6.2.4 向量数量积（第2课时 向量数量积的运算律）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量数量积 第2课时　向量数量积的运算律 一、必备知识基础练 1.(探究点一)向量a,b满足|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为,则a·(a+b)=(　　) A.0 B.8 C.4+4 D.4-4 2.(探究点二)若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(　　) A. B. C.2 D.3 3.(探究点二)已知a,b是夹角为60°的单位向量,则|3a-2b|=(　　) A.7 B.13 C. D. 4.(探究点三·2025甘肃武威高一期中)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 5.(探究点一)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=2,则a·b=(　　) A.-1 B.- C. D.1 6.(探究点三·2025河南安阳高一期末)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+2e2与2e1-3e2的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 7.(探究点二)已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2,在△ABC中,=2a+3b,=2a-b,,则||=(　　) A.2 B.2 C.2 D.6 8.(探究点三)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=,则a与b的夹角为　　　　.  9.(探究点二、三)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,<a,b>=. (1)求a·b; (2)求|a-2b|; (3)若(λa+b)⊥a,求实数λ的值. 10.(探究点二、三)已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3. (1)求|a+b|的值; (2)求a与a-2b的夹角. 二、关键能力提升练 11.已知非零向量a,b满足|a|=2,且<a,b>=,则|a+2b|的最小值为(　　) A.2 B. C. D.1 12.已知向量a,b满足2|a|=|b|,|a+b|=|2a-b|,则向量a与b夹角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- 13.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 14.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足=2a,=b,则(　　) A.=2a+b B.a·b=-2 C.(4a+b)⊥ D.|a-b|=1 15.(多选题)已知e1与e2是夹角为的单位向量,a=e1-2e2,b=e1+e2,下列结论正确的是(　　) A.|a|= B.a·b=- C.<a,b>= D.a在b上的投影向量为-b 16.在△ABC中,AB=3,AC=4,D是BC的中点,则·()=　　　　　.  17.单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-. (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围. 三、学科素养创新练 18.在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=,D为BC的三等分点(靠近C点). (1)求的值; (2)若点P满足=λ,求的最小值,并求此时的λ. 参考答案 1.A　因为|a|=2,|b|=4,向量a与b的夹角为, 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2×4×(-)=-4, 所以a·(a+b)=a2+a·b=4-4=0.故选A. 2.B　化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=或|b|=-(舍去). 3.C　|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=9-12×1×1×cos 60°+4=7,则|3a-2b|=.故选C. 4.C　由条件可知a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×cos<a,b>=0,则cos<a,b>=-,所以<a,b>=.故选C. 5.B　由|a+b|=2,可得a2+2a·b+b2=4,即1+2a·b+4=4,所以a·b=-.故选B. 6.C　由e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,得e1·e2=12×cos 60°=,|e1+2e2|=,|2e1-3e2|=,(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,因此cos<e1+2e2,2e1-3e2>==-,而0°≤<e1+2e2,2e1-3e2>≤180°,所以<e1+2e2,2e1-3e2>=120°.故选C. 7.A　因为向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2, 所以a·b=|a||b|cos=1×2×(-)=-1, 又)=(2a-b)+(2a+3b)=2a+b, 所以||==2.故选A. 8.　设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7,所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7,又|a|=|b|=1,所以a·b=, 所以|a||b|cos θ=,即cos θ=. 又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为. 9.解(1)a·b=|a||b|cos=1×. (2)|a-2b|=. (3)由题意得(λa+b)·a=0,即λa2+a·b=0, 即λ+=0,λ=-. 10.解(1)∵|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3, ∴22-3×12-2a·b=3,解得a·b=-1. 故|a+b|=. (2)设a与a-2b的夹角为θ,则cos θ=, 又θ∈[0,π],∴θ=. 11.B　因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4|b|2-4|b|+4=(2|b|-1)2+3≥3,所以|a+2b|≥,当且仅当|b|=时,等号成立.故选B. 12.C　由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)2=(2a-b)2,即a2=2a·b,所以cos<a,b>=.故选C. 13.A　因为()·(-2)=0,即·()=0,又因为,所以()·()=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形. 14.AC　因为=2a,=b, 对于A,=2a+b,故A正确; 对于B,a·b=|·||cos 120°=×2×2×(-)=-1,故B错误; 对于C,(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+22=0,则(4a+b)⊥,故C正确: 对于D,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×(-1)+4=7≠1,即|a-b|≠1,故D错误.故选AC. 15.ACD　对于选项A,e1与e2是夹角为的单位向量,则|a|=,故|a|=,故选项A正确;对于选项B,a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=1-1×1×-2×1=-,故选项B错误;对于选项C,|b|=,所以cos<a,b>==-,又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,故选项C正确;对于选项D,a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·=-b,故选项D正确.故选ACD. 16.-　由D为BC的中点可知,), 则·()=)·()=)=×(9-16)=-. 17.解(1)因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos<a,b>=,即a与b夹角的余弦值为. (2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角, 所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线. 当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b), 即ka+b=λa+3λb. 由(1)知a与b不共线,所以解得k=, 所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠. 由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-.所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为(-)∪(,+∞). 18.解(1)因为D为BC的三等分点(靠近C点),所以),所以,所以=()·()=-|2+|2-=-×9+×4-×3×2×cos. (2)因为=λ,所以=λ, 因为+(λ-1), 所以=[+(λ-1)]·λ=λ+λ(λ-1)||2=λ||||cos+λ(λ-1)||2=-3λ+4λ(λ-1)=4λ2-7λ=4(λ-)2-, 所以当λ=时,取得最小值-. 8 学科网（北京）股份有限公司 $