专题01 平方根和立方根（专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题01 平方根和立方根 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求算术平方根 1 题型二、利用非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 2 题型四、与算术平方根有关的规律探索 2 题型五、算术平方根的实际应用 3 题型六、求一个数的平方根 3 题型七、求代数式的平方根 4 题型八、已知平方根求这个数 4 题型九 利用平方根解方程 5 题型十 与立方根有关的计算 5 题型十一 与立方根有关的规律探索 6 题型十二 立方根的实际应用 7 题型十三 算术平方根和立方根的综合应用 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求算术平方根 1．已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·西藏那曲·一模）（    ） A． B． C． D． 题型二、利用非负性解题 1．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 题型三、估计算术平方根的取值范围 1．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 2．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 3．估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 题型四、与算术平方根有关的规律探索 1．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 2．小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型五、算术平方根的实际应用 1．（24-25七下·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 2．（24-25七下·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 3.（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 题型六、求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·湖北武汉）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 2．的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 3．下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 题型七、求代数式的平方根 1．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 3．（24-25七下·四川巴中）若，求的平方根是 ． 题型八、已知平方根求这个数 1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是 ． 2．（24-25七下·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为 3．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 5．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 6．（24-25七下·江西吉安·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2， (1)求，的值． (2)求的平方根． 题型九 利用平方根解方程 1．下列各式中的值． (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·内蒙古阿拉善·期中）解方程 3．解方程： (1)． (2)． 题型十 与立方根有关的计算 1．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．体积为2的正方体的边长为（    ） A．2的平方根 B．2的立方根 C．8的立方根 D．2的算术平方根 3．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 4．（24-25七下·四川成都）若，则的立方根是 ． 5．（21-22七年级下·湖北武汉）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 7．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 题型十一 与立方根有关的规律探索 1．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） a 1 1000 1000000 1 10 100 2．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 题型十二 立方根的实际应用 1．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 2．【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 整数 3．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 题型十三 算术平方根和立方根的综合应用 1．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 3．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 6．（23-24七年级下·山东德州·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 7．（23-24七年级下·广西贺州·期中）若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 8．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 9．（24-25七年级下·广东湛江·月考）已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根． 10．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根． 12．（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 3．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 5．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 6．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看 到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 7．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 8．（1）观察下列各式： ，则 ，则 （2）按照你发现的规律填空： ____________________________________，则____________． （3）猜想等于多少？ （4）请你用含有自然数的式子写出你发现的规律． 9．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根和立方根 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求算术平方根 1 题型二、利用非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 3 题型四、与算术平方根有关的规律探索 4 题型五、算术平方根的实际应用 6 题型六、求一个数的平方根 9 题型七、求代数式的平方根 10 题型八、已知平方根求这个数 11 题型九 利用平方根解方程 14 题型十 与立方根有关的计算 15 题型十一 与立方根有关的规律探索 20 题型十二 立方根的实际应用 22 题型十三 算术平方根和立方根的综合应用 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求算术平方根 1．已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【详解】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 2．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 3．（2024·西藏那曲·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是熟练应用定义解题；根据定义解题即可，注意算术平方根的结果为非负数．　 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 题型二、利用非负性解题 1．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 2．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值与算术平方根的非负性，熟练掌握非负性是解题的关键；利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均非负，它们的和为零则每个部分都为零，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴； 故选C． 题型三、估计算术平方根的取值范围 1．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 3．估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 题型四、与算术平方根有关的规律探索 1．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 2．小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 3．若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 题型五、算术平方根的实际应用 1．（24-25七下·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 2．（24-25七下·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 3.（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 题型六、求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·湖北武汉）16的平方根是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求解即可：若，则，x是a的平方根，注意正数的平方根有2个． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 2．的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 3．下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，理解相关概念是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的算术平方根是，正确，不符合题意； B、的平方根是，是其中一个平方根，正确，不符合题意； C、，36的平方根是，选项说平方根是不全面，错误，符合题意； D、，的平方根是，正确，不符合题意． 故选：C． 题型七、求代数式的平方根 1．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 3．（24-25七下·四川巴中）若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 题型八、已知平方根求这个数 1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 2．（24-25七下·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 3．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 5．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 6．（24-25七下·江西吉安·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2， (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的算术平方根是3，的立方根是2，得，，解得，，即可作答． （2）先把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2 ∴，， 解得， 即， 解得， （2）解：由（1）得，； ∴， 则的平方根是， 的平方根为． 题型九 利用平方根解方程 1．下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 2．（22-23七年级下·内蒙古阿拉善·期中）解方程 【答案】， 【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，然后利用平方根求解即可． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 3．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 题型十 与立方根有关的计算 1．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 2．体积为2的正方体的边长为（    ） A．2的平方根 B．2的立方根 C．8的立方根 D．2的算术平方根 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根的定义，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 正方体的体积公式为边长立方，已知体积为，故边长为的立方根. 【详解】解：∵ 正方体体积 ，且， ∴ ， ∴（的立方根）. 故选：B. 3．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 4．（24-25七下·四川成都）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 5．（21-22七年级下·湖北武汉）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的意义，算术平方根的意义，代入消元法解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据立方根的意义，算术平方根的意义，得到关于，的方程组，求得，的值，再代入求解后求出其平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了立方根的运算，熟练掌握开立方的运算方法是解题的关键． （1）（2）（4）（5）先进行开立方运算，然后解方程即可； （3）先移项再开立方进行运算即可； （6）（7）（8）（9）先将系数化为，然后进行开立方进行运算即可 （10）先移项然后将系数化为，再开立方进行运算即可． 【详解】（1）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （2）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （3）解：移项，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （4）解：开立方，得 去括号，得 移项，得 整理，得 （5）解：开立方，得 系数化为，得 移项，得 整理，得 （6）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （7）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （8）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （9）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （10）解：移项，得 系数化为1，得 开立方，得 移项，得 整理，得 7．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 题型十一 与立方根有关的规律探索 1．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 2．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二 立方根的实际应用 1．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 2．【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）． 【分析】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． [知识储备]根据有理数乘方即可求解； [应用]根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解． 【详解】解：[知识储备] ∵，，，，，； 补全表格如下： 整数 故答案为：，，，，，； [应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是； 故答案为：两，，，， （）因为，， 所以的立方根是两位数， 因为的个位上的数是，， 所以的立方根个位上的数是， 如果划去后面的三位数，得到数， 而，， 所以的立方根十位上的数是， 所以的立方根为． 3．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 题型十三 算术平方根和立方根的综合应用 1．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 3．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·山东德州·月考）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 7．（23-24七年级下·广西贺州·期中）若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是4的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 9．（24-25七年级下·广东湛江·月考）已知为81的算术平方根，为b的立方根，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算，再根据平方根的定义计算平方根． 【详解】解：∵已知为81的算术平方根，为b的立方根， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根为． 10．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的概念，掌握这些概念是解题的关键．根据是的立方根，是14的算术平方根，求出x、的值，代入求值即可得结果． 【详解】解：是的立方根，是14的算术平方根， ， 的平方根为． 12．（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 1．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 2．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 3．（2025·山东淄博·二模）农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 4．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·河南驻马店·三模）若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 【详解】∵的值是有理数，且为最小的偶数， ∴，此时是有理数， 故答案为：． 6．（2025·河南安阳·模拟预测）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看 到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 7．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 8．（1）观察下列各式： ，则 ，则 （2）按照你发现的规律填空： ____________________________________，则____________． （3）猜想等于多少？ （4）请你用含有自然数的式子写出你发现的规律． 【答案】（2）；；；；（3）；（4） 【分析】本题考查算术平方根的性质和数字的变化规律． （2）根据算术平方根的概念进行计算； （3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果； （4）根据给出各式的计算过程和结果，总结规律． 【详解】解：（2），即， 故答案为：；；；； （3）猜想：， 理由：，即； （4）规律：． 理由：， 即． 9．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 【答案】(1)伪；见解析 (2)16两 (3)见解析 【分析】（1）计算时，的值，根据四位数字，确定对应的欢子解答即可． （2）根据银票的密押为“仁安仁昌”，得到对应的四位数字是3732，于是得到，求得，结合银票金额在50两以内且为整数，解答即可． （3）答案不唯一，只要能增加保密性即可． 本题考查了求代数式的值，求平方根，熟练掌握求代数式的值，平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则. 当时，. 对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符， 故该银票为假. （2）银票金额在50两以内， . 由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732， . 解得． 由材料可知且为整数， 这张银票金额的末两位数为16. 银票金额在50两以内， 这张银票的金额是16两. （3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $