6.2.3 向量的数乘运算 练案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 1.3(2a-4b)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 2.已知非零向量a,b满足a=4b,则 (　 ) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 3.[2025·蚌埠五河一中高一月考] 在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,则= (　 ) A.+ B.-+ C.- D.-- 4.已知向量a与b不共线,=a+kb,=ma-b(k,m∈R),若与共线,则k,m应满足 (　 ) A.k+m=0 B.k-m=0 C.km+1=0 D.km-1=0 5.(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论正确的是 (　 ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 6.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 (　 ) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.当x+y=0时,xa+yb=0 D.在梯形ABCD中,=a,=b 7.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(y-2)a+(x-1)b=0,则x+y=　　　　.  8.在四边形ABCD中,若=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　.  9.(13分)(1)化简:(a+b)-(b-a)+(0-a); (2)已知i,j为非零向量,设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a. 10.[2025·汕头高一期中] 在矩形ABCD中,E为线段AB的中点,则-= (　 ) A.-2 B.- C.- D.-2 11.[2025·江苏扬州高一阶段练] 已知=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,则 (　 ) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 12.[2025·湖南常德高一阶段练] 已知平面内不同的四个点A,B,C,D,且满足=3-3,则=　　　　.  13.已知点M是△ABC内一点且+2=,若S△ABC=3,则△MBC的面积为　　　　.  14.(15分)已知两个非零向量a,b不共线,且=2a-3b,=a+2b,=ka+12b. (1)若2-3+=0,求k的值; (2)若A,B,C三点共线,求k的值. 15.[2025·武汉高一期中] 如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且2=,点O是线段AD的中点.过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设=λ,=μ(λ>0,μ>0),则2λ+3μ的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 16.(15分)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点. (1)若2++=0,试判断向量与的关系,并说明理由; (2)若E为AC的中点,O在线段DE上,且+2+3=0,△BOC的面积为2,求△ABC的面积. 6.2.3　向量的数乘运算 1.D　[解析] 由向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D. 2.C　[解析] 非零向量a,b满足a=4b,则a与b的方向相同,且|a|=4|b|,故A,B,D错误,C正确.故选C. 3.C　[解析] 如图,=+=-.故选C. 4.C　[解析] 因为a与b不共线,且与共线,则=λ,即即km+1=0.故选C. 5.AB　[解析] 显然A,B正确;对于C,若m=0,则无法得到a=b,故C错误;对于D,若a=0,则无法得到m=n,故D错误.故选AB. 6.AB　[解析] 对于A,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,∴a,b共线;对于B,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=b,∴a,b共线;对于C,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不到a,b共线;对于D,∵AB与CD不一定平行,∴得不到a,b共线.故选AB. 7.3　[解析] 因为向量a,b不共线,所以由(y-2)a+(x-1)b=0,得即所以x+y=3. 8.等腰梯形　[解析] 由已知可得=-, 所以∥, 且||≠||,又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形. 9.解:(1)原式=a+b-b+a-a=+=a+b. (2)-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=-i-5j. 10.D　[解析] -=--(+)=--=-2.故选D. 11.A　[解析] 对于A,=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,∴=+=a+5b,∴=,∴与共线,∵两向量有一个公共点B,∴A,B,D三点共线,故A正确;对于B,由=a+5b,=-2a+8b,可得≠,∴不存在λ使得=λ,故A,B,C三点不共线,故B不正确;对于C,由=-2a+8b,=3a-3b,可得≠,∴不存在λ使得=λ,故B,C,D三点不共线,故C不正确;对于D,∵=a+5b,=-2a+8b,∴=+=a+5b-2a+8b=-a+13b,又=3a-3b,可得≠-,∴不存在λ使得=λ,故A,C,D三点不共线,故D不正确.故选A. 12.4　[解析] 由=3-3,变形得到=3(-),由向量减法法则得=3,所以=+=4,又||=||,||=||,所以=4. 13.　[解析] 如图,取AC的中点D,连接MD,因为+2=,所以+=-2,即2=-2,可得=,所以点M为BD的中点,所以S△MBC=S△BCD=S△ABC=. 14.解:(1)∵2-3+=2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,且a≠0,∴k=-1. (2)∵A,B,C三点共线,∴,共线,∴存在实数λ,使=λ,即-=λ(-), ∴(k-1)a+10b=λ(-a+5b),又a,b不共线, ∴解得故k=-1. 15.D　[解析] 因为2=,所以=+,因为=λ,=μ(λ>0,μ>0),所以=,=,因为点O是线段AD的中点,所以2=+,则=+,又因为O,E,F三点共线,所以+=1,所以(2λ+3μ)=++≥,当且仅当=,即λ=,μ=时等号成立,故选D. 16.解:(1)=.理由如下:∵D为BC的中点,∴+=2, 又2++=0,∴2+2=0,∴=. (2)由题意得+2+3=(+)+2(+)=2+4=0,∴=2,∴DE=3DO,又AB=2DE,∴AB=6DO,∴S△ABC=6S△BOC=12,即△ABC的面积为12. 学科网（北京）股份有限公司 $