6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时　向量数量积的运算律

1.设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　

A.-23 B.23

C.-27 D.27

2.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a-b),则 (　 )

A.a=b B.|a|=|b|

C.a⊥b D.a∥b

3.[2025·厦门高一期中] 已知a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|= (　 )

A.4  B.4

C.2   D.10

4.[2025·滁州高一调研] 已知a,b是单位向量,若(a+b)·b=,则向量a与b的夹角为 (　 )

A.  B.

C.  D.

5.已知向量·=0,D是BC的中点,||=2,则·的值为 (　 )

A.1  B.2

C.-1  D.-2

6.(多选题)[2025·山东菏泽高一期中] 已知正方形ABCD的边长为1,向量a,b满足=a,=b-a,则              (　 )

A.|b|=1 

B.cos<a,b>=

C.|a·b|=1 

D.(2a-b)⊥b

7.若|a|=1,|b|=,a·b=1,则|a-b|=　　　　. 

8.已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,若tb-a与a垂直,则实数t=　　　　. 

9.(13分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为.

(1)求(2a+b)·(3a-2b);

(2)若(ma+b)⊥(a+2b),(a-nb)∥(2a+6b),m,n∈R,求m-n的值.

 

 

10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是              (　 )

A.

B.∪

C.

D.

11.(多选题)[2025·长春吉大附中高一月考] 已知向量a,b,c都是单位向量,a-b-c=0,则 (　 )

A.|a-b|=

B.a⊥b

C.|a+b+c|=

D.a+b-c与b共线

12.设向量a与b的夹角为θ,定义a※b=|asin θ+bcos θ|.已知向量a为单位向量,|b|=,|a-b|=1,则a※b=　　　　. 

13.已知△ABC的三边长为4,6,8,其外心为O,则·+·+·的值为　　　　. 

14.(15分)[2025·泉州七中高一期中] 如图,在梯形ABCD中,=2,∠BAD=90°,AB=AD=2,E为线段BC的中点,记=a,=b.

(1)用a,b表示向量;

(2)求||的值;

(3)求与夹角的余弦值.

 

 

15.[2025·河北保定高一阶段练] 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=4,4a+2b+c=0,则a·c=　　　　. 

16.(15分)如图,设Ox',Oy'是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x'轴、y'轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作在坐标系x'Oy'中的坐标.已知向量,在坐标系x'Oy'中的坐标分别为(2,3),(4,5).

(1)求||.

(2)在y'轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第2课时　向量数量积的运算律

1.B　[解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,又|a|=2,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×=-2,所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23.故选B.

2.B　[解析] ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|.