微专题01 平方根与立方根的综合（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题01 平方根与立方根的综合 题型一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求. 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 5．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）的相反数（   ） A． B．2 C． D． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下面的说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是2 C．9的算术平方根是 D．的立方根是 7.（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 题型二 已知一个数的平方根或立方根，求这个数 求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根. 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的一个平方根，则 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 8．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 题型三 算术平方根的非负性的应用 本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题. 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 7．（24-25七年级下·广东东莞·月考）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型四 利用平方根与立方根的定义解方程 先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根或立方根的定义求未知数的值. 1．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x的值： (1) (2) 6．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）求下列各式中的x (1) (2) 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2) ． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 题型五 与算术平方根有关的规律探究题 1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. 2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律. 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024春•甘井子区期末）已知1.414，4.472，那么（　　） A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2 4．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 6．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 7．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3) 用语言概括你所发现的规律． 8．根据下表回答下列问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 （1）289的算术平方根是 　 　，　 　； （2）　 　，275.56的平方根是 　 　； （3）　 　，　 　； （4）若（x＞0），则　 　（用含a的式子表示）． 题型六 与立方根有关的规律探究题 利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 1．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 3．（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知1.2639，2.7629，则　 　． 5．如果，则a＝　 ． 6．若x，y，则x与y的关系是 　 　． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 题型七 算术平方根在实际问题中的应用 算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明. 1．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·重庆南岸·期末）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（　　） A． B．3 C． D．6 5．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 7．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 题型八 立方根在实际问题中的应用 给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 1．将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 4．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2， 你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面 积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 6． 某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长． 7．小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 题型九 平方根与立方根的综合问题 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 1．（2024春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2ab的立方根． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 5．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 7．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 平方根与立方根的综合 题型一 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求. 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根，由算术平方根的定义可知，由立方根的定义可知，所以的立方根是. 【详解】解：，， 的立方根是. 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）的相反数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的立方根等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先计算出的值，再依据相反数的定义求出其相反数． 【详解】解：∵， ∴， ∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴2的相反数是， ∴的相反数是， 故选：A． 6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下面的说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是2 C．9的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，根据相关定义逐一分析选项即可． 【详解】解：∵负数没有平方根，是负数， ∴A选项错误； ∵，4的平方根是， ∴B选项错误； ∵算术平方根为非负数，9的算术平方根是3， ∴C选项错误； ∵， ∴的立方根是，D选项正确． 故选：D． 7.（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根： (2)算术平方根：；平方根： (3)算术平方根：；平方根： (4)算术平方根：；平方根： (5)算术平方根：；平方根： 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的非负平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，由于它不是完全平方数，其算术平方根与平方根需用根号表示； （5）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是； （5）解：算术平方根：；平方根：． 8．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 【分析】根据立方根的定义计算． 【详解】解：（1）原式＝3； （2）原式＝0.2； （3）原式＝﹣9； （4）原式． 【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 题型二 已知一个数的平方根或立方根，求这个数 求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根. ． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 4．（2024春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【答案】C． 【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵a2＝16，2， ∴a＝±4，b＝﹣8． ∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4； 当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的一个平方根，则 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，若一个数是的平方根，则它的平方等于． 【详解】解：由题意，是的一个平方根， 因此 ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 【答案】49或441 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【详解】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 8．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 题型三 算术平方根的非负性的应用 本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适当的方法，解答问题. 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 2．（2025九年级·全国·专题练习）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根的概念，整体思想，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：， ①－②，得， 的平方根是． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的非负性，代数式求值， 根据被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． 5．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 【详解】解： ，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值非负性、算术平方根非负性、非负数和为零的条件、解方程、代数式求值、乘方运算等知识，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 7．（24-25七年级下·广东东莞·月考）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题主要考查了平方根以及算术平方根，正确得出m，n的值是解题关键． （1）直接利用算术平方根以及平方的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴的算术平方根为． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 题型四 利用平方根与立方根的定义解方程 先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根或立方根的定义求未知数的值. 1．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 6．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握一个正数有两个平方根． （1）首先两边同时除以4，再两边直接开平方； （2）首先两边直接开立方得：，再解方程． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是掌握利用平方根和立方根求方程的解． （1）利用开平方求方程的根即可； （2）利用立方根求方程的根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 与算术平方根有关的规律探究题 1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. 2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律. 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 3．（2024春•甘井子区期末）已知1.414，4.472，那么（　　） A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2 【答案】A． 【分析】根据题意，利用算术平方根性质判断即可确定出结果． 【详解】解：∵4.472， ∴44.72． 故选：A． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解本题的关键． 4．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 6．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 7．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 8．根据下表回答下列问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 （1）289的算术平方根是 　 　，　 　； （2）　 　，275.56的平方根是 　 　； （3）　 　，　 　； （4）若（x＞0），则　 　（用含a的式子表示）． 【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案； （2）根据图表和平方根的定义即可得出答案； （3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案； （4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案． 【详解】解：（1）由表中的数据可得， 289的算术平方根是17，16.4， 故答案为：17，16.4； （2）由表中的数据可得， ±16，275.56的平方根是±16.6， 故答案为：±16，±16.6； （3）由表中的数据可得， 159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8， ∴1.61，168， 故答案为：1.61，168； （4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍， 若（x＞0），则10a（用含a的式子表示）． 故答案为：10a． 【点睛】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键． 题型六 与立方根有关的规律探究题 利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 1．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 4．已知1.2639，2.7629，则　 　． 【答案】﹣0.12639． 【分析】直接利用立方根的性质结合已知数据得出答案． 【解答】解：∵1.2639， ∴ ≈﹣0.12639． 故答案为：﹣0.12639． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确掌握相关定义是解题关键． 5．如果，则a＝　 ． 【答案】68800． 【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位得出即可． 【详解】解：∵， ∴a＝68800． 故答案为：68800． 【点睛】本题考查了立方根的应用，关键是能得出规律（被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位）． 6．若x，y，则x与y的关系是 　 　． 【答案】 【分析】根据立方根的性质即可求解． 【详解】解：x ＝10， ∴y， ∴x＝10y， 故答案为：x＝10y． 【点睛】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 题型七 算术平方根在实际问题中的应用 算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明. 1．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键． 先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长． 【详解】解：∵每个小方格边长为1, ∴阴影部分面积， ∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等， ∴新正方形面积为5， ∴新正方形边长为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆南岸·期末）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，估算算术平方根的取值范围．先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去即可． 本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键． 【详解】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 4．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的应用，由题意可得大正方形的面积为6，进而根据算术平方根的意义即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=10，再开方，即可得出答案． 【详解】解：根据图形可得：大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=， 大正方形的边长为． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 【答案】20 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 7．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 题型八 立方根在实际问题中的应用 给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 1．将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】利用立方根定义求出棱长即可． 【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为2（cm）， 故选：A． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 4．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是96cm2， 你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大665cm3，你能算出它的表面 积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【分析】根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【详解】解：96÷6＝16（cm2）， 4（cm）， 4×4×4＝64（cm3）， 64+665＝729（cm3）， 9（cm）， 9×9×6＝486（cm2）． 答：它的表面积是486cm2． 【点睛】此题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 6．某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（cm）， 则原来正方体钢铁的棱长为 cm． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 7．小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解． 【详解】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3﹣33＝189， ∴a3＝189+27＝216， a3＝216＝63 ∴a＝6cm． 【点睛】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 题型九 平方根与立方根的综合问题 先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 1．（2024春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2ab的立方根． 【答案】﹣3． 【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，得2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝36， 解得a＝13，b＝﹣2， 所以﹣2ab＝﹣2×13（﹣2）＝﹣27， ∴﹣2ab的立方根是﹣3． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 5．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 7．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 8．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $