6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示课时达标练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 一．选择题 1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　) A.a-c与b共线 B.b+c与a共线 C.a与b-c共线 D.a+b与c共线 2.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)(k∈R).若(3a-b)∥c,则k的值为(　　) A.-8 B.-6 C.-1 D.6 3.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 4.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+2,k-3),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 5.(多选题)已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),则下列结论正确的是(　　) A.直线OC与直线BA平行 B. C. D.-2 6.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 7.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为(　　) A. B. C. D. 8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b), q=(b,c-a),若p∥q,则角C为(　　) A. B. C. D. 二．填空题 9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(4,-2),点P满足=-3,则点P的坐标为　　　　　　　　.  10.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k=　　　　　.  11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为　　　　　.  12.已知=(6,1),=(4,k),=(2,1).若A,C,D三点共线,则实数k=　　　　　.  13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.若=0,则=　　　　;设=m+n(m,n∈R),则m-n=　　　　(用x,y表示).  14.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为　　　　　.  三．解答题 15.如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点,求的坐标,并判断是否共线. 16.已知点A(1,1),B(3,-1),C(a,b). (1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系; (2)若=2,求点C的坐标. 17.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值. 18.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c. 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 一．选择题 1.C 2.B 解析:由题意得3a-b=(3,-1),因为(3a-b)∥c, 所以6+k=0,解得k=-6. 3.解析:由a∥b,可得(1-sin θ)(1+sin θ)-=0, 即cos θ=±,而θ是锐角,故θ=45°. 4.A 解析:因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则, 又=(1,2),=(k+1,k), 所以2(k+1)-k=0,解得k=-2. 5.ACD 解析:因为=(-2,1),=(2,-1), 所以=-,又直线OC,BA不重合,所以直线OC∥BA,所以A中结论正确; 因为,所以B中结论错误; 因为=(0,2)=,所以C中结论正确; 因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D中结论正确. 6.D 解析:∵c∥d,故可设c=λd(λ∈R), ∴ka+b=λ(a-b),得 解得k=λ=-1, ∴c=-d,且c与d反向. 7． C 解析:如图所示,因为∠AOC=45°, 所以设C(x,-x),则=(x,-x). 又因为A(-3,0),B(0,2), 所以λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ), 所以解得λ=. 8.C 解析:因为p=(a+c,b),q=(b,c-a),且p∥q,所以(a+c)(c-a)-b·b=0,即c2=a2+b2, 所以角C为. 二．填空题 9.(6,-3) 解析:设P(x,y),因为=-3,所以(x,y)=-3(4-x,-2-y)=(-12+3x,6+3y),即解得所以P(6,-3). 10.- 解析:=(1-k,2k-2),=(1-2k,-3),由题意可知∥ ,所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=-或k=1,当k=1时,A,B重合,故舍去.所以实数k的值为-. 11. 解析:由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ)(λ∈R). 设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b. 故解得 又点B在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0, 当1-2λ=0,即λ=时,x=0,y=; 当3λ+2=0,即λ=-时,x=,y=0. 所以B. 12.4 解析:因为=(6,1),=(4,k),=(2,1), 所以=(10,k+1). 又A,C,D三点共线,所以,所以10×1-2(k+1)=0,解得k=4. 13.(2,2)　y-x 解析:∵=0, =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), ∴解得 即=(2,2). ∵=m+n=(1,2),=(2,1), ∴(x,y)=(m+2n,2m+n), 即两式相减得m-n=y-x. 14. 解析:=(5,4),=(-3,6),=(4,0). 由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ)(λ∈R). 又=(5λ-4,4λ), 由共线得,(5λ-4)×6+12λ=0. 解得λ=,所以, 所以点P的坐标为. 三．解答题 15. 解:由中点坐标公式可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5), 故=(2.5,2.5),=(-2.5,-2.5), 又因为2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0, 所以共线. 16. 解:(1)若A,B,C三点共线,则共线. ∵=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),=(a-1,b-1), ∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0,∴a+b=2. 又当a=b=1时,点A与点C重合,不符合题意, 故a与b之间的数量关系为a+b=2,且a≠b≠1. (2)若=2,则(a-1,b-1)=(4,-4), ∴解得 ∴点C的坐标为(5,-3). 17. 解:(1)因为a=mb+nc, 所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 所以解得 (2)因为(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得k=-. 18. 解:如图,以O为原点,向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为|a|=2,所以a=(2,0). 设b=(x1,y1), 则x1=|b|cos 150°=1×=-, y1=|b|sin 150°=1×, 所以b=. 同理可得c=. 设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R), 所以=λ1(2,0)+λ2(-)=(2λ1-λ2,λ2), 所以解得 所以c=-3a-3b. 学科网（北京）股份有限公司 $