专题05 一元二次方程的实际应用建模（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题05 一元二次方程的实际应用建模 目录 典例详解 类型一、增长率与传播问题 类型二、面积与几何问题 类型三、利润与方案优化问题 压轴专练 类型一、增长率与传播问题 1．常见模型 ① 平均增长率（降低率）问题：（为初始量，为增长率，为两次变化后的量）； ② 传染问题：或（为每轮传染人数，为两轮后总人数）； ③ 复利问题：本金、利率、期数的关系。 2．建模步骤 ① 审题，明确初始量、变化率、变化次数、最终量； ② 设未知数（通常设增长率为）； ③ 根据等量关系列方程； ④ 解方程，取舍不符合实际的解； ⑤ 作答。 【重要性质】 传播问题的关键是“每轮新传染的人数”与“累积总人数”的区别。 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 变式1-1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 类型二、面积与几何问题 1．常见题型 ① 矩形面积问题：已知长宽关系及面积，求长和宽； ② 边框/道路问题：矩形四周加等宽边框或修等宽道路，求宽度； ③ 围栏问题：用一定长度的篱笆围成矩形，求边长。 2．建模要点 ① 根据题意画出草图，标注已知量和未知量； ② 找出几何中的等量关系（面积公式、周长公式、勾股定理等）； ③ 设未知数，列方程； ④ 解方程，检验解是否符合几何意义（边长>0）； ⑤ 作答。 【重要性质】 ① 面积问题中，要注意单位统一； ② 道路问题常需用“总面积 - 道路面积 = 剩余面积”或“平移法”列式； ③ 几何问题解出的负值或零值通常要舍去。。 例2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为 ．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为 ． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9块矩形地，求小路的宽度． 变式2-3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 类型三、利润与方案优化问题 1．常见模型 ① 单件利润 × 销量 = 总利润：单件利润 = 售价 - 进价，销量随售价变化； ② 降价促销问题：每降价元，销量增加件，求最大利润或特定利润下的售价； ③ 方案选择问题：比较不同方案下的利润，选择最优方案。 2．建模步骤 ① 设未知数（通常设售价或降价额）； ② 用含未知数的式子表示单件利润和销量； ③ 根据总利润公式列方程； ④ 解方程，检验是否符合实际（如售价不能低于成本）； ⑤ 若求最值，需结合二次函数性质（在后续二次函数章节系统学习）。 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 变式3-1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）水果店销售某种进口水果，平均每天可售出100千克，每千克盈利12元．为了扩大销量，水果店进行优惠活动，经一段时间销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克． (1)若销售单价降低元，则平均每天销售________千克； (2)在让顾客得到更多实惠的前提下，若水果店每天销售利润要达到1400元，则该种水果销售单价应降低多少元？ 变式3-2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ (2)按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 变式3-3．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． (1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． (2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒80元进行销售，每天可售出100盒；每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为50元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利2000元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某农户利用一面长度为的住房墙，用长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在垂直于住房墙的边留有一个宽的门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 7．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 8．（11-12九年级上·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 9．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 10．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）吉祥物“徽州福娃”的设计灵感源自徽州传统木雕与剪纸艺术，整体造型融合歙砚纹理与徽派建筑马头墙元素，以黛青与朱红为主色调，憨态可掬的形象寄托了“徽风送福，皖美吉祥”的美好寓意，上市后广受欢迎． (1)据统计，合肥某电商平台2025年7月份“徽州福娃”销售量为6万件，2025年9月份销售量达到8．64万件，若这两个月的月平均增长率保持不变，求月平均增长率； (2)黄山某实体店购进“徽州福娃”每件成本为70元，最初定价每件110元时，每天可售出30件．经市场调研发现，售价每降低1元，每天可多售出2件．为助力文旅推广并快速减少库存，商家决定降价促销，若要使每天销售利润达到1500元，每件售价应降低多少元？ 14．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）近年来以创建文旅示范村为契机，某地大力发展文旅产业，先后投资建设了“瓜果种植体验”“草莓采摘基地”“水塘钓鱼体验”“亲子厨房体验”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年该村村集体收入从2022年的500万元升至605万元． (1)求该村2022年到2024年村集体收入的年平均增长率； (2)该村还积极创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某快餐店9月1日的外卖收入为6万元，随着订餐人数的不断增多，9月3日的外卖收入达到万元． (1)求从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率； (2)随着外卖的爆火，快餐店新设计了一款套餐进行销售，已知新设计的每份套餐的生产成本为元，经过一段时间的销售后发现：当该款套餐的售价定为元/份时，平均每天售出份；售价每份每降低1元，平均每天多售出3份．现快餐店计划下调该套餐的售价，使平均每天的销售利润为元． ①为了推广该款新套餐，且尽可能多的增大销量，求下调后每份套餐的售价； ②试探究该套餐平均每天能否获利元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的实际应用建模 目录 典例详解 类型一、增长率与传播问题 类型二、面积与几何问题 类型三、利润与方案优化问题 压轴专练 类型一、增长率与传播问题 1．常见模型 ① 平均增长率（降低率）问题：（为初始量，为增长率，为两次变化后的量）； ② 传染问题：或（为每轮传染人数，为两轮后总人数）； ③ 复利问题：本金、利率、期数的关系。 2．建模步骤 ① 审题，明确初始量、变化率、变化次数、最终量； ② 设未知数（通常设增长率为）； ③ 根据等量关系列方程； ④ 解方程，取舍不符合实际的解； ⑤ 作答。 【重要性质】 传播问题的关键是“每轮新传染的人数”与“累积总人数”的区别。 例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、含乘方的有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为，根据到10月份累计进馆570人次建立方程，解方程即可得； （2）结合（1）的结论，先求出10月份的进馆人次，再求出11月份的进馆人次，与400人次进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．理由如下： 由（1）已得：进馆人次的月平均增长率为， ∴10月份的进馆人次为（人次）， ∴11月份的进馆人次为（人次）， ∵因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，且， ∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次． 变式1-1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查增长率的实际应用和代数式的运算，解题关键是设1月利润为基础量，通过表示出2月、3月利润，推导3月相对1月的增长关系 ． 设1月份利润为1，计算2月份增长后的利润，再计算3月份下降后的利润，最后求3月份相对于1月份的增长率． 【详解】解：设1月份利润为1（单位利润），根据题意得 2月份利润为， 3月份利润为 3月份相对于1月份的增长率为 故选：D． 变式1-2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病． (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？ (2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？ 【答案】(1)每只发病的鸡平均每天传染7只鸡 (2)若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每只发病鸡平均每天传染只鸡，根据“第一天发现3只鸡发病．到第三天共有192只鸡发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3天后鸡的发病数天后鸡的发病数，即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每只发病鸡平均每天传染只鸡， 依题意，得：， 解得：， （不合题意，舍去）． 答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡． （2）解：（只），． 答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只． 类型二、面积与几何问题 1．常见题型 ① 矩形面积问题：已知长宽关系及面积，求长和宽； ② 边框/道路问题：矩形四周加等宽边框或修等宽道路，求宽度； ③ 围栏问题：用一定长度的篱笆围成矩形，求边长。 2．建模要点 ① 根据题意画出草图，标注已知量和未知量； ② 找出几何中的等量关系（面积公式、周长公式、勾股定理等）； ③ 设未知数，列方程； ④ 解方程，检验解是否符合几何意义（边长>0）； ⑤ 作答。 【重要性质】 ① 面积问题中，要注意单位统一； ② 道路问题常需用“总面积 - 道路面积 = 剩余面积”或“平移法”列式； ③ 几何问题解出的负值或零值通常要舍去。。 例2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为 m． 【答案】14 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和一元一次不等式，根据题意的等量关系列出方程是解题关键． 设，则，由矩形面积公式列出方程，解出x即可，同时要注意不能超过墙长． 【详解】解：设，则， 根据题意列方程得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，，     ∵墙长为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：14． 变式2-1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在等腰三角形中，，为边上的高，，点P从点A出发，以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点D出发，以的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为． （1）当时，的长为 ．（用含t的式子表示 （2）当时，若的面积恰好等于，则t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解． （1）根据点P的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出的长； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据点P、Q的运动速度和时间表示出、的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：（1）已知点P从点A出发，速度是，运动时间为， ∴， 又∵为等腰三角形，为边上的高， ∴点D为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）当时，，， ∵， ∴中边上的高为， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 变式2-2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9块矩形地，求小路的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是通过平移小路，将分散的9块矩形地合并为一个大矩形，从而建立面积关系． 设小路的宽度为，将9块矩形地合并成长为、宽为的矩形；根据总面积列出方程；整理得到一元二次方程；求解方程并舍去不符合实际意义的根，得出小路宽度为． 【详解】解：设小路的宽度为，则9块矩形地可合并成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为． 变式2-3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程建模和图形面积的计算，找出与不规则图形相关联的规则图形，通过和差法将涉及的规则图形面积相加或相减，得到不规则图形的面积是解题关键． 砖面面积=原正方形面积-镂空部分的总面积，四个角的镂空分别是圆，中心镂空的是同半径的圆，因此圆的半径为，求出两个圆的面积，结合正方形面积列方程求解即可． 【详解】解：原正方形边长为x，长为， 四个角的镂空圆半径， 中心镂空圆的半径与四角镂空圆相同， 镂空部分的面积为， 砖面面积为， 可列方程． 故选：A． 类型三、利润与方案优化问题 1．常见模型 ① 单件利润 × 销量 = 总利润：单件利润 = 售价 - 进价，销量随售价变化； ② 降价促销问题：每降价元，销量增加件，求最大利润或特定利润下的售价； ③ 方案选择问题：比较不同方案下的利润，选择最优方案。 2．建模步骤 ① 设未知数（通常设售价或降价额）； ② 用含未知数的式子表示单件利润和销量； ③ 根据总利润公式列方程； ④ 解方程，检验是否符合实际（如售价不能低于成本）； ⑤ 若求最值，需结合二次函数性质（在后续二次函数章节系统学习）。 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 变式3-1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）水果店销售某种进口水果，平均每天可售出100千克，每千克盈利12元．为了扩大销量，水果店进行优惠活动，经一段时间销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克． (1)若销售单价降低元，则平均每天销售________千克； (2)在让顾客得到更多实惠的前提下，若水果店每天销售利润要达到1400元，则该种水果销售单价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)该种水果销售单价应降低5元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解答本题的关键． （1）根据“降价前平均每天可售出100千克，降价后销售单价每降低1元，平均每天可多卖出20千克，则销售单价降低元多售出千克”列出代数式即可； （2）设该种水果销售单价应降低元，则每千克盈利元，根据“利润=每千克的利润×销售量”列方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若销售单价降低元，则平均每天销售千克， 故答案为： ； （2）解：设该种水果销售单价应降低元，则每千克盈利元，平均每天销售千克．根据题意，得 ， 解得，． ∵要让顾客得到更多实惠， ∴． 答：该种水果销售单价应降低5元． 变式3-2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ (2)按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)若玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元 (2)该玩具店每天获利不能达到840元，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，则设每件玩具狗应降价x元，故每天售出件，结合玩具店每天要盈利750元进行列方程，再解方程，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种玩具狗每天获利840元，进行列方程，再整理，即可作答． 【详解】（1）解：设每件玩具狗应降价x元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 解得：，． 尽快减少库存， ． 即玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元； （2）解：按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元，理由如下： 设每件玩具狗应降价y元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 则， 方程无实数根． 故按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元． 变式3-3．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． (1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． (2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒80元进行销售，每天可售出100盒；每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为50元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利2000元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 【答案】(1) (2)每盒售价为90元． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理清题目中的数量关系是解答本题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，根据面积为列方程求解即可； （2）设每盒售价为元，则每盒利润为元，每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．则销售量为盒，根据盈利为2000元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为，根据题意得， ， 解得或（舍去）， 所以，宽是，长是， 所以该展牌的长； （2）解：设每盒售价为元，则每盒利润为元，根据题意得， ， 整理得，， 解得或， 因为比原价80元低，不合题意，舍去， 所以，每盒售价为90元． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．进馆人次的每天减少率为x，根据“第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次”，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每年的增长率为，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从万增长到万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量． 【详解】解：由题意，2022年充电桩数量为2．5万个，2024年达到3．6万个，设每年的增长率为， 两年间按相同增长率增长，可得方程：， 即， 解得：（负值舍去）； 即年增长率为20%； 2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：（万个）； 因此，2025年底充电桩总数预计达到万个； 故选：A． 二、解答题 3．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【答案】(1)该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为 (2)该企业能实现原定目标 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为，根据年和年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ， 该企业能实现原定目标． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． （2）根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为； （2）解：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 【分析】本题考查用代数式，一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， 故答案为：； （2）由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 6．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某农户利用一面长度为的住房墙，用长的篱笆围一个矩形菜园，为了方便进出，在垂直于住房墙的边留有一个宽的门，问能否围出一个面积为的矩形菜园？若能，求出该矩形菜园的长与宽；若不能，说明理由． 【答案】该菜园的长为8米，宽为7米 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是理解题意正确列出方程． 设为米，结合题意列出一元二次方程，求解后，结合一元一次不等式求出的取值范围即可得解． 【详解】解：设为米， 依题意得：， 解方程得：， ∵， ∴， ∴， 则当时，能围出一个面积为的矩形菜园． 答：能围出一个面积为的矩形菜园，该菜园的长为8米，宽为7米． 7．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 【答案】(1)； (2)通道的宽为． 【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． （1）结合图形列代数式表示即可； （2）结合图形，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【详解】（1）解：设通道的宽为，则； （2）解：根据题意得 ， 整理得， 解得 (不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 8．（11-12九年级上·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚的长为米，宽为米 (2)小路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． （2）解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 9．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 【答案】或后点P和点Q的距离是 【分析】作交于E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 【详解】解：过点P作交于E．则， 设运动时间为t秒， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形和是矩形， ∴，，， 在中，， 可得：， 解得． 答：P、Q两点从出发开始或后，点P和点Q的距离是． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个； （2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， …… ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， 故答案为： ， （2）存在，理由如下： 设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的运用，解一元二次方程，分别写出和窗框面积的代数式是解题的关键． （1）根据窗框的总长度计算即可； （2）根据题意，列关于x的一元二次方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 13．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）吉祥物“徽州福娃”的设计灵感源自徽州传统木雕与剪纸艺术，整体造型融合歙砚纹理与徽派建筑马头墙元素，以黛青与朱红为主色调，憨态可掬的形象寄托了“徽风送福，皖美吉祥”的美好寓意，上市后广受欢迎． (1)据统计，合肥某电商平台2025年7月份“徽州福娃”销售量为6万件，2025年9月份销售量达到8．64万件，若这两个月的月平均增长率保持不变，求月平均增长率； (2)黄山某实体店购进“徽州福娃”每件成本为70元，最初定价每件110元时，每天可售出30件．经市场调研发现，售价每降低1元，每天可多售出2件．为助力文旅推广并快速减少库存，商家决定降价促销，若要使每天销售利润达到1500元，每件售价应降低多少元？ 【答案】(1)； (2)每件售价应降低15元． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意找到等量关系并列出方程是解题关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意列方程，解出x即可； （2）设售价降低y元，则每件利润为元，由题意可得，每天可售卖件，两者相乘等于总利润，解出y即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得，， 解得，，（不符合题意，舍去）． ， 答：月平均增长率是； （2）解：设每件售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件． 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 要快速减少库存， ∴． 答：每件售价应降低15元． 14．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）近年来以创建文旅示范村为契机，某地大力发展文旅产业，先后投资建设了“瓜果种植体验”“草莓采摘基地”“水塘钓鱼体验”“亲子厨房体验”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年该村村集体收入从2022年的500万元升至605万元． (1)求该村2022年到2024年村集体收入的年平均增长率； (2)该村还积极创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为 (2)每千克甜瓜应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； （2）解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）某快餐店9月1日的外卖收入为6万元，随着订餐人数的不断增多，9月3日的外卖收入达到万元． (1)求从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率； (2)随着外卖的爆火，快餐店新设计了一款套餐进行销售，已知新设计的每份套餐的生产成本为元，经过一段时间的销售后发现：当该款套餐的售价定为元/份时，平均每天售出份；售价每份每降低1元，平均每天多售出3份．现快餐店计划下调该套餐的售价，使平均每天的销售利润为元． ①为了推广该款新套餐，且尽可能多的增大销量，求下调后每份套餐的售价； ②试探究该套餐平均每天能否获利元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①下调后每份套餐的售价为元②该套餐平均每天不能获利元，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列方程，求解并保留符合题意的解即可； （2）①设下调了元，根据题意列方程求解并保留符合题意的解即可；②设下调了元该套餐平均每天能获利元，根据题意列方程，根据根的判别式得方程无实根，据此可解题目． 【详解】（1）解：从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率为x， ， ， (舍)， 答：日平均增长率为； （2）解：①设下调了元，根据题意得： ， ， ， ∵尽可能多的增大销量， ∴降价尽可能大， 故， 元， 答：下调后每份套餐的售价为元； ②设下调了元该套餐平均每天能获利元，根据题意得： ， ， ， ∴原方程无实根， 故该套餐平均每天不能获利元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $