6.2.4向量的数量积第1课时 向量数量积的定义、投影向量 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 1.在正六边形ABCDEF中,向量与的夹角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=60°,则·= (　 ) A.12 B.6 C.-6 D.-12 3.下列说法中错误的是 (　 ) A.对于任意向量a,都有0·a=0 B.若a·b=0,则a=0或b=0 C.对于任意向量a,b,都有|a·b|≤|a||b| D.若a,b共线,则a·b=±|a||b| 4.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. 5.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(多选题)已知两个不共线的单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列说法正确的是 (　 ) A.e1在e2上的投影向量为cos θ e2 B.e1·e2=1 C.= D.(e1+e2)⊥(e1-e2) 7.若|a|=2,b=-3a,则a·b=　　　　.  8.正六边形ABCDEF的边长为1,则·+·+·=　　　.  9.(13分)如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1)·; (2)·; (3)·; (4)·. 10.已知O是△ABC的外心,满足+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为 (　 ) A. B. C.- D.- 11.(多选题)如图,I,J分别为CD,CE的中点,四边形ABCD、四边形BCEF和四边形GHIJ均为正方形,则 (　 ) A.·=0 B.在上的投影向量为 C.·>0 D.在上的投影向量为2 12.已知△ABC中,AB=2,AC=1,向量在向量上的投影向量为-2,则∠A=　　　　.  13.已知非零向量a和单位向量b满足a⊥b,且向量a+b与a的夹角为30°,则|a|= 　　　　.  14.(15分)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求: (1)在上的投影向量; (2)在上的投影向量. 15.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α°β=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,则a°b+b°a= (　 ) A. B.2 C. D.3 16.(15分)如图,在梯形ABCD中,DA=AB=BC=CD=1,若点P在阴影区域内(含边界)运动,求·的取值范围. 6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 1.B　[解析] 如图,连接BE,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形,所以∠OAB=,则向量与的夹角为.故选B. 2.C　[解析] 在△ABC中,∵∠ABC=60°,∴与的夹角为120°,则·=||||cos<,>=3×4×cos 120°=-6.故选C. 3.B　[解析] A中说法显然正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;若a,b都是非零向量,则|a·b|=||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|,若a=0或b=0,则|a·b|=|a||b|=0,故C中说法正确;当a,b都是非零向量且共线时,<a,b>=0或<a,b>=π,则cos<a,b>=±1,所以a·b=±|a||b|,当a=0或b=0时,a·b=|a||b|=0,也满足a·b=±|a||b|,故D中说法正确.故选B. 4.B　[解析] 设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-,所以θ=.故选B. 5.B　[解析] 若·>0,则·<0,所以cos B<0,又因为B∈(0,π),所以B为钝角,△ABC为钝角三角形,必要性成立;若△ABC为钝角三角形,则B不一定为钝角,无法推出·>0,充分性不成立.故“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的必要不充分条件.故选B. 6.ACD　[解析] e1在e2上的投影向量为|e1|·cos θ e2=cos θ e2,故A正确;e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故B不正确;=|e1|2,=|e2|2,且|e1|2=|e2|2=1,故C正确;由题知以向量e1,e2为邻边的平行四边形为菱形,其两条对角线互相垂直,所以(e1+e2)⊥(e1-e2),故D正确.故选ACD. 7.-12　[解析] 由题意得|b|=3|a|=6,且b与a反向,∴<a,b>=180°,∴a·b=|a||b|cos 180°=2×6×(-1)=-12. 8.　[解析] 作出正六边形ABCDEF如图所示,连接BD,则∠BAC=30°,∠ABD=∠ACD=90°,且AC=AB=,所以·=,·=,则·+·+·=1××cos 30°+()2+12=. 9.解:(1)∵在平行四边形ABCD中,||=3,=, ∴·==9. (2)∵=-,||=4,∴·=-=-16. (3)·=||||cos∠DAB=4×3×=6. (4)∵=-,∴·=-·=-||||cos∠DAB=-3×4×cos 60°=-6. 10.C　[解析] 由+=2,可知点O为BC的中点,又O是△ABC的外心,所以AB⊥AC,又||=||,所以△OAB为等边三角形,则∠ABC=60°,则<,>=120°,所以向量在向量上的投影向量为||×cos 120°×=×=-.故选C. 11.ABD　[解析] 对于A,由题意可知∠ACB=∠FCB=,则∠ACF=,所以·=0,故A正确;对于B,如图,设M,N分别为AB,HG的中点,连接IM,CN,则在上的投影向量为=,故B正确;对于C,因为与的夹角为,所以·<0,故C错误;对于D,在上的投影向量为=2,故D正确.故选ABD. 12.　[解析] 方法一:因为向量在向量上的投影向量为||cos A·=2cos A·=-2,则cos A=-,因为∠A∈(0,π),所以∠A=. 方法二:如图,作BO⊥AC,交CA的延长线于点O,由题可知,向量在向量上的投影向量为,即||=2||=2,因为||=2,所以∠BAO=,所以∠BAC=. 13.　[解析] 因为a⊥b,所以根据向量加法的平行四边形法则可得向量a+b如图所示,又因为向量a+b与a的夹角为30°,所以|a|=|b|=. 14.解:(1)如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°, 所以△ABC是等腰直角三角形. 又D是边BC的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2. 延长AB到E,使BE=AB,则与的夹角为∠DBE=135°, 所以在上的投影向量为||cos 135°·=4××=-. (2)在上的投影向量为||cos 135°·=2××=-. 15.B　[解析] 因为θ∈,所以<cos θ<1,而b°a==cos θ,且|a|≥|b|>0,可得0<cos θ<1,又因为b°a在集合中,所以cos θ=,即=,所以a°b==cos θ=2cos2θ,又因为<cos2θ<1,所以1<a°b<2,又因为a°b也在集合中,所以a°b=,所以a°b+b°a=+=2.故选B. 16.解:如图,作AF⊥CD,垂足为F,记BD的中点为E,连接AE,则AE⊥BD. 由DA=AB=BC=CD=1可知,梯形ABCD为等腰梯形,DF=, 所以∠ADF=60°,∠DAF=30°,则∠DAB=120°, 所以∠ABD=∠ADB=30°,∠CBD=90°, 所以BD=2×1×cos 30°=. 由图可知,当点P在线段BC上时,在上的投影向量为, 此时·取得最小值,最小值为·; 当点P与点D重合时,在上的投影向量为,此时·取得最大值,最大值为·. 综上所述,·≤·≤·,即-≤·≤. 学科网（北京）股份有限公司 $