专题08 圆锥曲线（高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高频考点08 锥曲线 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（16大命题点+10道高考预测题，高考必考·（12-32）分） 考点一：线与圆的问题 命题点1直线问题 命题点2圆的切线问题 命题点3圆的弦长问题 命题点4圆的公共弦问题 命题点5范围与最值问题 考点二：锥曲线经典小题 命题点1离心率问题 命题点2焦半径问题 命题点3线段和差最值问题 命题点4中点弦问题 命题点5范围问题 考点三：锥曲线经典解答题 命题点1定点问题 命题点2定值问题 命题点3定直线问题 命题点4范围与最值问题 命题点5轨迹方程 命题点6存在性问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 直线与圆的问题 直线问题 圆的切线问题 圆的弦长问题 圆的公共弦问题 范围与最值问题 高考直线与圆为必考点，多以选择、填空出现，分值5分，难度基础至中档。核心考位置关系、弦长、切线、距离与最值，侧重几何法，强调数形结合。常与圆锥曲线、向量、不等式交汇，注重多想少算，考查含参与定点问题，是解析几何基础题型。 圆锥曲线经典小题 离心率问题 焦半径问题 线段和差最值问题 中点弦问题 范围问题 圆锥曲线小题是高考高频考点，多以选择、填空出现，难度中档。侧重定义应用、焦点三角形、离心率、弦长与中点弦，常结合几何性质简化运算。注重数形结合、设而不求，强调多想少算，常与向量、直线、圆交汇，考查逻辑推理与运算素养，是区分中档与高分的关键题型。辑推理核心素养，常与最值、轨迹结合命题。 圆锥曲线经典解答题 定点问题 定值问题 定直线问题 范围与最值问题 轨迹方程 存在性问题 圆锥曲线解答题是高考压轴题之一，多为椭圆、抛物线为主，双曲线为辅。常考直线与曲线相交、弦长、面积、定点定值、范围最值问题。侧重设而不求、韦达定理、向量转化，运算量大，注重逻辑推理与代数变形，考查数形结合与分类讨论，区分度高。 考点一：线与圆的问题 《解题指南》 解决直线与圆问题，核心抓位置关系与距离公式。先将圆化为标准式，得圆心、半径。用点到直线距离公式算圆心到直线距离d：相离、相切、相交。 相切优先用切线方程，垂直半径与切线；相交常用弦长公式，结合勾股定理​。 参数方程、斜率与联立判别式可辅助解题，计算时注意化简，优先几何法减少运算量。 命题点1直线问题 【典例01】在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【典例02】已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 命题点2圆的切线问题 【典例01】已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【典例02】过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 命题点3圆的弦长问题 【典例01】若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【典例02】已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 命题点4圆的公共弦问题 【典例01】已知圆和圆的交点为，则下列选项不正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线方程为 C．四边形的面积为4 D．分别为圆上的动点，则的最大值为 【典例02】在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 命题点5范围与最值问题 【典例01】（多选题）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 【典例02】（多选题）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C． D．当直线斜率都存在时， 考点二：锥曲线经典小题 《解题指南》 先认准椭圆、双曲线、抛物线定义与标准方程，牢记关系：椭圆，双曲线，离心率。小题优先定义法，巧用焦半径、焦点三角形性质。 求弦长、中点用点差法；过焦点直线结合通径、焦准距。抛物线多用定义转化：点到焦点=点到准线。尽量几何分析，少联立方程硬算，简化计算，快速得解。 命题点1离心率问题 【典例01】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ． 【典例02】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为 . 命题点2焦半径问题 【典例01】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则 ；若，则 ． 【典例02】如图，过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的直线，其中点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且点在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ． 命题点3线段和差最值问题 【典例01】已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 ． 【典例02】点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为 . 命题点4中点弦问题 【典例01】设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为 . 【典例02】在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为 ． 命题点5范围问题 【典例01】如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 【典例02】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 考点三：锥曲线经典解答题 《解题指南》 圆锥曲线解答题以椭圆、双曲线、抛物线为主，解题遵循定型—设线—联立—韦达—转化—化简六步法。先根据条件确定曲线类型，利用a、b、c关系与离心率求出标准方程。遇到直线与曲线相交，优先设直线方程，斜率不存在时单独讨论，常用避开斜率讨论。 将直线与曲线联立，消元得到一元二次方程，写出判别式保证有交点，再用韦达定理表示、。中点弦、斜率问题用点差法；弦长、面积用弦长公式与坐标运算；垂直、共线、角度转化为向量或斜率关系。 定点、定值问题先设参数，将目标表达式用韦达结果代入，化简后消参得常数。解题时优先几何性质简化运算，规范书写步骤，保证判别式、韦达定理、条件转化完整，即可高效得分。 命题点1定点问题 【典例01】已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 【典例02】已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若点，直线分别交准线l于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点. 命题点2定值问题 【典例01】设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【典例02】已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 命题点3定直线问题 【典例01】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【典例02】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 命题点4范围与最值问题 【典例01】已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【典例02】已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 . (1)求点 的轨迹 ； (2) 、 为轨迹 上不同的两点， ①若直线 斜率存在且过点 ， ，直线 分别与直线 ， 交于点 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. ②若 ，求 的最大值与最小值. 命题点5轨迹方程 【典例01】已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l的斜率为，求的面积. (3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【典例02】已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 命题点6存在性问题 【典例01】已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的曲线方程； (2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标； (3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例02】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 高考预测题 1．已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 2．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 3．已知，，二者相交于，离心率为． (1)求的方程； (2)记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于． （i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时， (所有直线斜率均存在) ； （ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程． 4．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 好题速递 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2026·江西萍乡·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26高三上·广西·期末）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（多选题）（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．点P不可能在直线上 C．曲线E与圆有4个公共点 D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则 6．（多选题）（2026·四川巴中·一模）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 8．（2026·湖南常德·一模）已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为 . 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点． （ⅰ）若中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； （ⅱ）若点为的外心，且在直线上，求点到直线的距离的最大值． 10．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 高考闯关 1．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·陕西铜川·一模）已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（     ） A． B．3 C． D． 4．（2026·安徽合肥·一模）已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（ A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·山东潍坊·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（    ） A． B． C． D．当时， 6．（多选题）（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为 ． 8．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线C的一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点.A，B分别为和的内心，若四边形的面积为，则直线l的斜率为 . 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知是圆上一动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上且，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作轴的垂线与曲线在第一象限交于点，过点的两条直线交曲线于另外两点，若直线的斜率之和为，试证明直线过定点； (3)在（2）的条件下，设所过定点为，试问曲线上是否存在第二象限的点，使得最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 10．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点08 锥曲线 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（16大命题点+10道高考预测题，高考必考·（12-32）分） 考点一：线与圆的问题 命题点1直线问题 命题点2圆的切线问题 命题点3圆的弦长问题 命题点4圆的公共弦问题 命题点5范围与最值问题 考点二：锥曲线经典小题 命题点1离心率问题 命题点2焦半径问题 命题点3线段和差最值问题 命题点4中点弦问题 命题点5范围问题 考点三：锥曲线经典解答题 命题点1定点问题 命题点2定值问题 命题点3定直线问题 命题点4范围与最值问题 命题点5轨迹方程 命题点6存在性问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 直线与圆的问题 直线问题 圆的切线问题 圆的弦长问题 圆的公共弦问题 范围与最值问题 高考直线与圆为必考点，多以选择、填空出现，分值5分，难度基础至中档。核心考位置关系、弦长、切线、距离与最值，侧重几何法，强调数形结合。常与圆锥曲线、向量、不等式交汇，注重多想少算，考查含参与定点问题，是解析几何基础题型。 圆锥曲线经典小题 离心率问题 焦半径问题 线段和差最值问题 中点弦问题 范围问题 圆锥曲线小题是高考高频考点，多以选择、填空出现，难度中档。侧重定义应用、焦点三角形、离心率、弦长与中点弦，常结合几何性质简化运算。注重数形结合、设而不求，强调多想少算，常与向量、直线、圆交汇，考查逻辑推理与运算素养，是区分中档与高分的关键题型。辑推理核心素养，常与最值、轨迹结合命题。 圆锥曲线经典解答题 定点问题 定值问题 定直线问题 范围与最值问题 轨迹方程 存在性问题 圆锥曲线解答题是高考压轴题之一，多为椭圆、抛物线为主，双曲线为辅。常考直线与曲线相交、弦长、面积、定点定值、范围最值问题。侧重设而不求、韦达定理、向量转化，运算量大，注重逻辑推理与代数变形，考查数形结合与分类讨论，区分度高。 考点一：线与圆的问题 《解题指南》 解决直线与圆问题，核心抓位置关系与距离公式。先将圆化为标准式，得圆心、半径。用点到直线距离公式算圆心到直线距离d：相离、相切、相交。 相切优先用切线方程，垂直半径与切线；相交常用弦长公式，结合勾股定理​。 参数方程、斜率与联立判别式可辅助解题，计算时注意化简，优先几何法减少运算量。 命题点1直线问题 【典例01】在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【典例02】已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】由动点到的距离为， 则，即， 所以动点的运动轨迹是圆心为，半径为的圆， 又在直线上， 由表示圆上的点到直线上点的距离， 则的最小值就为圆心到直线的距离减去圆的半径， 由圆心到直线的距离为， 则的最小值为， 故选：A. 命题点2圆的切线问题 【典例01】已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，半径， 则. 故选：A 【典例02】过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 命题点3圆的弦长问题 【典例01】若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 【典例02】已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一： 因为， 所以当，即时，的面积最大， 此时是等腰直角三角形， 点到直线的距离为． 方法二： 设点到直线的距离为， 则， 因为与圆相交，且不经过点，所以， 所以当时，取最大值，即取最大值， 此时， 即点到直线的距离为． 方法三： 设点到直线的距离为． 则， 联立 化简，得， 则， 因为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值， 此时． 故选：D 命题点4圆的公共弦问题 【典例01】已知圆和圆的交点为，则下列选项不正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线方程为 C．四边形的面积为4 D．分别为圆上的动点，则的最大值为 【答案】C 【解析】对于A，由题意得圆，圆， 将两圆方程相减可得， 整理得，所以公共弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆可化为，其圆心, 圆可化为，其圆心， 线段的垂直平分线就是，根据两点式可得直线的方程为， 即，所以线段的垂直平分线方程为，故B正确； 对于C，由，解得或，所以， 则由两点间距离公式得， 由点到直线的距离公式得到直线的距离， 同理可得到直线的距离， 所以四边形的面积为，故C错误； 对于D，的最大值为两圆的圆心距加上两圆的半径之和， 即，故D正确. 故选：C 【典例02】在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】根据相交圆的性质可知直线与直线垂直， 线段的中点在直线上， 所以， 所以线段的中点的坐标为， 则有， 因此. 故选：A 命题点5范围与最值问题 【典例01】（多选题）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．的最小值为3 D．的最大值为1 【答案】ABD 【解析】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确. 故选：ABD 【典例02】（多选题）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C． D．当直线斜率都存在时， 【答案】ABC 【解析】 对于A，设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，， 则且不重合， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点）， 则曲线的方程为，故A正确， 对于B，由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以， 则的最大值为，所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，设，则，即， 由题意设，则，即， 则，故D错误， 故选：ABC. 考点二：锥曲线经典小题 《解题指南》 先认准椭圆、双曲线、抛物线定义与标准方程，牢记关系：椭圆，双曲线，离心率。小题优先定义法，巧用焦半径、焦点三角形性质。 求弦长、中点用点差法；过焦点直线结合通径、焦准距。抛物线多用定义转化：点到焦点=点到准线。尽量几何分析，少联立方程硬算，简化计算，快速得解。 命题点1离心率问题 【典例01】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率 ． 【答案】/ 【解析】设双曲线的半焦距为，则， 在中，由，得， 由双曲线定义得，则， 所以的离心率. 故答案为： 【典例02】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为坐标原点，是椭圆上一点，过点向外角的平分线作垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】设与交于点， 由题意，平分，则，是中点， ， 而是中点，故是的中位线，， 因为，焦距为 所以，，即， 所以， 故答案为： 命题点2焦半径问题 【典例01】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则 ；若，则 ． 【答案】 【解析】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【典例02】如图，过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的直线，其中点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且点在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ． 【答案】 1 【解析】 对于空①：由双曲线可得， 则，设直线，， 联立方程得消去得， 则 ，由题意，，解得． 根据对称性可知， 则 ，则，可得，即 可得， 当且仅当时取等号．故的最小值为1． 对于空②：如图，连接，根据题意可知四边形为平行四边形， 且，则点到直线的距离， ， 当的倾斜角为时，，即， 可得，， 故四边形的面积 附注：本题空①还有如下解法． 由，得，，设，， 由对称性可得， 由双曲线的定义可得，， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，． 又，故，化简得：， 由，可得，当且仅当时，等号成立， 可得的最小值为1. 故答案为：1；. 命题点3线段和差最值问题 【典例01】已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6． 【典例02】点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 命题点4中点弦问题 【典例01】设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为 . 【答案】 【解析】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. 【典例02】在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 命题点5范围问题 【典例01】如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，因为点在双曲线上，所以， 因为，所以，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，是双曲线上第一象限内的一点，所以， 所以． 故答案为：. 【典例02】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线的两个焦点为，，则双曲线在点处的切线平分.已知是坐标原点，点为双曲线：的左焦点，点在的右支上，点为的中点，直线是在点处的切线，直线与相交于点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意画出图象为： 因为是的中点，是的中点，所以是三角形的中位线， 所以，所以， 又是双曲线在点处的切线，所以为的角平分线， 所以. 所以. 因为点在双曲线的右支，且由题意知点不与右顶点重合， 所以. 所以. 故答案为：. 考点三：锥曲线经典解答题 《解题指南》 圆锥曲线解答题以椭圆、双曲线、抛物线为主，解题遵循定型—设线—联立—韦达—转化—化简六步法。先根据条件确定曲线类型，利用a、b、c关系与离心率求出标准方程。遇到直线与曲线相交，优先设直线方程，斜率不存在时单独讨论，常用避开斜率讨论。 将直线与曲线联立，消元得到一元二次方程，写出判别式保证有交点，再用韦达定理表示、。中点弦、斜率问题用点差法；弦长、面积用弦长公式与坐标运算；垂直、共线、角度转化为向量或斜率关系。 定点、定值问题先设参数，将目标表达式用韦达结果代入，化简后消参得常数。解题时优先几何性质简化运算，规范书写步骤，保证判别式、韦达定理、条件转化完整，即可高效得分。 命题点1定点问题 【典例01】已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 【解析】（1）依题意，设的焦距长为，则，又短轴长， 则， 因此，椭圆的标准方程为：． （2）（方法一）设，显然直线的斜率存在， 设，和椭圆方程联立， 消去得：， 则进而得， 当时，，代入上式，化简得：， 当时，也满足上式； 又， 故点的轨迹方程为：． （方法二）设，则的斜率为， 由（1）知椭圆标准方程为：， 则①  ② ②①得：， 若，进一步得：，即：， 于是． 若，即，此时也满足上式， 故点轨迹方程为：． （3）由（2）知点也满足方程， 设直线方程为，联立， 消去得：， 设，则， 由得： ， 即，故直线恒过定点． 【典例02】已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若点，直线分别交准线l于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点. 【解析】（1）设 则联立得， 所以所以 又， 所以 由得 ， 即， 所以， 化简得，又， 所以，所以抛物线C的方程为； （2）由（1）知直线， 所以，易得， 由题意知直线，直线， 所以令得，， 即， 所以 , 设是以线段MN为直径的圆上的任意一点，， 则有， 即， 因此是关于的变量，要是上式恒成立，则, 代入得, 所以或， 所以线段MN为直径的圆经过定点，定点坐标为与. 命题点2定值问题 【典例01】设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）如图所示，，易知直线的斜率不为零， 所以设，，． 联立方程组，化简得，， 则有，，则，． 又因为M、N都在双曲线的左支上， 所以，解得． 又， 令，所以， 即，易知函数在上单调递减， 所以，即面积的最小值为． （2）设存在满足题意，于是，， 故 ， 若为定值，则，即， 此时，所以存在点使得为定值． 【典例02】已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题知，， 设，则， 由题意知，均不为0，即， 再由，得， 即 所以的方程为. （2）（i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， 如图， 设，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 而面积， 所以面积的最大值为. （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， 则， 所以，为定值. 命题点3定直线问题 【典例01】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【解析】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 【典例02】在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点G叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）．如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕G顺时针旋转后，得到新曲线E，其变换关系为，点在曲线E上． (1)求曲线E的方程并确定点G的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点（，3，…）：过点作斜率为2的直线交E于另一点，设是点关于x轴的对称点．记的坐标为． （i）求证：数列为等比数列； （ii）记M为直线与直线的交点，N为直线与直线的交点，R为直线MN与直线的交点，证明：R在定直线上． 【解析】（1）依题意，得  即 ∴，故曲线E方程为．∵点在曲线E上，∴，故曲线E方程为．由对称性可知，点G为坐标原点O． （2） （i）依题意，得，得①， 又∵直线的斜率为2且，，∴②． 将②代入①中，得③，将②和③相减，得， 从而，∴是首项为1，公比为的等比数列． （ii）点R在定直线上．证明如下： ∵，， ∴直线的方程为， 令，得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∵直线的方程为，直线的方程为， 联立解得． ∴直线MN的方程为． 令，得， ∴直线与直线MN的交点坐标为， 故点R在定直线上． 命题点4范围与最值问题 【典例01】已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【解析】（1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，． 所以． 设的方程为，同理可得． 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 【典例02】已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 . (1)求点 的轨迹 ； (2) 、 为轨迹 上不同的两点， ①若直线 斜率存在且过点 ， ，直线 分别与直线 ， 交于点 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. ②若 ，求 的最大值与最小值. 【解析】（1）由已知，有: ，化简得: ， 即点 的轨迹 为: 以原点为中心，以 为长半轴，以 2 为短半轴的椭圆. 且椭圆方程为: （2）①由题意，直线 斜率不能为 0 ； 设直线 联立 ，消 得， ， 由于点 在 内部， 恒成立，得: 直线 的方程: ， 令 ， 得:，同理: ， ②若直线 ， 其中一个斜率不存在， 则易知: 直线 斜率均存在，设直线 方程: ， 联立 ，消 得， ，解得: 同理，设直线 方程: ，解得: 则有: ， 所以 设 ， 又 ，由，即，解得； . 令 ， 由复合函数单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减; ，. 综上所述: 的最大值与最小值分别为: . 命题点5轨迹方程 【典例01】已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l的斜率为，求的面积. (3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【解析】（1）由题意得，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； （2）由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； （3）设，， 则， 因为， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得：， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 【典例02】已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【解析】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点 ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上①，②所得 所以垂足轨迹方程是，且． 命题点6存在性问题 【典例01】已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的曲线方程； (2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标； (3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）根据一条渐近线的斜率为，可知该双曲线为等轴双曲线． 设，将代入得，解得． 双曲线的方程为． （2）直线过定点． 已知直线的斜率为，直线的斜率为且，设的斜率为． 点在圆上，为直径，，即， ． 点在双曲线上，设，所以， ，即，，三点共线． 直线过定点，得证． （3）设，，则． 直线，直线． 联立、整理得， 即， 即， 即． 设直线，则， 代入得 ， 联立，消去整理得， 所以， 代入． 点的轨迹是定直线． 要使的面积为定值， 点为过点与轴平行的直线与两条渐近线的交点， 又双曲线的渐近线方程为， 由，解得或，所以或． 【典例02】已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为 （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值 高考预测题 1．已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点． （i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值； （ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）由题意可知，则点的坐标为， 代入抛物线方程解得或（舍去），所以抛物线的方程为． （2）（i）由题意可知直线的方程为， 直线与抛物线联立可得， 解得， 所以，所以． 如图所示，由图象可知，对任意面积，抛物线位于直线右上方的部分均存在2点使得的面积均为定值， 则抛物线在直线的左下方部分存在唯一的一点满足条件， 此时到直线的距离达到最大值，即在处的切线与直线平行， 当时，抛物线方程为，所以， 则到直线的距离为， 所以定值． （ii）是的角平分线，所以点到直线的距离相等， 设该距离为定值． 当的斜率不存在时， 由题意可知，易知此时与轴平行，不满足题意， 所以的斜率均存在． 设过点的直线斜率为，则过点的直线可表示为， 则有，则有， 设，则， 两式相减可得， 利用点斜式方程可得， 由，化简可得，， 结合，易知直线过定点． 2．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 【解析】（1）如图所示， 设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上， 所以且轴，故， 又由于，所以得， 故椭圆方程为 （2）①设直线方程为，与椭圆联立， 消去得， 设，由韦达定理得： 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为：，即： 直线过和，其方程为：， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以：. 3．已知，，二者相交于，离心率为． (1)求的方程； (2)记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于． （i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时， (所有直线斜率均存在) ； （ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程． 【解析】（1）由题意可得，且，即， 故，解得，则， 故，； （2）（i）由题意可得，， 联立，消去有， 故，则， ，故， 联立，消去有， 故，则， ，故， 由，故，故； （ii）设直线、、、的斜率分别为、、、， 则， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， ， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， 则， ， 联立，消去有， 则，故， 则， 由，则， 则， 设，则，， 故有， 即有， 化简可得，故轨迹为双曲线， 且轨迹方程为. 4．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为轴时，， 所以点在椭圆上，则， 又，联立解得， 所以椭圆的方程为：． （2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点， ， 则， 当的斜率不为零时，设的方程为：， 设， 由消去得， ， 所以， 又， 则， 因此，即， 所以． （3）根据题意得，，， ， 则， 同理， 而，， 由（2）知， 于是，， 所以， 整理得，则或（舍去）， 因为，而， 解得，即，所以存在点满足题意． 好题速递 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，为的中点， 过点作轴，交轴于点， 设， 过点的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 2．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】 由为中点，可得为的中位线， 由的周长为6，可得的周长为， 即，因为，所以， 即，所以椭圆的短轴长， 故选: B 3．（2026·江西萍乡·一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由已知，，变形可得， 所以，曲线：表示单位圆的右半部分， 直线过定点，且斜率为， 要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足， 联立，消元整理得， 该方程为关于的一元二次方程，开口向上， 设根为，由韦达定理：， 若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根， 由得：； 若，则且，两根均为负根，不符合条件； 当时，直线过曲线右半部分的端点， 代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点； 故的最大值为. 故选：C. 4．（25-26高三上·广西·期末）等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 5．（多选题）（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．点P不可能在直线上 C．曲线E与圆有4个公共点 D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则 【答案】BCD 【解析】将曲线E的方程中x，y互换得，与原方程不同， 所以曲线E不关于直线对称，A错误； 将代入曲线E的方程得， 因为，所以方程无实数解， 所以曲线E与直线无公共点，故点P不可能在直线上，B正确； 由得，因为， 所以，设（，）， ，设，则， 单调递增，由，得在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故，同理可得，， 将代入曲线E的方程得，即， 即，因为所以或， 故或，当时，得，当时，得或， 所以曲线E与圆有4个公共点，，，，C正确； ，因为，且， 所以，又，，所以， 故，可得曲线E在圆和之间， 所以，D正确. 故选：BCD. 6．（多选题）（2026·四川巴中·一模）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 【答案】ACD 【解析】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确； B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误； C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确； D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确; 故选：ACD 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【解析】设，，由题意得，， 因为，所以，， 又，即，两边平方并整理得， 即，所以， 由双曲线第三定义得， 即，整理得， 解得 故答案为：2 8．（2026·湖南常德·一模）已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】由题知，，，， 则，， 又，设， 则，解得， 所以. 故答案为： 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点． （ⅰ）若中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； （ⅱ）若点为的外心，且在直线上，求点到直线的距离的最大值． 【解析】（1）依题意，椭圆的半焦距， 由椭圆的离心率为，得，， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设点，当直线的斜率不为0时，设其方程为， 由，得， ，， ， 原点到直线的距离，， 由中点为，，得点是的重心，则点， 由点在椭圆上，得，又， 则，即， 整理得，即，则， 因此的面积， 当直线的斜率为0时，点或，直线的方程为或， 线段，点到直线的距离为，， 所以的面积为定值. （ⅱ）当直线的斜率为0时，线段的中垂线为轴，不符合题意，点， 由（ⅰ）得线段的中点，的中点，， 线段的中垂线方程为，即， 同理线段的中垂线方程为， ， 由的外心在直线上，得，解得， 而，则，解得或， 因此点到直线的距离为， 令，当时，在上递减， 则当，即时，，；当时， 在上递增，，又，因此， 所以点到直线的距离的最大值2. 10．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点. (1)求的准线方程； (2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【解析】（1）由题意知，则， 所以的准线方程为. （2）由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 高考闯关 1．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选： 2．（2026·陕西铜川·一模）已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为C的准线和轴交于点，且． 根据题意可得图形， 由已知，可知满足， 又因为M在抛物线C上，所以， 所以，所以，因此，M点的横坐标是， 由抛物线的定义知， 且， 所以，所以． 故选：B. 3．（2026·陕西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】 由的内切圆的圆心为，得点到三边的距离相等， 由，得， 设，则，由双曲线定义知：， ，则，解得， 于是， 在中，由余弦定理得， 在中，，则， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A 4．（2026·安徽合肥·一模）已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为. 将代入渐近线方程： 对于，解得，即点. 对于，解得，即点. 所以，解得. 双曲线的离心率，其中. 将代入得： 因此，离心率. 故选：A 5．（多选题）（2026·山东潍坊·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于，因为抛物线的准线方程为，已知点在准线上， 所以，解得，即，焦点.故正确； 对于，设过且斜率为的直线方程为， 联立抛物线方程，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 解得或，故错误； 对于，设，由抛物线定义，， 要判断，即， 两边平方， 化简得，即， 因为直线与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线不相切，即， 所以成立，即，故正确； 对于，当时，是的中点，设，， 则，由韦达定理， 所以，解得（舍去），或，则， 则，由对称性，不妨令，则， 则由，得，故正确. 故选： 6．（多选题）（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【解析】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误； ， 因为，所以，即； 化简得到， 联立方程，即， 代入，得到，解得， 得到两个解，故D正确. 故选：ABD. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为 ． 【答案】 【解析】设抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点为， 设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去， 得到，即， 设，则有， ，， ， ，， ， ，，，， ， ， ， 的面积为，，，. 故答案为：. 8．（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线C的一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点.A，B分别为和的内心，若四边形的面积为，则直线l的斜率为 . 【答案】2或 【解析】因为双曲线C：（，）的一条渐近线的斜率为，所以. 设双曲线C的焦距为2c，则，得. 设点A在直线，，上的射影分别为， 则， 又，所以，故点M的横坐标为a，所以点A的横坐标为a. 同理可得点B的横坐标也为a，所以三点共线，所以， 故四边形的面积. 因为四边形的面积为，所以，所以得. 设直线l的倾斜角为（），则，且. 所以，， 所以， 所以，解得或. 所以或，故直线l的斜率为2或. 故答案为：2或. 9．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知是圆上一动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上且，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作轴的垂线与曲线在第一象限交于点，过点的两条直线交曲线于另外两点，若直线的斜率之和为，试证明直线过定点； (3)在（2）的条件下，设所过定点为，试问曲线上是否存在第二象限的点，使得最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由平面几何知识可得，则，因为，所以， 因为，则， 所以 ，即动点 的轨迹是以  为焦点的双曲线，， 所以， 故双曲线方程为 ； （2）法一：由题可知 设直线 的方程为 ，， 联立 与 得：， 则 ， 又 ，代入 ，，化简得： ， 所以，，即， 故 或， 当 时，直线 过定点 （与点 重合，舍去）， 当 时，直线 的方程化为 ，过定点 ，故直线过定点 . 法二：（平移齐次化） 以为基准点将整个图像左移2个单位，下移3个单位（即将移到原点）， 所以双曲线方程变为， 设直线的方程为，齐次化， 所以，所以， 所以， 即， 两边同除以：， 所以， 因为，平移前后斜率相等，所以， ，所以，即， 所以直线方程为过定点，所以平移之前直线过定点. （3）由双曲线定义可知 ，只需找 的最大值， 因为 （三角形两边之差小于第三边）， 当 在直线延长线与双曲线第二象限交点时等号成立，其中 ， 验证可知直线 与双曲线 联立， 解得第二象限交点存在，故 . 10．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【解析】（1）根据题意可得 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，，，由（1）可知，， 因为点在椭圆上，所以. 由题意：，：， 将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：.所以. 所以，，即. 同理，将直线与椭圆联立.可得. 整理可得：，所以， 所以，，即. 所以的斜率为，的斜率为. 故 因为点在第一象限内.故，. 所以的最小值为，当且仅当在处取到等号. 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $