8.3.2 球的表面积和体积（2）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2球的表面积和体积（2）知识点 1.球的表面积与体积公式 　名称 几何体　　　　 表面积 体积 球 S＝4πR2 V＝πR3 2.球的截面性质： 球心与截面圆圆心的连线与截面垂直，与截面内的直线都垂直．在如图直角三角形OO1A中，R2＝d2＋r2. A 3． 长方体外接球的直径为体对角线： 若长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 4． 正方体与球的切、接常用结论： 设正方体的棱长为a，球的半径为R (1)若球为正方体的外接球，则2R＝a； (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a. 8.3.2 球的表面积和体积（2）导学案 班级： 姓名： 组号： 1、 【学习目标】 1. 背会球的表面积和体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 2. 熟记球的截面性质； 3. 会解决长方体外接球、内切球问题. 2、 【学习重、难点】 重点：1.掌握球的表面积和体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 2.会解决球的截面问题； 难点：长方体外接球、内切球半径的计算. 三、【考点提示】高考以选择题的形式出现，中档难度 四、【基础感知】阅读课本P117-P119，完成以下问题： 1. 球的表面积与过球心的截面圆（大圆）面积关系是什么？ 2. 球的半径扩大了2倍，表面积扩大了几倍？体积扩大了几倍？ 3. 若球的表面积为100π，球的截面圆面积为16π，则球心到截面圆的距离是多少？ 4. 长方体的共顶点的三条棱长分别为6，8，10，外接球的半径为多少？ 5. 正方体的棱长为4，球的半径为R： (1)若球为正方体的外接球，则R＝ ； (2)若球为正方体的内切球，则R＝ . 五、【深入学习】 题型一 球的表面积和体积 例1.已知球的体积为，则它的表面积为 . 对点练习1：当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 题型二 球的截面问题 例2.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A. B． C．1 D． 解析：如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边△ABC的中心．设△ABC的边长为a，则a2＝解得a＝3(负值舍去)，∴O1A＝××3＝.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝＝1，即O到平面ABC的距离为1. 对点练习2．一平面截一球得到直径为的球面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是 . 题型三 与球有关的切、接问题 例3在棱长为4的正方体中，它的外接球和内切球的体积各是多少？ 对点练习3．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A. B．2 C． D．3 8.3.2 球的表面积和体积（2）限时练 【基础巩固】 1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　) A．144π，144π　　 B．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π 2.把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 (　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 3.若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 4.设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　) A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 5.一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为 (　　) A．144π cm3 B．288π cm3 C．576π cm3 D．864π cm3 6.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为________． 7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________． 8.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图②所示，已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　　) A．2 B. C. D．1 9.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个正三棱柱的体积是________ 10.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． 11.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 . 【能力提升】 12.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中，试求该组合体的表面积和体积． 13.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为 10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积． 【能力拓展】 14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $