6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　向量数量积的运算律 1.设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-23 B.23 C.-27 D.27 2.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a-b),则 (　 ) A.a=b B.|a|=|b| C.a⊥b D.a∥b 3.[2025·厦门高一期中] 已知a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|= (　 ) A.4 B.4 C.2 D.10 4.[2025·滁州高一调研] 已知a,b是单位向量,若(a+b)·b=,则向量a与b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. 5.已知向量·=0,D是BC的中点,||=2,则·的值为 (　 ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.(多选题)[2025·山东菏泽高一期中] 已知正方形ABCD的边长为1,向量a,b满足=a,=b-a,则 (　 ) A.|b|=1 B.cos<a,b>= C.|a·b|=1 D.(2a-b)⊥b 7.若|a|=1,|b|=,a·b=1,则|a-b|=　　　　.  8.已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,若tb-a与a垂直,则实数t=　　　　.  9.(13分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为. (1)求(2a+b)·(3a-2b); (2)若(ma+b)⊥(a+2b),(a-nb)∥(2a+6b),m,n∈R,求m-n的值. 10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 (　 ) A. B.∪ C. D. 11.(多选题)[2025·长春吉大附中高一月考] 已知向量a,b,c都是单位向量,a-b-c=0,则 (　 ) A.|a-b|= B.a⊥b C.|a+b+c|= D.a+b-c与b共线 12.设向量a与b的夹角为θ,定义a※b=|asin θ+bcos θ|.已知向量a为单位向量,|b|=,|a-b|=1,则a※b=　　　　.  13.已知△ABC的三边长为4,6,8,其外心为O,则·+·+·的值为　　　　.  14.(15分)[2025·泉州七中高一期中] 如图,在梯形ABCD中,=2,∠BAD=90°,AB=AD=2,E为线段BC的中点,记=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)求||的值; (3)求与夹角的余弦值. 15.[2025·河北保定高一阶段练] 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=4,4a+2b+c=0,则a·c=　　　　.  16.(15分)如图,设Ox',Oy'是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x'轴、y'轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作在坐标系x'Oy'中的坐标.已知向量,在坐标系x'Oy'中的坐标分别为(2,3),(4,5). (1)求||. (2)在y'轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 第2课时　向量数量积的运算律 1.B　[解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,又|a|=2,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×=-2,所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23.故选B. 2.B　[解析] ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|. 3.A　[解析] |2a+3b|== ==4.故选A. 4.A　[解析] 因为(a+b)·b=,所以a·b+b2=a·b+1=,即a·b=-,所以cos<a,b>==-,因为<a,b>∈[0,π],所以向量a与b的夹角为.故选A. 5.B　[解析] ∵D是BC的中点,∴=+,又·=0,∴·=·=+·=.∵||=2,∴·=||2=2,故选B. 6.BCD　[解析] ∵=a,=b-a,∴=+=b,又正方形ABCD的边长为1,∴||=|a|=1,=|b|=,<a,b>=,故A错误;cos<a,b>=,a·b=1××=1,即|a·b|=1,故B,C正确;(2a-b)·b=2a·b-b2=2-2=0,即(2a-b)⊥b,故D正确.故选BCD. 7.1　[解析] 因为|a|=1,|b|=,a·b=1,所以|a-b|====1. 8.2　[解析] 由题意得a·b=|a||b|cos 45°=1,从而0=(tb-a)·a=t(a·b)-a2=t-2,则t=2. 9.解:(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos=2×3×=-3, 所以(2a+b)·(3a-2b)=6a2-a·b-2b2=6×22-(-3)-2×32=9. (2)因为a与b不共线,所以若(a-nb)∥(2a+6b),则存在唯一实数t,使得a-nb=t(2a+6b), 可得解得 因为(ma+b)⊥(a+2b),所以(ma+b)·(a+2b)=0, 即ma2+(2m+1)a·b+2b2=0,即m×22+(2m+1)×(-3)+2×32=0,解得m=, 所以m-n=-(-3)=. 10.B　[解析] 由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-7<t<-.由2t·t-7≠0,得t≠±,所以t的取值范围为∪.故选B. 11.ABC　[解析] 对于A,由a-b-c=0可得a-b=c,则|a-b|2=2|c|2=2,即|a-b|=,故A正确;对于B,由a-b=c可得|a|2-2a·b+|b|2=2,又|a|=|b|=|c|=1,则-2a·b=0,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;对于C,由a-b=c可得c=,则|a+b+c|======,故C正确;对于D,由c=可得a+b-c=a+b-=a+b,假设a+b-c与b共线,则存在实数λ,使得a+b=λb,即a+b=0,且a⊥b,a与b不共线,所以=0且-λ=0,又≠0,矛盾,所以a+b-c与b不共线,故D错误.故选ABC. 12.　[解析] 由题意得|a-b|===1,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以sin θ==,所以a※b====. 13.-58　[解析] 取AB的中点D,则OD⊥AB,即·=0,所以·=(+)·=·+·=-,同理可得·=-,·=-,所以·+·+·=-(++)=-58. 14.解:(1)如图,连接AC, 因为E为线段BC的中点, 所以=(+). 因为=a,=b,所以=+=+=b+a, 故(+)==a+b,即=a+b. (2)由∠BAD=90°,可得a·b=0,又|a|=2,|b|=2, 所以||2===|a|2+a·b+|b|2=×4+×4=,故||=. (3)由向量的减法法则得=-=b-a, 由∠BAD=90°,可得a·b=0,又|a|=2,|b|=2, 得||2=|b-a|2=|b|2-2a·b+|a|2=4+4=8, 故||=2,则·=·(b-a)=-|a|2+|b|2=-×4+×4=-1, 由(2)得||=,故cos<,>===-. 15.-2　[解析] 方法一:由题意可得c=-4a-2b,两边平方可得|c|2=16|a|2+4|b|2+16a·b,即16=16×1+4×4+16a·b,解得a·b=-1,则a·c=a·(-4a-2b)=-4|a|2-2a·b=-4×1-2×(-1)=-2. 方法二:如图,设=4a,=2b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则=+=4a+2b=-c.由|a|=1,|b|=2,|c|=4,可得||=||=||=4,故▱OACB为菱形,且∠AOC=60°,故a·c=|a||c|cos(180°-60°)=1×4×=-2. 16.解:(1)∵=-=4e1+5e2-(2e1+3e2)=2e1+2e2,∴||==2×=2. (2)假设在y'轴上存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形.设=te2,则=-=2e1+3e2-te2=2e1+(3-t)e2,=-=(4e1+5e2)-te2=4e1+(5-t)e2,根据题意得⊥,∴·=0,∴[2e1+(3-t)e2]·[4e1+(5-t)e2]=0,得8+(3-t)(5-t)+[2(5-t)+4(3-t)]×1×1×=0,整理得t2-11t+34=0,∵Δ<0,∴方程无解.故在y'轴上不存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $