第17章 一元二次方程 单元测试题2025-2026学年沪科版八年级数学下册

八年级数学下册 第17章《一元二次方程》 单元测试题 沪科版 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列说法中，正确的是 （　　） A．形如 的方程叫做一元二次方程 B．方程 不含常数项 C．一元二次方程中，一次项系数、常数项不能为0 D．是一元二次方程 2．某超市一月份的营业额为250万元，二月份、三月份每月的营业额逐月递增，到三月底，这三个月总营业额为 910万元.设营业额的月平均增长率为x，由题意可列方程为 (　　) A． B．250+250(1+2x)=910 C．250(1+2x)=910 D．250+250(1+x)+250(1+x)2=910 3．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（　　） A．2024 B． C．-2024 D． 4． 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　) A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 5．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 6． 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为x= 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 7．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 8．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示。 上述求解过程中，错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A． B． C． D． 11．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（　　） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 12．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为　 　（写出一个即可）. 14．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为　 　． 15． 刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数.例如，把(3，-2)放入其中，就会得到.现将实数对(m，-2m)放入其中，得到实数-1，则m的值是　 　. 16．如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于　 　． 三、解答题：本大题共7小题，共68分. 17．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：： 解：原方程可以化简为第一步 两边同时除以得第二步 系数化为，得第三步 任务： （1）李华的解法是不正确的，他从第　 　步开始出现了错误． （2）请完成这个方程的正确解题过程． 19．阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ， ， ， ， （1）请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． （2）方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． （3）请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征． 20．春节期间，九（1）班全体同学通过视频电话的方式互相拜年，如果该班共有 45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题。用点 A1 ， A2 ， A3 ，…， A45 分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学……第45名同学， 把通话次数 y 与该班级人数 x 之间的关系用以下图表表示： （1）填写图中第四个图中 y 的值为 　 　 ，第五个图中 y 的值为　 　。 通过探索发现，通话次数 y 与该班级人数 x 之间的关系式为　 　 。 （2）若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 21．世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志性的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件． （1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？ （2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格． 22．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为 （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 23． “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔•花拉子在解一元二次方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明. 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x，x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）2=4×35+22，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，1的矩形构造出图2的形状（面积为x2+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）2=（x2+2x）+12=35+1，从而得到一个正数解x=5. （1）图1中，小正方形的边长为 ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）； （2）【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x2+6x-55=0. ①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） ②请分别根据所画图形，求出方程x2+6x-55=0的一个正数解. （注：需要写出必要的推算过程） （3）【拓展应用】一般地，形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A选项 只有当a≠0时，该方程才是 一元二次方程，故A不正确； B选项 可变形为 ，该方程的常数项为-6，故B不正确； C选项对于一元二次方程2x2=0， 一次项系数、常数项均为0，故C不正确； D选项 可整理成：x2-4x+4=0， 是一元二次方程 ，故D正确； 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程的定义作答即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一月份的营业额为250万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为250×(1+x)， ∴三月份的营业额为250×(1+x)×(1+x)=250×(1+x)2， ∴可列方程为250+250×(1+x)+250×(1+x)2=910， 故答案为：D. 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=910万元，把相关数值代入即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024， ∴20242a+2024b+c=0， ∴ ∴ ∴是方程cx2+bx+a=0的实数根， 故答案为：B. 【分析】根据一元二次方程根的定义：将x=2024代入方程ax2+bx+c=0中，再两边同时除以2024，可得结论. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 此时 △ABC周长为 3+3+3=9； ②3为腰长，则其它两边长为3和b， 根据根与系数的关系可得：， 解得：（舍去）， 此时 △ABC周长为3+3+3=9. 故答案为：A . 【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。 5．【答案】A 【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025， ∴x=2024， 故答案为：A. 【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：将代入一元二次方程①，得， ∵， ∴两边同时除以，得， ∵一元二次方程②为， ∴是方程②的一个解， ∴甲同学的观点正确； ∵方程①②有公共解， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵上述求出的公共解与b的取值无关， ∴当时，方程①化为，方程②化为， ∴方程①的解为，方程②的解为， ∴此时公共解不是， ∴乙同学的观点错误； 综上所述，甲同学的观点正确，乙同学的观点错误， 故答案为：A. 【分析】将代入一元二次方程①中，再两边同时除以，得，然后结合一元二次方程②可知甲同学观点正确；由两方程有公共解，整理后得，然后利用等式的性质得，即可求出x的值为1或-1，但由于上述求出的公共解与b的取值无关，则举反例当时，求出方程①的解为，方程②的解为，此时可知公共解不是，据此可判断乙同学的观点错误. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴x-1=0或x-m=0， ∴x1=1，x2=m； ∵ ， ∴， ∴， ∴x1=，x2=， ∵两个方程的解相同， ∴， 整理得m-2n=-1. 故答案为：D. 【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵2x2+8x-4=0， ∴x2+4x=2， 则x2+4x+4=2+4，即(x+2)2=6， ∴， ∴，， ∴错误的是乙， 故答案为：B. 【分析】一次项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式，然后开平方即可得出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故答案为：B． 【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：方程，即的拼图如图： 中间小正方形的边长为：，其面积为：， 大正方形的面积为：，其边长为， ∴C选项所表示的图形符合题意， 故答案为：C． 【分析】 根据题意列出方程，即的拼图过程，由面积的关系可得出答案． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②符合题意； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③不符合题意； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。 12．【答案】A 【解析】【解答】解：设t秒后，， 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故答案为：A． 【分析】根据动点运动的路程表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可． 13．【答案】1（答案不唯一，k<） 【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ， ∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k>0， ∴k<， ∵1<， ∴k=1， 故答案为：1. 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则列方程为：. 故答案为：. 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据传染总人数＝（1+每轮传染中平均一人传染数x ）轮数n，代入数据即可得方程. 15．【答案】0或2 【解析】【解答】解：将实数对代入得到： 则 ∴， 故答案为：0或2 . 【分析】根据题意把将实数对代入得到：解此方程即可求解. 16．【答案】 【解析】【解答】解：中，，是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 17．【答案】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； （2）， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； （3）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ，，， ， 所以，； （4）设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 【解析】【分析】 （1）由题意，用一元二次方程的求根公式“”计算即可求解； （2）由题意，用因式分解法将一元二次方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解； （3）由题意，先将一元二次方程化为一般形式，再用公式法即可求解； （4）由题意，用换元法即可求解． （1）解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； （2）， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； （3）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ，，， ， 所以，； （4）设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 18．【答案】（1）二 （2）解：， ， ， 或， 所以，． 【解析】【解答】解：(1)他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二. 【分析】(1)第二步不符合等式的性质； (2)先移项得到3x(3x-1)+(3x-1)=0，再利用因式分解法把方程转化为3x-1=0或3x-1=0，然后解两个一次方程. 19．【答案】（1）解：由表格可知：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数， 一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数； （2）解：方程和是关联方程，理由如下： 方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程； 方程的根是：，， 方程的根是：，， 它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征； （3）证明：一元二次方程（，）的根是：， 它的关联方程的根是：， 它们的两个根对应互为相反数． 【解析】【分析】(1)通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征； (2)根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可； (3)利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可. 20．【答案】（1）10；15； （2）解：依题意，得： 化简，得：x2﹣x﹣600＝0， ∴（x﹣25）（x+24）＝0， ∴x﹣25＝0或x+24＝0， ∴x1＝25，x2＝﹣24（不合题意，舍去）． 答：该班共有25名女生． 【解析】 【解答】解：（1）由图可知：第四个图中 y的值为10， 第五个图中 y的值为15 通过探索发现，通话次数 y与该班级人数 x之间的关系式为 故答案为：10；15； 【分析】（1）根据表格信息进行判断即可求出答案. （2）将y=300代入关系式，解方程即可求出答案. 21．【答案】（1）解：设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为(2x+60)元，根据题意得： ， 解得：， （元）， 答：每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元． （2）解：调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （元）， 答：降价后的小摆件的价格为108元． 【解析】【分析】（1）设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为(2x+60)元，根据一个大摆件的价格一个小摆件的价格=420元，列出方程，解方程即可； （2）先表示出调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，然后根据单个的利润×销售数量=总利润及销售个大摆件的利润销量个小摆件的利润=20520元，列出方程，解方程即可． 22．【答案】解：（1）40 （2）将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，设裁剪小长方形的宽为2n，长为n， 则折成储物盒底面长=原纸板长-4n，底面宽=原纸板宽-2n， 由（1）知a=40cm， 故折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n， 当储物盒的底面积是时 ，有（60-4n）（40-2n）=832，化简得， 解得n=7或n=28， 当n=28时，折成储物盒底面长=60-4n=60-4x28=-52<0不符合题意，故n=28舍去，即n=7， 分析图5可知， 储物盒的高即为n，即h=n=7， 故体积； （3）（70-40）=10， ∴40×30=1200. ∴ 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为1200cm2 【解析】【解答】解： （1）根据素材1图2，储物区底面为长方形，尺寸为长40cm，宽30cm， 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，则设裁剪小长方形的宽为2m，长为m，则折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m， 因按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面， 则， 解得m=5，，符合题意， 故a=40； 故答案为：40. 【分析】 （1）根据裁剪比例设裁去小长方形的长，宽，得到折成长方形储物盒的长与宽，因为按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，故储物位置的底面尺寸与折成长方形储物盒尺寸相同，列式计算即可； （2）由（1）可知a=40cm，再根据裁剪比例设裁去小长方形的长，宽，得到折成长方形储物盒的长与宽， 根据储物盒的底面积是时 ，列方程求解n，分析图5可知储物盒的高即为n，故可求储物盒的体积； （3）利用底面是长方形，再利用长方形的面积公式进行计算，可求出储物盒的底面积 . 23．【答案】（1）解：2. 根据题意，把图2补充完整如下： （2）解：①根据题意作图如下： ② 第一种方法 ： 用四个边长分别为x，x+6，且面积为x（x+6）=55的矩形构造大正方形， 根据题意得：（x+6+x）2=4×55+62， 解得x1=5，x2=-11. 第二种方法 ： 根据题意得： （x+3）2=55+9， x2+6x+9=55+9， （x+3）2=64， 解得x1=5，x2=-11； （3）正数解 ，负数解. 【解析】【解析】（1）解：根据图形得小正方形的边长为：. ∴小正方形的边长为2. 故答案为：2. （3）解：如图，用四个边长分别为x，x+a，且面积为x（x+a）=b的矩形构造大正方形， 用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+x+a）2=4b+a2， 化简得： x2 + ax= b 解得： ， 【分析】（1） 四个矩形的边长为 x和 x+ 2 ， 根据图形得小正方形的边长为：，补充图形按材料方法补全即可. （2）先根据题意构建图形，再列方程（x+6+x）2=4×55+62和（x+3）2=55+9，分别解出即可. （3）先根据题意构建图形，根据图形列方程（x+x+a）2=4b+a2，解出即可. 学科网（北京）股份有限公司 $