精品解析：湖北襄阳市保康县2025-2026学年上学 期数学八年级期末素质水平测试试题

保康县2025年秋季素质水平测试 八年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效，作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 使分式有意义的x的取值范围是（   ） A. x≠2 B. x≠-2 C. x>-2    D. x<2 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 7. 如果与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 8. 如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡中对应横线上． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 12. 写出一个使分式的值为负数的x的值_______． 13. 如图，中，，过点作交于点．若，则______度． 14. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为____________． 15. 如图，中，，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连，下列结论：①， ②，③，④其中正确结论的序号为_______（答案不全可适当得分，有错误答案不得分）． 三、解答题（本大题共9道小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，求出分式的值． 18. 综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间距离． 19. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 如图，在中，，． （1）作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）结合（1）中作图，连接，求的度数． 21. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式大小（用“>、=、<”填空）： ①若，则_____； ②若，则_____． 【类比运用】 （2）图①是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加；到如图②所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小，并说明理由． 延伸运用】 （3）已知取任意实数，试比较代数式与的大小，并说明理由． 22. 两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 23. 如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，以为边作等边，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足，为线段上的一点． （1）如图1，写出点、的坐标； （2）如图2，若为的中点，点、分别是、边上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为，则在、运动的过程中，的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围：若不改变，求该面积的值； （3）如图3，若为线段上异于、的任意一点，过点作，交、分别于、两点，为上一点，且，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保康县2025年秋季素质水平测试 八年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效，作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 使分式有意义的x的取值范围是（   ） A. x≠2 B. x≠-2 C. x>-2    D. x<2 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得：x+2≠0，∴x≠－2．故选B． 3. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，识别出支架的三角形结构并理解其几何特性是解题的关键． 【详解】解：由题意，应用这种方法的几何原理是：三角形具有稳定性．   故选：A． 4. 如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】∵， ∴ A．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意； B．根据，AD=AD和能推出△ABD≌△ACD（AAS），故本选项不符合题意； C．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意； D．根据，和AD=AD不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 6. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答即可. 【详解】解：∵AD是BC上的中线， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC， ∵BE是△ABD中AD边上的中线， ∴S△ABE=S△BED=S△ABD， ∴S△ABE=S△ABC， ∵△ABC的面积是16， ∴S△ABE=×16=4． 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键． 7. 如果与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 8. 如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 9. 数形结合是初中数学重要的思想方法，下图就是用几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　） A. a﹣b＝（a+b）（a﹣b） B. （a﹣b）＝a﹣2ab+b C. a（a﹣b）＝a﹣ab D. （a﹣b）＝a﹣b 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出图1和图2中的阴影面积，二者相等，比较各选项，即可求解. 【详解】图1中阴影部分面积等于大正方形的面积a2，减去小正方形的面积b2，即a2﹣b2； 图2中阴影部分为长等于（a+b），宽等于（a﹣b）的长方形，其面积等于（a+b）（a﹣b）， 二者面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 比较各选项，可知只有A符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键． 10. 数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（ ） A. 124824 B. 241248 C. 122448 D. 482124 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡中对应横线上． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 写出一个使分式的值为负数的x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，根据两数相除同号得正，异号得负列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，， ∴， ∴， ∴x值可以是（答案不唯一）． 故答案：（答案不唯一）． 13. 如图，中，，过点作交于点．若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，结合进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，垂线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 14. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”k为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”．熟练掌握新定义，等腰三角形定义，分类讨论，是解决问题的关键． 记为等腰三角形，周长为13，，当为腰时，则底边为，“优美比”；当为底边时，则腰为，“优美比”． 【详解】如图，记为等腰三角形，周长为13，， 当为腰时， 则底边为， ，符合， 此时，“优美比”； 当为底边时， 则腰为， ，符合， 此时，“优美比”． ∴k为或． 故答案为：或． 15. 如图，中，，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连，下列结论：①， ②，③，④其中正确结论的序号为_______（答案不全可适当得分，有错误答案不得分）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断①； ②根据证明，即可判断②； ③根据证明可判断③； ④根据证明可判断④． 详解】解：∵等腰中，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 故②正确； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9道小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的积的乘方，再利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． （2）先利用完全平方公式展开，利用平方差公式计算，再去括号合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 先化简，再求值：，其中，求出分式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 综合与实践．某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量池塘两岸相对的两点的距离 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 - 实施过程 1．池塘外取的垂线上的两点，使； 2．再画出的垂线，使与，在一条直线上； 3．测量出的长； 1．池塘外取的垂线上的点； 2．再画出的垂线，使与在一条直线上，且； 3．测量出的长； 测量数据 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 1．图上所有点均在同一平面内； 2．为不可直接到达之地，离池塘边有一定距离； 请你从以上两种方案中任选一种，并求出间的距离． 【答案】A，B间的距离是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是正确理解题意，找出全等三角形的判定的元素． 方案一证明即可；方案二证明即可． 【详解】解：选择方案一： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是； 选择方案二： 由方案可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ A，B间的距离是． 19. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析，； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质画出，再由图形即可得出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，和点连接，交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ， 由图可得：点坐标， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求 ． 20. 如图，在中，，． （1）作的垂直平分线交于点，垂足为；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （2）结合（1）中作图，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图：作线段的垂直平分线，三角形内角和定理及等腰三角形的性质 （1）利用尺规作图，以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即为垂直平分线， 交于点，垂足为； （2）先根据已知条件求出的度数，再由垂直平分线的性质得到，从而得出，最后用求解． 【小问1详解】 如图，直线即为所求作的图形． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 21. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）： ①若，则_____； ②若，则_____． 【类比运用】 （2）图①是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加；到如图②所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小，并说明理由． 【延伸运用】 （3）已知取任意实数，试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用； （1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ②用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （3）用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∴． 故答案为：． ②∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的边长为， ∴新正方形的面积， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： ∵ ∴ ∴． 22. 两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合型机器人搬运900所用时间与B型机器人搬运600所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值（即型机器人每小时搬运化工原料的质量），再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量； （2）设增加个型机器人，利用工作总量工作效率工作时间，结合5个小时的工作总量不低于3000，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60． 【小问2详解】 设增加个型机器人， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴最小值为7， ∴至少要增加7个型机器人． 23. 如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，以为边作等边，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）证明，可得结论． （3）延长到R，使得，连接．先证明，进而证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 证明：如图1中， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2中， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：结论：． 理由：延长到R，使得，连接． ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足，为线段上的一点． （1）如图1，写出点、的坐标； （2）如图2，若为的中点，点、分别是、边上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为，则在、运动的过程中，的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围：若不改变，求该面积的值； （3）如图3，若为线段上异于、的任意一点，过点作，交、分别于、两点，为上一点，且，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）不改变，面积为 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值，偶次幂的非负性即可求解； （2）如图：连接，可得是等腰直角三角形，再证，得到，由，即可求解； （3）过点作，延长交于点，可证，得到，，再证，即可求解． 【小问1详解】 解：、满足， ，， ， 点，点； 【小问2详解】 解：如图：连接， ，， 是等腰直角三角形，， 点P是中点， ，， 点、分别是、边上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下， 如图：过点作，延长交于点， ，， ，， ，且，， ， ，， ，， ， ，， ，且，， ， ，且， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $