩形的一边为轴，其余三边旋转形 关面 底面为两个全等圆；母线平行且相等；轴 成的面围成的旋转体 侧而 垂直底面 一母线 40 底面 圆锥 以直角三角形的一条直角边为轴，其 轴 底面为圆；母线交于项点；轴垂直底面 侧面 余两边旋转形成的面围成的旋转体 母线 底面 圆台 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，底 底面、 轴 上下底面为两个相似圆：母线延长线交于 面与截面之间的部分 侧面 母线、 一点 01 底面 球 以半圆的直径为轴，半圆面旋转一周 球心到球面上任意点的距离（半径）相 形成的几何体 等；截面为圆，球心到截面距离d、截面半 径、球半径R满足R2=r2+d2 5.简单组合体：由简单几何体拼接或截去挖去一部分而成。 二级结论与解题技巧方法 1.几何体的分类判断技巧： o多面体Vs旋转体：看构成面是“平面多边形还是“旋转形成的曲面’： 。棱柱判断：紧扣“两底面平行、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可： 棱台判断：侧棱延长线是否交于一点，且上下底面平行相似。 2球的截面问题技巧：牢记公式R2=r2+d2,已知任意两个量可求第三个量(R为球半径，r为截面圆半 径，d为球心到截面距离)。 3组合体的分析技巧：“分解法”一将组合体拆分为熟悉的基本几何体（如圆柱挖去圆锥、棱柱拼接棱 锥)，再分析结构特征。 4.几何体表面最短路径技巧：“展开法”一将几何体侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求最 短路径（适用于棱柱、棱锥侧面爬行问题）。 易错点拨 1棱柱判断的易错点：误认为“有两个面平行、其余面为四边形'就是棱柱，忽略“侧棱互相平行”的关键条 件（反例：两个平行四边形底面，侧棱不平行的几何体不是棱柱）。 2棱锥与棱台的混淆：棱台的侧棱延长线必须交于一点，若仅上下底面平行，侧棱不共点，则不是棱台。 3旋转体的轴判断错误：圆柱的轴是矩形“一边”，圆锥的轴是直角三角形一条直角边”，若以非指定边为 轴旋转，得不到对应的旋转体（如以直角三角形斜边为轴旋转，得到的是两个圆锥的组合体）。 典型例题 题型1：基本立体图形的判断与性质 1.下列几何体中是棱锥的有() ① ② ③ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥故选：C 2.给出下列命题： ①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体：③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥： ④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点，则正确的是() A.① B.② C.③ D.④ 【答案】AD 【详解】对于①：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，故长方体是四棱柱，故①正确：对于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直 四棱柱不是长方体，故②错误：对于③：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中 心，这样的棱锥不是正棱锥，故③错误：对于④：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部 分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，它们必相交于一点，故④正确：故选：AD 题型2：球的截面与组合体问题 1.长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12,6,8，则长方体的体对角线长为一· 【答案】√29 【解析】设长方体ABCD-ABCD从顶点B出发的三条棱长分别为a,b,c,且ab=12,ac=6,bc=8, 则a=3,b=4,c=2,所以长方体ABCD-ABCD中线段BD的长等于√32+42+22=√29.故答案为： √29 0 A 题型3：几何体表面最短路径 1.如图，在长方体ABCD-ABCD,中，AB=4,AD=2,AA=3,一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到 顶点C,则小虫走过的最短路线的长为 D D. 【答案】√41 【详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱BB,则最短路程为(4+2)+32=3√5： 若小虫爬行路线经过棱AB,则最短路程为√4+(2+3)=√41； 若小虫爬行路线经过棱BC,则最短路程为V22+(3+4)=√53 综上所述，小虫走过的最短路线的长为√41.故答案为：√41 重难题型突破 突破1：复杂组合体的截面问题 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体， 现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是() (1) (2) (3) (4) (5) A. (2)(5) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(1)(5) 【答案】D 【详解】当截面ABCD如下图为轴截面时，截面图形如(1)所示； D 当截面ABCD如下图不为轴截面时，截面图形如(5)所示，下侧为抛物线的形状： 01 D 故选：D. 突破2：棱锥侧面最短路径 如图，正三棱锥P-ABC中，∠BPC=20°，侧棱长为4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行 一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是() A.2W2 B.4 C.23 D.2 【答案】B 【解析】将正三棱锥P-ABC沿PA剪开，得到侧面展开图，如图所示，因为∠BPC=20°，即∠APA=60, 由△ABC的周长为AB+BC+CA,要使△AB,C的周长的最小，则A,B,C,A共线，即 AB,+B,C+CA=AA,又由正三棱锥P-ABC侧棱长为4，△APA是等边三角形，所以 (AB+BC+CA)m=4,即虫子爬行的最短距离是4.故选：B. 82立体图形的直观图 基本概念 1.直观图的定义：用来表示空间几何体的平面图形，常用斜二测画法绘制。 2斜二测画法的核心规则（水平放置的平面图形） o画轴：建立x'0'y',使∠x'0'y=45°（或135）； o画线：平行于原x轴的线段，在直观图中平行于x轴，长度不变；平行于原y轴的线段，在直观图中 平行于y轴，长度为原来的一半： o成图：连接线段，擦去辅助线。 3.面积关系：设原平面图形面积为5，直观图面积为S',则s'=三s(或5=22s)。 4.空间几何体直观图的绘制 o画轴：建立x'0'y'（水平面，∠x'0'y'=45°或135)和z轴（垂直于水平面）： 。画底面：按斜二测画法绘制底面平面图形： o画侧棱：平行于x'、y轴的线段长度不变，平行于z轴的线段长度不变： o成图：连线后擦去辅助轴。 二级结论与解题技巧方法 1.直观图与原图的互化技巧： 原图→直观图：x轴方向线段长度不变，y轴方向线段长度减半，夹角变为45°或135°： o直观图→原图：x轴方向线段长度不变，y轴方向线段长度加倍，夹角还原为90°。 2.面积计算技巧：若己知直观图面积，求原图面积需乘以2√2：反之除以2√2，无需重新画图，直接利用面 积关系公式。 3.直观图的形状判断技巧：平行关系不变（原图平行的线段，直观图仍平行)；直角可能变为45°或135°， 非直角可能变为直角；正方形、矩形的直观图通常为平行四边形。 易错点拨 1斜二测画法的长度混淆：误将直观图中y轴方向线段长度当作原图长度（应加倍），或原图中y轴方向线 段长度直接用于直观图（应减半）。 2.直观图的面积计算错误：忘记面积关系公式，直接用直观图的边长比例计算面积（如直观图是边长为1 的正方形，原图面积不是2，而是22)。 3球的截面问题漏解：忽略“截面可能经过球心或不经过球心”，导致漏求截面圆半径或球心到截面距离。 典型例题 题型：斜二测画法的应用 1.如图，△OA'B是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是() B A 6 A.6 B.3W2 C.62 D.12 【答案】D 【详解】如图，由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，直角边OA=6,OB=4, 1 SoB=0A.0B=×6×4=12.故选：D. 2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为一· 【答案】2√2 【详解】解：根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，其中O'A'=1,OB=√2， 根据斜二测面法规则，还原为如图2所示的原图，其中OA-1,O8-2反，∠C0B=牙，所以原图形的面 积为S=x2W2x1+x22x1=2W5.故答案为：2√2 2 图1 图2 重难题型突破 突破：斜二测画法与原图的互化综合 例：如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D,己知A'B=4,CD=2,则下列说法 正确的是() D /O'(40 B文 A.AB=2 B.AD=2√2 C.四边形ABCD的周长为4+22+2√3 D.四边形ABCD的面积为6√互 【答案】D 【详解】如图过D作DE⊥OB,由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形，即 AD=5E=2X(4-2x5=5,即B错误： D O(A B 还原平面图为下图 即AB=4=2CD,AD=2√2，即A错误： O(A) 过C作CF LAB,由勾股定理得CB=2√3，故四边形ABCD的周长为：4+2+2√2+2√5=6+2√2+2√5， 即C错误； 四边形ABCD的面积为：×4+2x25-65,即D正确故选：D. 第8章 立体几何初步（8.1基本立体图形-8.2立体图形的直观图） 知识清单 8.1 基本立体图形 基本概念 1.空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形，分为多面体和旋转体两类。 2.多面体的核心概念：由若干个平面多边形围成的几何体，组成要素包括： ￮面：围成多面体的各个多边形； ￮棱：相邻两个面的公共边； ￮顶点：棱与棱的公共点。 3.旋转体的核心概念：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线（轴） 旋转形成的封闭几何体。 4.常见基本立体图形的定义与性质 几何体 定义 图形 关键性质 棱柱 有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行 侧棱都相等；侧面都是平行四边形；直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形 棱锥 有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形 正棱锥底面为正多边形，顶点与底面中心连线垂直底面；三棱锥又叫四面体 棱台 用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分 侧棱延长线交于一点；上下底面互相平行且相似 圆柱 以矩形的一边为轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体 底面为两个全等圆；母线平行且相等；轴垂直底面 圆锥 以直角三角形的一条直角边为轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体 底面为圆；母线交于顶点；轴垂直底面 圆台 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分 上下底面为两个相似圆；母线延长线交于一点 球 以半圆的直径为轴，半圆面旋转一周形成的几何体 球心到球面上任意点的距离（半径）相等；截面为圆，球心到截面距离d、截面半径r、球半径R满足 5.简单组合体：由简单几何体拼接或截去/挖去一部分而成。 二级结论与解题技巧方法 1.几何体的分类判断技巧： ￮多面体vs旋转体：看构成面是“平面多边形”还是“旋转形成的曲面”； ￮棱柱判断：紧扣“两底面平行、侧棱平行且相等、侧面为平行四边形”，缺一不可； ￮棱台判断：侧棱延长线是否交于一点，且上下底面平行相似。 2.球的截面问题技巧：牢记公式，已知任意两个量可求第三个量（为球半径，为截面圆半径，为球心到截面距离）。 3.组合体的分析技巧：“分解法”——将组合体拆分为熟悉的基本几何体（如圆柱挖去圆锥、棱柱拼接棱锥），再分析结构特征。 4.几何体表面最短路径技巧：“展开法”——将几何体侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”求最短路径（适用于棱柱、棱锥侧面爬行问题）。 易错点拨 1.棱柱判断的易错点：误认为“有两个面平行、其余面为四边形”就是棱柱，忽略“侧棱互相平行”的关键条件（反例：两个平行四边形底面，侧棱不平行的几何体不是棱柱）。 2.棱锥与棱台的混淆：棱台的侧棱延长线必须交于一点，若仅上下底面平行，侧棱不共点，则不是棱台。 3.旋转体的轴判断错误：圆柱的轴是矩形“一边”，圆锥的轴是直角三角形“一条直角边”，若以非指定边为轴旋转，得不到对应的旋转体（如以直角三角形斜边为轴旋转，得到的是两个圆锥的组合体）。 典型例题 题型1：基本立体图形的判断与性质 1.下列几何体中是棱锥的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C. 2.给出下列命题： ①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥； ④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【详解】对于①：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，故长方体是四棱柱，故①正确；对于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直四棱柱不是长方体，故②错误；对于③：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中心，这样的棱锥不是正棱锥，故③错误；对于④：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，它们必相交于一点，故④正确；故选：AD 题型2：球的截面与组合体问题 1.长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为 ． 【答案】 【解析】设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，，所以长方体中线段的长等于.故答案为：. 题型3：几何体表面最短路径 1.如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为.故答案为：. 重难题型突破 突破1：复杂组合体的截面问题 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D. 突破2：棱锥侧面最短路径 如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示，因为，即，由的周长为，要使的周长的最小，则共线，即，又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，所以，即虫子爬行的最短距离是.故选：B. 8.2 立体图形的直观图 基本概念 1.直观图的定义：用来表示空间几何体的平面图形，常用斜二测画法绘制。 2.斜二测画法的核心规则（水平放置的平面图形） ￮画轴：建立，使（或）； ￮画线：平行于原轴的线段，在直观图中平行于轴，长度不变；平行于原轴的线段，在直观图中平行于轴，长度为原来的一半； ￮成图：连接线段，擦去辅助线。 3.面积关系：设原平面图形面积为，直观图面积为，则（或）。 4.空间几何体直观图的绘制 ￮画轴：建立（水平面，或）和轴（垂直于水平面）； ￮画底面：按斜二测画法绘制底面平面图形； ￮画侧棱：平行于、轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度不变； ￮成图：连线后擦去辅助轴。 二级结论与解题技巧方法 1.直观图与原图的互化技巧： ￮原图→直观图：轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，夹角变为或； ￮直观图→原图：轴方向线段长度不变，轴方向线段长度加倍，夹角还原为。 2.面积计算技巧：若已知直观图面积，求原图面积需乘以；反之除以，无需重新画图，直接利用面积关系公式。 3.直观图的形状判断技巧：平行关系不变（原图平行的线段，直观图仍平行）；直角可能变为或，非直角可能变为直角；正方形、矩形的直观图通常为平行四边形。 易错点拨 1.斜二测画法的长度混淆：误将直观图中轴方向线段长度当作原图长度（应加倍），或原图中轴方向线段长度直接用于直观图（应减半）。 2.直观图的面积计算错误：忘记面积关系公式，直接用直观图的边长比例计算面积（如直观图是边长为1的正方形，原图面积不是2，而是）。 3.球的截面问题漏解：忽略“截面可能经过球心或不经过球心”，导致漏求截面圆半径或球心到截面距离。 典型例题 题型：斜二测画法的应用 1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】如图，由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，， ∴.故选：D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为 ．    【答案】 【详解】解：根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，其中，， 根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图，其中，，，所以原图形的面积为.故答案为：.      重难题型突破 突破：斜二测画法与原图的互化综合 例：如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【详解】如图过作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即，即B错误； 还原平面图为下图，即，即A错误； 过C作，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $