1.1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理（课件）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 2 导入新课 问题:在八年级上册“证明”一章中,给出了八条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.七年级时,是如何探索三角形三个内角的和的? 通过撕角拼图 3 导入新课 如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明三角形三个内角的和等于180°吗? 根据两直线平行,同旁内角互补能说明三角形三个内角的和等于180°. 4 导入新课 如果不移动∠A,那么还有什么方法可以达到同样的效果? 5 导入新课 通过撕角拼图活动,我们得出了三角形三个内角的和等于180°的直观结论,但尚未进行严谨的逻辑证明. 今天我们就运用已学的基本事实、定义和定理来证明三角形内角和定理及其应用. 6 高效课堂 环节一:证明三角形内角和定理 问题:我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你能证明这个结论吗? 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 从上面的操作过程中,你能发现证明的思路吗? 7 高效课堂 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:如图,延长BC至点D,过点C作射线CE,使CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B. ∵点B,C,D在同一条直线上, ∴∠1+∠2+∠ACB=180°. ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. 8 高效课堂 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 对于三角形内角和定理,还有其他证明方法吗? 证明:(方法一)如图,过点A作PQ∥BC. ∵PQ∥BC, ∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等). ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°, ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. 9 高效课堂 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 证明:(方法二)如图,过点A作AD∥BC. ∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等), ∠B+∠BAD=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠B+∠BAC+∠1=180°. ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. 10 高效课堂 多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么? 为了证明三角形三个内角的和等于180°,可将其转化为一个平角或一组互补的同旁内角,这种转化思想是数学中常用的方法. 11 高效课堂 环节二:运用三角形内角和定理解决问题 12 高效课堂 环节三:尝试·思考——推导全等三角形定理“AAS” 我们学过的三角形全等的判定定理有哪些? SSS,SAS,ASA,AAS. 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 13 高效课堂 已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证:△ABC≌△DEF. 分析:①由三角形内角和定理,得∠C=∠F; ②结合BC=EF,用“ASA”证明两个三角形全等. 证明：在△ABC和△DEF中, ∠A+∠B+∠C=180°,∠D +∠E+∠F=180°. 因为∠A=∠D,∠B=∠E,所以∠C=∠F. 又BC=EF ,所以△ABC≌△DEF（ ASA ）. 根据全等三角形的定义,我们可以得到,全等三角形的对应边相等、对应角相等. 14 1.(人教8上P16)如图，三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是(　　) A.70° B.60° C.50° D.40° C 课堂评价 2.(人教8上P16、北师7下P92改编)如图，该图形中的x的值为(　　) A.60　 B.65 C.70　 D.75 A 3.(2024长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则 ∠1的度数为(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° C 4.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°， AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为　　　　.  85° 5.(跨学科融合)如图，甲船在A处测得灯塔B的方向是北偏东54°，再沿正东方向行驶到C处，在C处测得灯塔B的方向是北偏东18°，则∠B的度数 是　　　　.  36° 6.【例1】(北师7下P94改编)如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C= 63°，DE∥AB，则∠DEC等于(　　) A.63° B.113° C.55° D.62° D 小结：根据平行线的性质将三个角转化到同一个三角形中. 7.(2024汕头一模)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C=　　　　°.  55 8.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为(　　) A.35° B.40° C.70° D.110° B 9.【例3】如图，在△ABC中，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC. (1)若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠BED的度数是　　　　；  55° 证明：(2)结论：∠BED=90°-∠C，证明如下： ∵AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠ABE=∠ABC，∠BAE=∠BAC， ∴∠BEA=180°-(∠ABE+∠BAE)=180°-(∠ABC+∠BAC) =180°-(180°-∠C)=90°+∠C， ∴∠BED=180°-∠BEA=180°-=90°-∠C. (2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论. 小结：熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，并能进行推理计算是解决问题的关键. ★10.(思维能力)(人教8上P17改编) (1)如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. ①当∠A=60°时，∠D的度数是　　　　；  ②猜想∠A与∠D有什么数量关系？证明你的结论； 120° 解：(1)②∠D=90°+∠A，证明如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A， ∴∠D=180°-=90°+∠A. (2)如图2，BD平分∠CBP，CD平分∠BCQ，(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论(不用写出证明过程). (2)不正确.结论：∠D=90°-∠A. 课堂总结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获? 2.本节课中,蕴含了哪些数学思想?你还有什么疑惑? 27 作业设计 基础性作业:教材随堂练习第2题,教材习题1.1第1题. 提高性作业:教材习题1.1第2题. 28 感 谢 观 看 $