专题05 幂的运算（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05幂的运算 目录 A题型建模·专项突破 题型一、同底数幂先关计算 1 题型二、幂的乘方相关运算 题型三、积的乘方相关运算… 72 题型四、零指数幂和负数指数幂相关计算… 1 题型五、 同底数幂的除法相关计算… 21 题型六、 幂的混合运算 26 题型、科学计数法… 30 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、同底数幂先关计算 1.（-x2）(-x)2.(-x)3= 2.若43×41×40=4P，则p的值为 3.若a"=2,a=3,则a2m+"=_ 4.已知2.4=29，则x的值为 5.若3x+y-8=0,则8.2的值是 6.若xm=3,x”=2,则x2m+3n= 7.(24-25七年级下.福建泉州期中)若a=2,a=3,则a+y的值是一 8.已知5”=号=75，则a+b= 9.(24-25七年级下陕西咸阳·期末)若a"=4,am*"=64,则a的值为 10.己知2m=3,2”=4,则2m+"=— 11.计算： 1(2）） 2(-5+(-5)°： 3)3x）°-2(x3x2'+x"x3+x20x3x. 12.逆向运用幂的运算法则可以得到a*"=a”·a，am-"=a"÷a”，a"=a），a”.b”=(ab)，在解题过 程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2×2 2022 的结果是 (2)若3"×9m×27"=32,求m的值。 3)比较大小：已知a=25,b=34,c=53,d=62,则a,b,c,d的大小关系是什么？（提示：如果 a>b>0,n为正整数，那么a”>b") 13.计算： (1)10"×1000; (2(x+y)(-x-y)1; 3)2x-3y)2.(3y-2x3. 14.(2026七年级下.江苏.专题练习)若a"=a”(a>0且a≠1)，则m=n. (1)如果2×8*×162=25，求x的值： (2)已知x满足22+3-22+1=48，求x的值. 15.已知x满足22+2-221=32，求x的值。 题型二、幂的乘方相关运算 1.(若n是正整数，且x=6,y=5,则(y)2= 2.计算：[m门- 3.若己知a"=2,d=3,则a2m-"的值为 4.计算：（-a2)}2= 5.己知，a”=5,am=10,则a2m-"=」 6.已知3x+5y=3,则8x32的值为 7.若10"=2,10”=3，则103m-"= 8.阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法.①比较2°，2的大小.当a>b时，2°>2 ,·当底数相同时，指数越大值越大.②比较30和25的大小.：30=(3)5=95,25=(2)5=825,9>8 ,.30>25.可以将其先化为同指数，再比较大小，：指数相同时，底数越大值越大.根据上述材料，回 答下列问题 (1)比较大小：320930（填写">"“<"或“=”). (2)已知a=35,b=44,c=533,试比较a,b,c的大小. 9.己知a"=4,d=3,a=2,求am-3+2m的值 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.已知：x2"=6,求x”+2x”-5x5m）的值 11.若16m=22m,27”=9×3m+3,求(m-n)m". 12.已知n为正整数，且x2=2,求2(x3)-(x的值. 13.著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东 西，这是数学解题的一个重要原则” 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m,n都是正整数， ①若a>1,当m=n时，am=a”；当m>n时，a">a”;当m<n时，am<a”. ②若a>0,b>0,当a=b时，a"=bm;当a>b时，am>b";当a<b时，am<b". 【理解知识】例如： ①若4=20，求x的值. 解：法一：4=22）=22.22=21°..2x=10.x=5. 法二：20=(22=454=4.x=5. ②比较230与320的大小. 解：20=(2”=80,320=(32”=9,8<920<320. 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题 (1)若2×8=20，求x的值. (2)比较32与9的大小 3)定义两个正数a,b之间的一种运算，记作a,b],如果a"=b,那么a,b]=m,例如：2=8，[2,8=3.求 [2+]的。 所以m+n=4,即 +g1-4 题型三、积的乘方相关运算 1.计算： (1)（xy2z}= 2.(24-25七下河南新乡期末)a-a）-a)(-a)(-a)2- 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25七下.甘肃天水期末)计算：x2y2(xy)3=一 4.计算：(-b)2(-b)3(-b)=一 5.计算：[-x门= 6.若x"=2,y=3,则(x2y)= 8.计算： ×42026=- 9.若x=2"-1,y=1+4m1,用含x的代数式表示y为 10.已知正整数a满足 ヅ=8，则a 11.计算： (1)aa-2(a2）+-2a)2: (2)0.1252015×82016, 12.用简便方法计算： (1)0.1250×-8)"; 、10 21 13.简便计算： a-叭到 (2)-0.25)3×210. 14.计算下列各题： 13x10); (2)0.24×0.44×1254: : -012-- 15.阅读：己知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂 a和，当a>c时，则有a>c,根据上述材料，回答下列问题 (1)比较大小：520420（填写>、<或=）· 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)比较2与322的大小（写出比较的具体过程）. (3)计算：42025×0.252024-82025×0.1252024 题型四、零指数幂和负数指数幂相关计算 1.24-25七下湖北荆门期末)计算-4°- +1的结果是 2.计算：（-π)°+21=」 3.已知a=-(205+,b=-10c-(兮，d-付，则以上四个数中，最大数诚最小数的值为一 4.计算： aa-314+8= 2-+= (3)a2b2.a2b2）= 5.已知a=(226+,b=(10,c-(,d-[9, 则最大值和最小值的和为 题型五、同底数幂的除法相关计算 1.(2024甘肃武威二模)计算：x4÷x2=一 2.(24-25七年级下广东广州期末)计算：d÷a3=」 3.已知252m÷52m1=125,则m的值为 4.若(x÷x÷x与}为同类项，则4a-106+6的值为 5.若a3a"=a÷a”,则m与n之间的关系是 6.计算： (1)x”.x2÷x*2; 2[-yT÷[-]y2 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3la÷a2}÷f-a°÷-a3a2g a+-×x-314°-（)。 7.计算下列各题： (1(-2a°÷(-2a3; 2-m3÷m3; 3-x2÷-x2: 4-a小(-a’÷a2）' 8.己知am=3,a”=2.求： (1)a"的值； (2)a3m-2m的值 9.(25-26八年级上陕西榆林月考)己知m=4,m=16,m=8. (1)求n2的值. (2)求ma+b-c的值. 10.已知5m=4,5”=6,25P=9. (1)求5+-2P的值； (2)写出m,n,p之间的数量关系. 11.(24-25七下四川巴中.期中)计算下面各题： (1)已知10°=3,10=5，求103a-2b的值； 2已知47”=27,423=81，求3640的值. ab 题型六、幂的混合运算 1若2ry÷r2÷3x与中为铜类项，求代数式4a-106+6的值. 2.(24-25七年级下陕西咸阳·月考)计算： 四+314-x--4店 2)4a÷a2-a3.(-a3+-2a22. 3.(1)己知2x+3y+3=0,求9.27的值. 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知n为正整数，且x2m=4,求(x22-2x"的值. 4.(24-25七年级下.江苏扬州期中)计算： a(-+ +(3.14-π)°-2 2-a2）°a2+-a2a'-5(a3 5.(24-25七年级下广东茂名·月考)计算： -m4红--固 2)-1a26.(2a3÷(-2ab A 6.(24-25七年级下.安徽毫州期中)按要求计算下面各题： (1)已知3a+2b=6,求8.4的值： (2)已知n为正整数，且x2m=2,求(3x3)-4x2)2的值. 题型七、科学计数法 1.商丘市的市花是月季，月季花历来被称为“花中皇后”，中国古典文献中又称“月月红”、“长寿花”.月季 属蔷薇科、蔷薇属植物，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为0.00000839米，则数据 0.00000839用科学记数法表示为() A.8.39×10-7 B.8.39×106 C.-8.39×10 D.-8.39×10 2.深度求索(DeepSeek)是一家专注实现AGI的中国人工智能公司.在研发人工智能模型时，常需处理 一些数据，例如权重参数0.0000034.将数据0.0000034用科学记数法表示为() A.3.4×106 B.0.34×10-6 C.3.4×107 D.0.34×10-7 3.成人每天维生素D的摄入量约为0.000000406克，将数据0.000000406用科学记数法表示为() A.40.6×10 B.4.06×107 C.0.406×106 D.40.6×106 B 综合攻坚·能力跃升 1.(2025·广东清远.三模)下列运算正确的是() A.（-2ab2）°=8a3b B.a2+a2=2a2 C.2a6÷a3=2a2D.（-a2°=a 2.(2021浙江杭州模拟预测)若22=4-，27=3+，则x-y等于(） 7/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-5 B.3 c.-1 D.1 3.（2025·吉林长春.模拟预测)下列运算结果正确的是() A.ata=a2 B.2a-a=2 C.a…a=2a D.(ab)2÷(ab)=ab 4.(24-25七年级下.福建泉州期末)中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网.其中支持 北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米=0.000000022米， 将0.000000022用科学记数法表示为 5.(2025四川广元中考真题)幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书用今天的数 学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每 个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填 写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则x'=_ 6 1 8 y -4 7 2 2 X 2 9 4 图① 图② y -4 -2 2 女 9 b 6.(2023广东江门一模)已知实数x,y满足√x-2+y-4=0,则 7.(2025黑龙江佳木斯模拟预测)(1)若24”=64，求n的值： (2)己知a"=6,a”=2,求a2m*3m的值. 8.（2025·安微模拟预测)初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算一一对数运算.给出对 数的定义：如果N=a(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作： x=1og。N,其中，a叫做对数的底数，N叫做真数.：2=2，.log22=1;:22=4,log24=2;: 23=8,.10g,8=3;24=16,.l0g,16=4: (1)l0g24+l0g28=-:10g232= (2)由题目给出的运算，猜想：log。M+log。N= (a>0且a≠1，M>0,N>0),并证明你的 猜想 (3)根据(2)的探究，直接写出log。M-log。N= 9.(2025·安徽毫州模拟预测)观察以下等式： 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3×(3-1=2×3: 3×32-3）=2×32, 3×(33-32)=2×33； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)试写出第nm为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求3+32+3+3"的值.(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 10.(2025安微合肥二模)庐阳中学七（11)班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整 数n(m>1)满足何种条件时，上可以化为有限小数”的间题。 请您帮助七(11)班的同学完成下面研究过程： ()尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果.完成填空。 n(n>1) 1 n 0.5 1 5-0 2 2'×50= 10 0.25 1 52-0 2x50=102 1 51l 10 0.1 2×5=10 20 0.05 ①- 250 0.004 1 - 2x5=10 2500 0.0004 1 24-2 22×54-100 (2)大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含_和_时， 可以化为有限小数。 n (3)归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n=2“5B(a,B是非负整数，且不同为0) 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当≥B≥0时， 11 n255=-是一个有限小数： ②当B>a20时， 11 n25=-也是一个有限小数. 反过来，如果可以化为有限小数0.aa,a…a,那么a,aa,…an=10=2.5,n的质因数仅含2和5. （025=号可以解成25x4=10-2×5) 阅读以上内容，请填写七(11)班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容. 10/10 专题05 幂的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、同底数幂先关计算 1 题型二、幂的乘方相关运算 7 题型三、积的乘方相关运算 12 题型四、零指数幂和负数指数幂相关计算 19 题型五、同底数幂的除法相关计算 21 题型六、幂的混合运算 26 题型七、科学计数法 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、同底数幂先关计算 1． ． 【答案】 【分析】本题主要考查整数幂的运算，根据整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 2．若，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将指数相加求解即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， 可得， 又因为 ， 所以 ， 故答案为：． 3．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则的逆运用； 利用指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ：12． 4．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘的运算法则，是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂的乘法法则合并指数，得到，从而指数相等，解方程得． 【详解】解：由， 将写成， ∴， ∴． ∵底数相等的幂相等， ∴指数相等， 即， 解得． 故答案为：3． 5．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和乘方的逆运算，由已知方程得 ，把原式化为，代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故答案为：256 6．若，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若，，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：原式， ∵，， ∴． 故答案为：6． 8．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 10．已知，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为12． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘． 按照幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （3）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 15．已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的计算应用，熟练使用其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型二、幂的乘方相关运算 1．（若是正整数，且，，则 ． 【答案】900 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．若已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算，利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：，， ∵， ∴ ． 故答案为 ． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算和积的乘方运算．应用幂的乘方法则和积的乘方法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．已知，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的除法，根据幂的乘方的逆运算法则得到，再根据同底数幂的除法的逆运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：20． 6．已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方运算将和化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 7．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 8．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 9．已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的除法、乘法逆运算，幂的乘方逆运算等知识点． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以 ． 10．已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法运算，幂的乘方的逆用；根据同底数幂的乘法运算，幂的乘方的逆用将原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 11．若，，求． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘以及逆运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 12．已知n为正整数，且，求的值． 【答案】120 【分析】本题考查幂的乘方的逆应用，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解： ． 13．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即 题型三、积的乘方相关运算 1．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方法则的应用． （1）利用积的乘方法则，将每个因式分别乘方； （2）同样应用积的乘方法则，并计算有理数的乘方． 【详解】解：（1）原式 ， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 2．（24-25七下·河南新乡·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七下·甘肃天水·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方即可得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 5．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是积的乘方和幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 先根据积的乘方和幂的乘方依次去括号，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 【详解】解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方逆运算，利用指数运算法则，将原式化为同指数幂的乘积，再计算底数乘积的幂． 【详解】解： 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 9．若，，用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 10．已知正整数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及逆用积的乘方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则，并能灵活运用积的乘方逆运算简化计算． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别计算各项，再合并同类项； （2）先将拆分为，再逆用积的乘方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： （2）解： 12．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算； （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 15．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 题型四、零指数幂和负数指数幂相关计算 1．（24-25七下·湖北荆门·期末）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算； 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】// 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，掌握好相关知识是关键． 根据运算法则计算各项再求和即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，有理数比较大小，有理数的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 分别计算a、b、c、d的值，比较大小后求差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最大数减最小数的值为． 故答案为：9． 4．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 ； ； ． 【分析】本题考查指数运算，包括零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算零次幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （3）根据整数指数幂的运算法则，先计算负整数指数幂，再计算同底数幂相乘即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 5．已知，，，，则最大值和最小值的和为 ． 【答案】7 【分析】先分别计算、、、的值，再比较大小找出最大值和最小值，最后计算它们的和． 【详解】解：①计算各值： ②比较大小： ∴最大值为，最小值为 ③计算最大值与最小值的和： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算，解题关键是准确计算每个表达式的值，并正确比较大小． 题型五、同底数幂的除法相关计算 1．（2024·甘肃武威·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东广州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 4．若与为同类项，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂相除，同类项，首先简化表达式，利用指数法则得到；由于该表达式与为同类项，故指数相同，即；然后代入求值 ，通过关系式计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵与为同类项， 故， 则， 故答案为：10． 5．若，则与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和除法法则．利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等的原则，得到关于m和n的方程，进而求解关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 7．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算同底数幂的除法，再进行积的乘方运算即可得到答案； （2）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （3）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的除法运算即可得到答案； （4）原式先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，逆用法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 10．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 11．（24-25七下四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 题型六、幂的混合运算 1．若与为同类项，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：． 因为与为同类项， 所以， 所以． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，涉及了零指数幂、负指数幂、单项式的乘除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、积的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 题型七、科学计数法 1．商丘市的市花是月季，月季花历来被称为“花中皇后”，中国古典文献中又称“月月红”、“长寿花”．月季属蔷薇科、蔷薇属植物，已有4000年的种植历史，已知月季花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为正整数），的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定． 【详解】解：∵原数左边起第一个不为零的数字是8，它前面有6个0 ∴， 故选：B． 2．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 【详解】解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 3．成人每天维生素D的摄入量约为克，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选B． 1．（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2021·浙江杭州·模拟预测）若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方法则，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂相除的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算．根据合并同类项、同底数幂相乘和同底数幂相除的运算法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 6．（2023·广东江门·一模）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，负整数指数幂的意义等知识，先根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入并结合负整数指数幂的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 7．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 8．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 10．（2025·安徽合肥·二模）庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： (1)尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ① 250 0.004 2500 0.0004 (2)大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含 和 时，可以化为有限小数． (3)归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0） ①当时， 是一个有限小数； ②当时， 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 【答案】(1) (2)2，5 (3)， 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和分数的基本性质； （1）模仿示例写成分母中的因素2和5的乘方相同的形式，即分母是10的乘方的形式即可， （2）由（1）分母是10的乘方，可知当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． （3）根据（1）发现的规律和分式利用同底数幂乘法变形即可. 【详解】（1） （2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设（α，β是非负整数，且不同为0） ①当时，是一个有限小数； ②当时，也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $