专题09正方形同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09正方形同步专项训练讲义 【题型01 正方形性质理解】........................................3 【题型02 由正方形的性质求角度】..................................4 【题型03 由正方形的性质求线段长】..................................5 【题型04 由正方形的性质求面积】..................................6 【题型05 正方形折叠问题】........................................7 【题型06 由正方形的性质证明】....................................8 【题型07 正方形的判定定理理解】..................................9 【题型08 添一个条件使四边形是正方形】...........................10 【题型09 证明四边形是正方形】...................................10 【题型10 由正方形的性质与判定求角度】...........................11 【题型11 由正方形的性质与判定求线段长】.........................12 【题型12 由正方形的性质与判定求面积】...........................13 【题型13 由正方形的性质与判定证明】.............................14 【解答题5题】..................................................15 ★知识梳理★ 知识点01:正方形的定义 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:正方形的性质 正方形 = 矩形性质 + 菱形性质 + 自身独有性质 1. 边的性质 四条边都相等 对边平行 2. 角的性质 四个角都是直角（90°） 3. 对角线性质（最重要） 对角线相等 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 1. 边的性质 四条边相等：AB=BC=CD=DA 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 2. 角的性质 四个角都是直角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘ 3. 对角线的性质（对角线 AC、BD 交于点 O） 对角线相等：AC=BD 对角线互相垂直平分：AC⊥BD，且 AO=OC，BO=OD 每条对角线平分一组对角： AC 平分 ∠DAB 和 ∠BCD，即 ∠BAC=∠DAC=45∘，∠BCA=∠DCA=45∘ BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC，即 ∠ABD=∠CBD=45∘，∠ADB=∠CDB=45∘ 对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形：△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA，且均为等腰直角三角形。 4. 对称性 是轴对称图形，有4 条对称轴 是中心对称图形，对称中心是对角线交点 知识点03:正方形的判定（考试必考） 只要满足下面任意一条，就是正方形： 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 矩形 + 一组邻边相等 矩形 + 对角线互相垂直 菱形 + 一个角是直角 菱形 + 对角线相等 最简判定口诀：既是矩形又是菱形 → 就是正方形。 1. 从平行四边形出发 已知：四边形 ABCD 是平行四边形。 判定：若 AB=BC 且 ∠ABC=90∘，则平行四边形 ABCD 是正方形。 2.从矩形出发： 已知：四边形 ABCD 是矩形（∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘）。 判定 1：若 AB=BC，则矩形 ABCD 是正方形。 判定 2：若对角线 AC⊥BD，则矩形 ABCD 是正方形。 3.从菱形出发： 已知：四边形 ABCD 是菱形（AB=BC=CD=DA）。 判定 1：若 ∠ABC=90∘，则菱形 ABCD 是正方形。 判定 2：若对角线 AC=BD，则菱形 ABCD 是正方形。 知识点04:常用公式 设正方形边长为 a，对角线长为 d 1.周长 C=4a 2.面积 S=a2= 3.对角线与边长关系 d=a 【题型1.正方形性质理解】 【典例】在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【跟踪专练2】如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（    ）.    A． B． C． D． 【跟踪专练3】在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；展平纸片，按照所得的点折出，得到矩形．若矩形纸片的宽，则的长为 ． 【题型2.由正方形的性质求角度】 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知平行四边形和正方形，其中点E在上，若，，则 ． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 【典例】一个正方形的边长是米，它的周长是 米． 【跟踪专练1】正方形的对角线长度为2，则其边长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为 ． 【跟踪专练3】蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【题型4.由正方形的性质求面积】 【典例】若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 【跟踪专练1】若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【跟踪专练2】如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有 ． 【跟踪专练3】正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【题型6.由正方形的性质证明】 【典例】如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【跟踪专练1】如图，是正方形的对角线上一点（不与点、重合），于点，于点，连结．有下列结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为 ． 【跟踪专练3】如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【题型7.正方形的判定定理理解】 【典例】有一组邻边相等的 是正方形． 【跟踪专练1】已知四边形是平行四边形，增加下列条件，能判定四边形ABCD是正方形的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线平分一组对角 【跟踪专练2】如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【题型8.添一个条件使四边形是正方形】 【典例】如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【跟踪专练3】如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【跟踪专练1】四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【跟踪专练2】如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为 ． 【跟踪专练3】如图，点P是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①；②；③当时，四边形为正方形；④的最小值是1．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【题型10.由正方形的性质与判定求角度】 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【跟踪专练2】如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    【跟踪专练3】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【题型11.由正方形的性质与判定求线段长】 【典例】已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为 ． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【跟踪专练3】如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【题型12.由正方形的性质与判定求面积】 【典例】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 ． 【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【题型13.由正方形的性质与判定证明】 【典例.】如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【跟踪专练1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．则图中与△AOB全等的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有 ．（填序号） 【跟踪专练3】已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如下图，在正方形中，是边上一点，．连接并延长，交边的延长线于点，，连接．求证：． 2．如图，是正方形的对角线所在直线上的两点，，连接，．若，四边形的周长为，求的长． 3．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 4．如图，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出一个以为顶点的矩形，使得它的长宽不相等，且面积等于正方形面积的一半； (2)在图2中，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半． 5．如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09正方形同步专项训练讲义 【题型01 正方形性质理解】........................................3 【题型02 由正方形的性质求角度】..................................6 【题型03 由正方形的性质求线段长】..................................8 【题型04 由正方形的性质求面积】.................................10 【题型05 正方形折叠问题】.......................................12 【题型06 由正方形的性质证明】...................................17 【题型07 正方形的判定定理理解】.................................22 【题型08 添一个条件使四边形是正方形】...........................24 【题型09 证明四边形是正方形】...................................27 【题型10 由正方形的性质与判定求角度】...........................31 【题型11 由正方形的性质与判定求线段长】.........................34 【题型12 由正方形的性质与判定求面积】...........................39 【题型13 由正方形的性质与判定证明】.............................42 【解答题5题】..................................................47 ★知识梳理★ 知识点01:正方形的定义 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:正方形的性质 正方形 = 矩形性质 + 菱形性质 + 自身独有性质 1. 边的性质 四条边都相等 对边平行 2. 角的性质 四个角都是直角（90°） 3. 对角线性质（最重要） 对角线相等 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 1. 边的性质 四条边相等：AB=BC=CD=DA 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 2. 角的性质 四个角都是直角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘ 3. 对角线的性质（对角线 AC、BD 交于点 O） 对角线相等：AC=BD 对角线互相垂直平分：AC⊥BD，且 AO=OC，BO=OD 每条对角线平分一组对角： AC 平分 ∠DAB 和 ∠BCD，即 ∠BAC=∠DAC=45∘，∠BCA=∠DCA=45∘ BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC，即 ∠ABD=∠CBD=45∘，∠ADB=∠CDB=45∘ 对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形：△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA，且均为等腰直角三角形。 4. 对称性 是轴对称图形，有4 条对称轴 是中心对称图形，对称中心是对角线交点 知识点03:正方形的判定（考试必考） 只要满足下面任意一条，就是正方形： 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 矩形 + 一组邻边相等 矩形 + 对角线互相垂直 菱形 + 一个角是直角 菱形 + 对角线相等 最简判定口诀：既是矩形又是菱形 → 就是正方形。 1. 从平行四边形出发 已知：四边形 ABCD 是平行四边形。 判定：若 AB=BC 且 ∠ABC=90∘，则平行四边形 ABCD 是正方形。 2.从矩形出发： 已知：四边形 ABCD 是矩形（∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘）。 判定 1：若 AB=BC，则矩形 ABCD 是正方形。 判定 2：若对角线 AC⊥BD，则矩形 ABCD 是正方形。 3.从菱形出发： 已知：四边形 ABCD 是菱形（AB=BC=CD=DA）。 判定 1：若 ∠ABC=90∘，则菱形 ABCD 是正方形。 判定 2：若对角线 AC=BD，则菱形 ABCD 是正方形。 知识点04:常用公式 设正方形边长为 a，对角线长为 d 1.周长 C=4a 2.面积 S=a2= 3.对角线与边长关系 d=a 【题型1.正方形性质理解】 【典例】在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质可知点关于轴对称，所在直线为的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点的坐标． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴点关于轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵点关于轴对称， ∴点纵坐标为1，点纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角、正方形的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键. 由是正五边形的一个外角可得，再根据正方形的性质可得，最后根据两直线平行线、同旁内角互补即可解答. 【详解】解：∵是正五边形的一个外角， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，解得：. 故选C. 【跟踪专练3】在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；展平纸片，按照所得的点折出，得到矩形．若矩形纸片的宽，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点．根据折叠的性质可得，根据图3折叠方式得出，据此求解即可． 【详解】解：按图1方式折叠，可得正方形， 按图2方式折叠，可得， 按图3方式折叠，则， 则， 故答案为：． 【题型2.由正方形的性质求角度】 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，已知平行四边形和正方形，其中点E在上，若，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识，解题关键是理解相关性质并熟练运用． 根据正方形的性质可知，由平角的定义计算，由三角形内角和定理计算的度数，然后根据平行四边形的性质推导的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 【典例】一个正方形的边长是米，它的周长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了正方形周长的求解，用边长乘以4即可求出周长． 【详解】解：由正方形的边长是米， 所以周长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】正方形的对角线长度为2，则其边长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键． 根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， ∵正方形的对角线为2， ∴由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：9． 【跟踪专练3】蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型4.由正方形的性质求面积】 【典例】若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4， ∴这个正方形的面积=×4²=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 【跟踪专练1】若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为2， ∴这个正方形的面积． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【跟踪专练3】如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用勾股定理求直角三角形的边是解题的关键． 先根据正方形的性质和勾股定理可求得，再根据正方形的性质求面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是延长线上一点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 故选B． 【题型5.正方形折叠问题】 【典例】如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【跟踪专练2】如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】先求出、的长，再根据翻折的性质可得，，，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再设，然后表示出、，在中，利用勾股定理列出方程求出，从而可以判断①正确；根据的正切值判断，从而求出，不是等边三角形，，判断②错误；先求出的面积，再求出，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到的面积，判断③正确． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴，， ∵沿对折至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∴， 即点G是中点，故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是等边三角形， ∴，故②错误； 的面积， ∵， ∴，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列式求出的长度是解题的关键，也是本题的难点． 【跟踪专练3】正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【题型6.由正方形的性质证明】 【典例】如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接交于一点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴点A与点C关于对称， ∴， ∴，此时最小， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵点E在上，且， ∴，即的最小值为 故答案为：．    【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，是正方形的对角线上一点（不与点、重合），于点，于点，连结．有下列结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，垂足为点N，延长，交于点M，根据矩形的性质证明即可得出①和④正确；再根据三角形内角和定理即可判断②正确；在根据点P的任意性可以判定③． 【详解】解：过点P作，垂足为点N，延长，交于点M， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， 四边形为矩形， ∴， ∴，故①正确； 在与中 ， 则， ∴，故④正确； 与中，，， ∴ ∴，故②正确； P是上任意一点，因而不一定是等腰三角形，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 【题型7.正方形的判定定理理解】 【典例】有一组邻边相等的 是正方形． 【答案】矩形（长方形） 【分析】根据正方形的判别：有一组领边相等的矩形（长方形）是正方形，即可得出答案． 【详解】根据定理：有一组领边相等的矩形（长方形）是正方形， 故答案为：矩形（长方形）． 【点睛】题目主要考查对正方形的判别定理，对定理的理解记忆是解题关键． 【跟踪专练1】已知四边形是平行四边形，增加下列条件，能判定四边形ABCD是正方形的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定条件，平行四边形需同时满足矩形（对角线相等）和菱形（对角线垂直）的特征． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，但无法保证四边相等，故不一定是正方形； B、对角线垂直的平行四边形是菱形，但无法保证四个角为直角，故不一定是正方形； C、对角线相等且互相垂直时，平行四边形同时满足矩形（对角线相等）和菱形（对角线垂直）的条件，因此必为正方形； D、对角线平分一组对角是菱形的性质，但无法保证对角线相等或四个角为直角，故不一定是正方形， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 【跟踪专练3】如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不一定是正方形，故不符合题意； B、，四边形是矩形，不一定是正方形，故不符合题意； C、，，四边形是正方形，故不符合题意； D、，，四边形不是正方形，故符合题意； 故选：C． 【题型8.添一个条件使四边形是正方形】 【典例】如图，在中，对角线，请你添加一个条件，使得四边形是正方形，你添加的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质即可解答． 【详解】解：在中，若对角线，则为矩形， 要使它为正方形，则一组邻边相等即可， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 【跟踪专练3】如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 【题型9.证明四边形是正方形】 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 【跟踪专练1】四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、不能判定为特殊的四边形； B、只能判定为矩形； C、只能判定为菱形； D、能判定为正方形； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为 ． 【答案】4 【分析】过点作轴于，轴于，先判断出四边形为正方形，得出，，进而判断出，得出，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【跟踪专练3】如图，点P是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①；②；③当时，四边形为正方形；④的最小值是1．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定等，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定是解题的关键．连接，设交于点，利用特殊位置确定①的正确；只要求出即可确定②的正确；先确定四边形是矩形，再确定是正方形即可判定③的正确；利用，最小即最小，即可求最小值． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ①∵当点与中点重合时，，显然， 故①不合正确； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故③正确； ④∵， ∴最小即最小， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形， 此时， 故④正确； 故正确的是②③④， 故选：C． 【题型10.由正方形的性质与判定求角度】 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【题型11.由正方形的性质与判定求线段长】 【典例】已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为 ． 【答案】6或 【分析】直接根据正方形的性质进行计算可得答案． 【详解】解：当点E在边上时，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当点E在边上时，如图： ∵，， ∴． 故答案为：6或． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，能够进行分类讨论是解决此题的关键． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型12.由正方形的性质与判定求面积】 【典例】如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 ． 【答案】4 【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4． 【详解】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F， ∵∠ABC=90°，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠FCD+∠BCD=180°， ∴∠A=∠FCD， 又∠AED=∠F=90°，AD=DC， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴DE=DF， ∴四边形DEBF为正方形， S四边形ABCD=S正方形DEBF=16， ∴DE=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； 证明，由勾股定理算出，根据阴影部分面积为即可求解； 【详解】由折叠可得：， 是矩形， ， 是正方形， ， ， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． 根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， ， 四边形是菱形， ， ，即， 四边形是正方形， ，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积是． 故选：B． 【题型13.由正方形的性质与判定证明】 【典例.】如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．则图中与△AOB全等的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可以得到对角线互相垂直平分且相等，据此即可证明△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA，问题得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA， ∴与△AOB全等的三角形有三个． 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟知正方形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．其中结论正确的序号有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【详解】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过作于点，过作于点，根据正方形的性质得到，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故①正确；根据正方形的性质得到推出，得到，求得，故③④正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，故②错误． 【解答】解：过作于点，过作于点，如图所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ， ∵四边形为矩形， ∴矩形为正方形；故①正确； ∵， ， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，四边形是正方形， ∴，故④正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误， 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 【解答题】 1．如下图，在正方形中，是边上一点，．连接并延长，交边的延长线于点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，关键是对正方形的性质的掌握和运用． 根据正方形的性质和三角形外角的性质证明即可； 【详解】证明：∵四边形是正方形， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 2．如图，是正方形的对角线所在直线上的两点，，连接，．若，四边形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，根据正方形的性质和，可证明四边形是菱形，然后由四边形的周长和，根据勾股定理即可求得，从而得到的长． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是正方形的对角线所在直线上的两点，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴． 3．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 【答案】(1)，； (2)未被小正方形覆盖部分的面积为； (3)以a，b为边长的两个正方形面积之和为25． 【分析】本题主要考查了正方形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的定义可得答案； （2）由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可； （3）由（2）及本小题题意可得关于，的二元一次方程组，解方程组，然后将边长平方并相加即可． 【详解】（1）解：四边形是周长为m的正方形， ，， ； 故答案为：；； （2）解：由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为： ， ∴未被小正方形覆盖部分的面积为； （3）解：由（2）及题意得： 解得或 （舍） ， 以，为边长的两个正方形面积之和为． 4．如图，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出一个以为顶点的矩形，使得它的长宽不相等，且面积等于正方形面积的一半； (2)在图2中，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的对称性，是解题的关键： （1）连接，得到正方形的中心，连接和正方形的中心并延长，交于点，即可； （2）连接交对角线于一点，连接点与该点并延长，交与点，对称性得到点为的中点，连接点和正方形的中心，并延长交于点，连接，正方形即为所求． 【详解】（1）解：如图：矩形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求． 5．如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $