微专题02 幂的运算的综合题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题02 幂的运算的重难点问题 题型一 同底数幂的乘法的逆运算 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、当指数是和的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选A． ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·四川广元·期末）计算__________（其中为正整数） 【答案】 【分析】令 ，将分子和分母化简，然后约分得到结果． 本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握运算公式是解题关键． 【详解】令 ，则 ． 分子为 ， 分母为 ， 所以原式 = ． 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为________． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 题型二 幂的乘法的逆运算 1、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 2、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选：D． 2．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方运算将和化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键． 将方程中的所有幂转换为以为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得， ，，，， ∴原方程化简为：， 合并，得， ∴， 解得． 故答案为：． 6．已知，则32a×9b＝　 ． 【答案】81． 【分析】根据求出2a×2b＝3，根据同底数幂的乘法得出2a+b＝22，求出a+b＝2，再根据幂的乘方进行计算，根据同底数幂的乘法得出32a×9b＝32a+2b，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴2a×2b＝3， ∴2a+b＝4＝22， ∴a+b＝2， ∴32a×9b ＝32a×（32）b ＝32a×32b ＝32a+2b ＝32×2 ＝34 ＝81． 故答案为：81． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能熟记（am）n＝amn和am•an＝am+n是解此题的关键． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】56 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方，幂的乘方的逆用，根据积的乘方及幂的乘方的逆用将原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 题型三 积的乘法的逆运算 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果． 【详解】解：原式 故选：D． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 【答案】 【分析】利用 的关系，将原式化为 ，再根据指数运算规则求解． 【详解】由 ，，得 ． 则 ． 由于 ，且2024为偶数，故 ． 所以 ． 【点睛】这类指数运算题的关键是观察指数的特点，通过拆分指数构造积的乘方形式，利用积的乘方简化计算． 5．（25-26七年级上·江苏·假期作业）（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算； （2）先将变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)1000000 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂乘法、积的乘方的逆用、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先逆用同底数幂乘法法则可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则求解即可； （2）直接逆用积的乘方运算法则求解即可； （3）先运用用幂的乘方可得，即，再逆用积的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算； （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 8．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 题型四 同底数幂的除法的逆运算 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末），，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，，则______． 【答案】45 【分析】利用幂的乘方运算法则求出的值，结合求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 【详解】解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，幂的相关运算： （1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，再提取公因式后得，即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，合并同类项后得，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得：； （2）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 7．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 题型五 利用幂的运算性质求值 先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积. 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 5．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算； 将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解： ； 解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法及幂的乘方逆运算，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的除法，幂的乘方逆运算法则进行变形，再代入求出即可； （3）由（2）知，根据任何数（除外）的零次幂等于，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，，， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 利用幂的乘方的性质比较大小 方法一：底数比较法：化指数相同，比较底数的大小. 方法二：指数比较法：化底数相同，比较指数的大小. 方法三：乘方比较法：利用乘方，化成同底数幂，比较底数大小. 1．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较355，444，533的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， ∴533＜355＜444， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若a＝2505，b＝3404，c＝5303，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】a＜b＜c． 【分析】按照例题的解题方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵a＝2505＝（25）101＝32101， b＝3404＝（34）101＝81101， c＝5303＝（53）101＝125101， ∴32101＜81101＜125101， ∴a＜b＜c． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，理解例题的解题方法是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 3．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 6．比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 【答案】（1）255＜622＜344＜533；（2）c＜b＜a；（3）P＝Q． 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比较即可； （2）根据幂的乘方的逆用进行转换得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比较即可； （3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果． 【详解】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611， ∵3211＜3611＜8111＜12511， ∴255＜622＜344＜533； （2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122， ∵3122＜3123＜3124， ∴961＜2741＜8131， ∴c＜b＜a； （3）∵， ∴P＝Q． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一． 7．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 题型七与幂有关的新定义运算问题 先根据新定义运算，列出算式，利用幂的运算性质进行计算即可解决问题. 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）我们规定：，例如． (1)试求：和的值； (2)想一想：与相等吗？请验证你的结论． 【答案】(1)； (2)与不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，属于新定义题，解答本题的关键是读懂新定义，理解题中给出的符号所代表的运算法则，把新定义转化成常见的运算． （1）根据题中规定的运算法则进行运算即可求值； （2）分别计算出与的值，然后即可作出判断． 【详解】（1）解：； ． （2）解：与不相等，理由如下：，， 与不相等． 3．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105． (1)试求12☆3和4☆8的值； (2)（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由． 【答案】(1)12☆3＝；4☆8＝； (2)相等，理由见解析． 【分析】（1）根据定义的新运算和同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据定义的新运算和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：12☆3＝； 4☆8＝； （2）相等， 理由：∵（a＋b）☆c＝，a☆（b＋c）＝， ∴（a＋b）☆c＝a☆（b＋c）． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①　　，　　； ②若，则x＝　　． (2)若，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①,；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算即可；②根据新定义和负整数指数幂计算即可； （2）根据题意得：，根据列出等式即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5，5； ②根据题意得： ， ∴， 即， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义、有理数的乘方、积的乘方、负指数幂等知识点，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．阅读下列材料： 若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： （3，27）＝　 　，（﹣2，16）＝　 　，（，　 　）＝3． （2）计算（3，2）+（3，4）＝（ 　 　，　 　），并写出计算过程； （3）直接写出结果： ①（5，10）﹣（5，2）＝　 　； ②（10，4）×（2，10）＝　 　． 【分析】（1）根据题目定义，运用乘方运算求解； （2）运用同底数幂的乘法运算求解； （3）运用同底数幂的除法，幂的乘方运算求解． 【详解】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16，， ∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，． 故答案为：3，4，． （2）设（3，2）＝m，（3，4）＝n，则3m＝2，3n＝4， ∴3m×3n＝3m+n＝2×4＝8， ∴m+n＝（3，8）， ∴（3，2）+（3，4）＝（3，8）． 故答案为：3，8． （3）①设（5，10）＝p，（5，2）＝q，则5p＝10，5q＝2， ∴， ∴p﹣q＝1， ∴（5，10）﹣（5，2）＝1； 故答案为：1． ②设（10，4）＝h，（2，10）＝k，则10h＝4，2k＝10， ∴（2k）h＝4， ∴2kh＝4， ∴kh＝2， ∴（10，4）×（2，10）＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方运算法则，掌握相关法则是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 幂的运算的重难点问题 题型一 同底数幂的乘法的逆运算 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、当指数是和的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川广元·期末）计算__________（其中为正整数） 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为________． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型二 幂的乘法的逆运算 1、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 2、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）若，则的值是________ 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 6．已知，则32a×9b＝　 ． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 8．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2) 已知，，，，求证：． 题型三 积的乘法的逆运算 1、同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 5．（25-26七年级上·江苏·假期作业）（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 8．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 题型四 同底数幂的除法的逆运算 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末），，则______． 4．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，，则______． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为______． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 7．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 题型五 利用幂的运算性质求值 先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要用到割补法求图形的面积. 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 2．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 5．（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 题型六 利用幂的乘方的性质比较大小 方法一：底数比较法：化指数相同，比较底数的大小. 方法二：指数比较法：化底数相同，比较指数的大小. 方法三：乘方比较法：利用乘方，化成同底数幂，比较底数大小. 1．阅读和学习下面的材料： 某同学在比较355，444，533的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， ∴533＜355＜444， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若a＝2505，b＝3404，c＝5303，则a，b，c的大小关系是什么？ 2．（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 3．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 6．比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 7．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 8．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 题型七与幂有关的新定义运算问题 先根据新定义运算，列出算式，利用幂的运算性质进行计算即可解决问题. 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）我们规定：，例如． (1)试求：和的值； (2)想一想：与相等吗？请验证你的结论． 3．我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105． (1)试求12☆3和4☆8的值； (2)（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由． 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①　　，　　； ②若，则x＝　　． (2)若，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 7．阅读下列材料： 若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： （3，27）＝　 　，（﹣2，16）＝　 　，（，　 　）＝3． （2）计算（3，2）+（3，4）＝（ 　 　，　 　），并写出计算过程； （3）直接写出结果： ①（5，10）﹣（5，2）＝　 　； ②（10，4）×（2，10）＝　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $