专题03 不等式的性质和一元一次不等式（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题03 不等式的性质和一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的概念 1 题型二、不等式的解集 2 题型三、不等式的性质 3 题型四、一元一次不等式的定义 4 题型五、一元一次不等式的解集 5 题型六、一元一次不等式的整数解 9 题型八、求一元一次不等式解的最值 20 题型九、一元一次不等式的实际问题 26 题型十、一元一次不等式的几何问题 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的概念 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 3．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 题型二、不等式的解集 1．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 2．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 题型三、不等式的性质 1．已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．若，则下列不等式的变形中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式两边乘负数要改变不等号方向，以及平方运算对负数大小关系的影响是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项的变形是否恒成立． 【详解】解：A、若，则（不等式两边加同一数，不等号方向不变），成立，不符合题意； B、若，则（，不等式两边乘正数，不等号方向不变），故（不等式两边减同一数，不等号方向不变），成立，不符合题意； C、 若，当和同为正时，；但当和同为负时，如，则，但；当和异号时，也可能，故不一定成立，符合题意； D、若，则（不等式两边乘负数，不等号方向改变），成立，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七下·浙江嘉兴·期末）已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．根据不等式的性质，时，加减相同数不等号方向不变，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：∵，乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； 对于D：∵，除以正数2，不等号方向不变，∴，故D正确， 故选：D． 题型四、一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 3．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 题型五、一元一次不等式的解集 1．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：B． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可． 【详解】解： 两边同时乘3去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 故选：B． 3．下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了解不等式，掌握不等式的性质是关键，解不等式，得到x的取值范围，再判断选项中符合条件的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 观察各选项，只有， 故选择：D． 4．对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、不等式的解与解集的概念，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤以及准确区分解与解集的定义是解题的关键． 先求解不等式的解集，再逐一验证各选项的正误，找出不正确的说法． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 对于A选项，∵，∴是它的解，A说法正确． 对于B选项，∵，∴是它的解，B说法正确． 对于C选项，不等式的解集是，并非，C说法不正确． 对于D选项，是它的解集，D说法正确． 故选：C． 5．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答此题的关键． （1）（2）（3）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集； （4）先去分母，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （4）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 6．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 【详解】（1）解：（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2）解： （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 7．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 题型六、一元一次不等式的整数解 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 2．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先求解不等式，再从解集中找出负整数解的个数． 【详解】解： 所以不等式的负整数解为，，，共个． 故选：C． 3．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 首先解不等式，然后确定不等式的正整数解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴正整数解有， 故正整数解有个， 故选：B． 4．不等式的自然数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的自然数解， 先求出一元一次不等式的解集，再确定自然数解. 【详解】解：， 解得， 所以自然数解有2,1,0，共有3个. 故选：C. 5．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 6．若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 7．不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 8．不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 9．（25-26七下·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式． 首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值． 【详解】解：， 移项得， 即， 所以． 由于根是正数，即， 因此， 两边乘以2得， 即． 所以a的取值范围是， 最大整数值为． 故答案为：． 10．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 11．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 12．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 13．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、正整数解的确定．解题关键：正确处理不等式两边除以负数时的不等号方向，以及准确筛选正整数解．易错点：除以负数时忘记改变不等号方向，或遗漏正整数的范围限制． 先通过“移项”将常数项移到不等号右侧，计算后得到；再将系数化为1（注意除以负数，不等号变向），得到；最后从正整数中筛选出小于4.3的数即可． 【详解】 满足的正整数为 1, 2, 3, 4． 该不等式的正整数解是 1, 2, 3, 4． 题型七、数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确地求出不等式的解集是解题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点． 先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： ， 故选：D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式解集的数轴表示，掌握不包含边界点时用空心圆圈，小于向左画，大于向右画是解题的关键． 根据不等式的解集，确定数轴表示规则，不包含边界点用空心圆圈，解集方向向左． 【详解】解：∵ 不等式为，其解集不包含边界点 ∴在数轴上表示时，应在数字的位置画一个空心圆圈 ∵不等式表示所有小于的实数 ∴在数轴上表示时，应从处的空心圆圈开始，向左画线 综上所述，正确表示该不等式解集的是选项C． 故选：C． 3．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 4．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 5．请用不等式表示如图的解集． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上表示的解集写出不等式即可． 【详解】解：（1）根据数轴上表示的解集得：； 故答案为：． （2）根据数轴上表示的解集得：； 故答案为：． （3）根据数轴上表示的解集得：； 故答案为： ． （4）根据数轴上表示的解集得：． 故答案为：． 6．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），见解析（2），见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）首先去括号，移项、合并同类项，系数化为，即可求得原不等式的解集，最后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）首先去分母，移项、合并同类项，系数化为，即可求得原不等式的解集，最后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：（1）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． 7．解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】，把它的解表示在数轴上见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后将该不等式的解表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 将该不等式的解表示在数轴上，如下图所示： 8．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）（2）按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，求出不等式的解集并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． 9．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意系数为负时不等号方向改变； （2）先去分母，再按上述步骤求解，同样注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． 题型八、求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·广西贺州）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 3．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 4．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题 的关键． 5．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七下·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河北唐山）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 8．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 9．（23-24七下·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 题型九、一元一次不等式的实际问题 1．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【答案】(1)；， (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）及题意可列不等式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 （2）解：由题意，得， 解得． 答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆． 2．某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 【答案】(1)； (2)甲乙两地距离是千米； (3)当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据星驰专车的车费计算方法即可求解； （）设甲乙两地距离为千米，根据题意列出一元一次方程即可求解； （）设行驶千米，打车费用为元，根据题意分别表示出两种乘车方式的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：使用星驰专车，乘车距离为千米，需要支付的打车费用为： （元）， 故答案为：； （2）解：设甲乙两地距离是千米，则： ， 整理得：， ， 答：甲乙两地距离是千米； （3）解：设行驶千米，打车费用为元， 当时，星驰专车车费； 当时，星驰专车车费， 安驰专车车费； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 时，，解得：； 综上所述，当或时，两者都可选；当或时，选安驰专车；当或时，选星驰专车． 题型十、一元一次不等式的几何问题 1．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的最大整数解是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 先求出不等式的解集，然后求其最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以最大整数解是1． 故答案为：B． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得，再利用不等式的性质逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 3．（2025·四川绵阳·一模）一家游泳馆的游泳收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元 A类 300 40 B类 500 35 C类 800 30 例如，购买A类会员卡，一年内游泳40次，消费元，小明非常喜欢游泳运动，他每年游泳的次数介于50～55次之间，则他到该游泳馆办卡最划算的方式应是（    ）． A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键． 设一年内游泳次数x次，总费用为y元，根据各类会员卡的收费标准求出y的范围即可得答案． 【详解】解：设一年内游泳次数x次，总费用为y元， ， ， ， ， 当时， 则，，，， ∴购买B类会员年卡最划算， 故选：B． 4．（2025·吉林长春·二模）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 【答案】至少答对12道题才能通过预选赛． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设答对道题可以通过预选赛，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不少于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设答对道题可以通过预选赛． 由题可知：， 解得：， 答：至少答对12道题才能通过预选赛． 5．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 6．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用． 根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设要答对道，由题意可得， 解得， 根据必须为整数，故取最小整数15， 故答案为：15． 34．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 【答案】40 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案． 【详解】解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件， 根据题意可得：， 解得：， 故购进甲种“工艺品”至多40件． 故答案为：40． 7．（2024·广东·模拟预测）某种商品的进价为350元，销售时标价500元，商家准备打折销售，但要保持利润率不低于10%，则至多可打 折． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润率公式：利润率=利润÷进价是解题关键． 根据公式:利润率=利润÷进价，设至多可打折，即可列出不等式，求出不等式的解即可求解． 【详解】设至多可打x折， 由题意得： 解得：． 故答案为：． 8．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A，B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元． (1)求A，B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ (2)小罗计划购买A，B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 【答案】(1)100元，80元 (2)60箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据“购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A品牌螺蛳粉购买m箱，则B品牌螺蛳粉购买箱，根据总价单价数量，结合总价不超过9200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据题意列方程组得 解之得 答：A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为100元和80元． （2）设A品牌螺蛳粉购买m箱，则B品牌螺蛳粉购买箱， 依题意得 答：A品牌螺蛳粉最多可购买60箱． 9．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元 (2)可购买的羽毛球拍最多是44副 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元，根据“购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，利用总价单价数量，结合总价不超过4340元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需要元，一副羽毛球需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元； （2）解：设购买副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为44． 答：可购买的羽毛球拍最多是44副． 10．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 11．（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】(1)A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 (2)至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； （2）解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式的性质和一元一次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的概念 1 题型二、不等式的解集 1 题型三、不等式的性质 2 题型四、一元一次不等式的定义 2 题型五、一元一次不等式的解集 2 题型六、一元一次不等式的整数解 3 题型八、求一元一次不等式解的最值 6 题型九、一元一次不等式的实际问题 8 题型十、一元一次不等式的几何问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的概念 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 题型二、不等式的解集 1．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 2．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型三、不等式的性质 1．已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．若，则下列不等式的变形中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七下·浙江嘉兴·期末）已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四、一元一次不等式的定义 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 题型五、一元一次不等式的解集 1．（2026·陕西西安·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 5．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 6．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 7．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 题型六、一元一次不等式的整数解 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 2．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 4．不等式的自然数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．不等式的正整数解为 ． 8．不等式的非负整数解为 ． 9．（25-26七下·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为 ． 10．已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 11．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 12．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 13．求不等式的正整数解． 题型七、数轴上表示不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 4．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为 ． 5．请用不等式表示如图的解集． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 6．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 7．解不等式，并把它的解表示在数轴上． 8．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 9．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 题型八、求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 2．（23-24七年级下·广西贺州）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 3．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题 的关键． 5．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 6．（24-25七下·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 7．（24-25七年级下·河北唐山）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 8．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 9．（23-24七下·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 题型九、一元一次不等式的实际问题 1．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 2．某地区两类专车的打车方式： 星驰专车 安驰专车 里程费 元千米 元千米 时长费 元分钟 元分钟 远途费 元千米（超过千米部分） 无 起步价 无 元 星驰专车：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米加收元． 安驰专车：车费由里程费、时长费、起步价三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长按行车的实际时间计算；起步价与行车距离无关． 解决问题：（假设行车过程没有停车等时，且平均车速为千米分钟） (1)小明在该地区出差，乘车距离为千米，如果小明使用星驰专车，需要支付的打车费用为_____元； (2)小强在该地区从甲地乘坐安驰专车到乙地，一共花费元，求甲乙两地距离是多少千米？ (3)两类专车为了竞争客户，分别推出了优惠方式，星驰专车对于乘车路程在千米以上（含千米）的客户每次收费立减元；安驰打车车费折优惠．对采用哪一种打车方式更合算提出你的建议． 题型十、一元一次不等式的几何问题 1．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的最大整数解是（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·一模）一家游泳馆的游泳收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元 A类 300 40 B类 500 35 C类 800 30 例如，购买A类会员卡，一年内游泳40次，消费元，小明非常喜欢游泳运动，他每年游泳的次数介于50～55次之间，则他到该游泳馆办卡最划算的方式应是（    ）． A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 4．（2025·吉林长春·二模）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 5．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 6．（2024·广东·模拟预测）某次知识竞赛共有30道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣4分，若小刚希望总得分不少于80分，则他至少需答对 道题． 34．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件． 7．（2024·广东·模拟预测）某种商品的进价为350元，销售时标价500元，商家准备打折销售，但要保持利润率不低于10%，则至多可打 折． 8．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A，B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买2箱A品牌螺蛳粉和3箱B品牌螺蛳粉共需要440元，购买1箱A品牌螺蛳粉和4箱B品牌螺蛳粉则需要420元． (1)求A，B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ (2)小罗计划购买A，B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？ 9．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 10．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 11．（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 1 / 6 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