6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,-4),则2a+3b= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16) 2.与向量a=(1,1)平行的单位向量为 (　 ) A. B. C. D.或 3.[2025·北京十九中高一期中] 已知向量=(1,5),=(-1,13),=(3,-3),则 (　 ) A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 4.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)∥(a-μb),则 (　 ) A.λ+μ=0 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 5.向量a,b,e1,e2在正方形网格中的位置如图所示,若a-b=λe1+μe2(λ,μ∈R),则= (　 ) A.3 B. C.-3 D.- 6.(多选题)已知点A(0,0),B(2,1),C(2,0),则下列结论正确的是 (　 ) A.△ABC是直角三角形 B.若点D(4,1),则四边形ACDB是平行四边形 C.若=+,则P(4,2) D.若=2,则P(4,2) 7.[2025·扬州中学高一月考] 若向量=(1,6),=(1,-1),=(m,m+1),且A,C,D三点共线,则m=　　　　.  8.[2025·深圳第七高级中学高一期中] 已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB上靠近A点的三等分点,则点P的坐标为　　　　.  9.(13分)已知向量a=(1,2),b=(-1,3),c=(4,3). (1)求与6a+b共线的单位向量; (2)求满足c=ma+nb的实数m,n的值; (3)若(a+kc)∥(b-a),求实数k的值. 10.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上(不包括端点),且满足=m+n(m,n均为正数),则+的最小值为 (　 ) A.1 B. C.- D. 11.(多选题)[2025·娄底高一期中] 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=(5,-3),=(2,3),点P在直线AB上,且||=||,则点P的坐标可能为 (　 ) A.(8,-9) B.(4,-1) C. D.(5,-6) 12.若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=x·α+y·β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q}(p=(1,-1),q=(2,1))下的坐标为(-2,2),则a在另一个基底{m,n}(m=(-1,1),n=(1,2))下的坐标为　　　　.  13.已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若=2,AC与BD交于点M,则点M的坐标为　　　　.  14.(15分)已知点O(0,0),A(2,1),B(4,3),点P满足=+t. (1)若点P在第一象限,求t的取值范围. (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由. 15.已知向量m=(a+cos x,1),n=(-1,a+cos y),则集合{a∈R|∃x,y∈R,m∥n}中的所有元素之和为　　　　.  16.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),D为边AB上一点. (1)若D为边AB的中点,求的坐标; (2)若D为边AB的三等分点,求线段CD的长; (3)当||取得最小值时,求的值. 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 1.A　[解析] ∵a=(1,2),b=(-2,-4),∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A. 2.D　[解析] 因为a=(1,1),所以|a|==,所以与向量a=(1,1)平行的单位向量为=(1,1)=或-=-(1,1)=.故选D. 3.B　[解析] 对于A选项,由于1×13-5×(-1)=18≠0,故,不共线,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B选项,=+=(-1,13)+(3,-3)=(2,10),由于1×10-5×2=0,故,共线,所以A,B,D三点共线,故B正确;对于C选项,=+=(1,5)+(-1,13)=(0,18),由于0×(-3)-18×3≠0,故,不共线,所以A,C,D三点不共线,故C错误;对于D选项,-1×(-3)-3×13≠0,故,不共线,所以B,C,D三点不共线,故D错误.故选B. 4.A　[解析] 因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-μb=(1-μ,1+μ),a+λb=(1+λ,1-λ),又(a+λb)∥(a-μb),所以(1-λ)(1-μ)=(1+λ)(1+μ),化简可得λ+μ=0.故选A. 5.D　[解析] 设e1=(1,0),e2=(0,1),则由题图可知 a-b=(1,-3),∵a-b=λe1+μe2=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),∴ λ=1,μ=-3,则=-.故选D. 6.ABD　[解析] 由题知=(2,0),=(0,-1),所以·=0,则⊥,所以△ABC是直角三角形,A正确.若点D(4,1),则=(2,0),所以=,则四边形ACDB是平行四边形,B正确.若=+=(4,1),则P(4,1),C错误.若=2,则B是AP的中点,所以P(4,2),D正确.故选ABD. 7.　[解析] 由A,C,D三点共线,得∥,又=(2,5),=(m,m+1),得2(m+1)-5m=0,解得m=. 8.　[解析] 由题知=3,设P(x,y),所以-=3(-),即(4,-6)=3(x-2,y-3),所以解得所以点P的坐标为. 9.解:(1)根据题意,向量a=(1,2),b=(-1,3),则6a+b=(5,15).设与6a+b共线的单位向量为e,且e=t(6a+b)=(5t,15t)(t∈R),则有25t2+225t2=1,解得t=±, 故e=或. (2)由c=ma+nb,得(4,3)=m(1,2)+n(-1,3),则有解得 (3)根据题意,a+kc=(1+4k,2+3k),b-a=(-2,1),由(a+kc)∥(b-a),得1+4k+2(2+3k)=0,解得k=-. 10.D　[解析] 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4),则=(4,0),=(0,4),=(-3,4),设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈(0,1)),则=+=(4-3λ,4λ).因为=m+n=(4m,4n),所以消去λ,得m+n=1.因为m>0,n>0,所以+==1+++≥+2=,当且仅当m=n,即时等号成立,故+的最小值为.故选D. 11.AB　[解析] 设P(x,y),由题意得A(5,-3),B(2,3),且点P在直线AB上,故由||=||,可得=2或=-2.若=2,则(x-2,y-3)=2(5-x,-3-y),可得解得若=-2,则(x-2,y-3)=-2(5-x,-3-y),可得解得综上所述,点P的坐标为(4,-1)或(8,-9).故选AB. 12.(0,2)　[解析] 由已知得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则解得∴a在基底{m,n}下的坐标为(0,2). 13.(1,4)　[解析] 设C(x,y),M(x1,y1),则=(x-3,y-2),由题得=(1,4),因为=2,所以(x-3,y-2)=2(1,4),所以解得即C(5,10).因为=2,所以△DMA∽△BMC,所以==,所以=,则(x1+1,y1-1)=(6,9)=(2,3),所以解得故点M的坐标为(1,4). 14.解:(1)=+t=(2,1)+t(4,3)=(4t+2,3t+1), 若点P在第一象限,则解得t>-,故t的取值范围为. (2)若四边形OABP是平行四边形,则=, ∵=(4t+2,3t+1),=(2,2),∴该方程组无解,故四边形OABP不能成为平行四边形. 15.0　[解析] 因为m∥n,m=(a+cos x,1),n=(-1,a+cos y),所以(a+cos x)(a+cos y)-1×(-1)=0,整理得a2+a(cos x+cos y)+cos xcos y+1=0,又因为a∈R,所以Δ=(cos x+cos y)2-4(cos xcos y+1)≥0,所以(cos x-cos y)2-4≥0,所以|cos x-cos y|≥2,所以cos x=1,cos y=-1或cos x=-1,cos y=1.当cos x=1,cos y=-1时,可得a2=0,所以a=0;当cos x=-1,cos y=1时,可得a2=0,所以a=0.综上所述,集合{a∈R|∃x,y∈R,m∥n}中的所有元素之和为0. 16.解:(1)因为A(-5,0),B(3,-3),所以=(8,-3), 又D为边AB的中点, 所以==(8,-3)=. (2)因为A(-5,0),C(0,2),所以=(-5,-2). 当D为靠近A的三等分点时,==(8,-3)=,则=+=(-5,-2)+=,所以||==; 当D为靠近B的三等分点时,==(8,-3)=,则=+=(-5,-2)+=,所以||==. 综上,线段CD的长为或. (3)设=λ=(8λ,-3λ),0≤λ≤1,则=+=(-5,-2)+(8λ,-3λ)=(8λ-5,-3λ-2), 所以=(8λ-5)2+(-3λ-2)2=73λ2-68λ+29, 易知Δ<0,所以由二次函数的性质可知,当λ=-=时,取得最小值, 即||取得最小值,此时=λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $