数学二模模拟卷02（北京专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C[D] 9[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 10[A][B][C[D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14. 15. 的1 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(13分) A C B16 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) Y 098 012345678x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合交集的运算计算即可. 【详解】已知集合， 则. 故选：B 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：D. 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可得：，代入数据计算即可求解. 【详解】抛物线 的准线方程为 ， 根据抛物线的定义可得：，所以， 所以，代入，可得． 故选：A. 4．已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法，结合不等式的性质以及充要条件的定义即可求解. 【详解】， 若，则，又，则，因此，故， 若，则，由于，则，故，则， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 5．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（   ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为32，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得1，所以展开式中的系数是80. 故选：D. 6．若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题目条件设出直线方程，利用点到直线的距离和直线与圆的弦长公式计算即可求出直线斜率. 【详解】由题可得，直线斜率存在，故设斜率为， 直线的方程：，化为一般式：， 圆圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则直线截得圆的弦长，即， 代入得：， 化简计算得：， ，解得：. 故选：A 7．若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：C 8．根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过，此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度与开窗通风时长之间关系式为（）该室内初始时刻的二氧化碳浓度为，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ）（参考数据：，） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 【答案】B 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即可求解. 【详解】依题意，时，， 则，解得， 因此，由， 得，解得 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：B. 9．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：A． 10．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界），作出图象，数形结合得解. 【详解】，，所以， 所以，又，可得， 所以，故， 所以点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界）. 令，则，且在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 作出图象如图所示，易得，，，，， 由图易得，表示的图形的面积小于矩形的面积，故. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线：的渐近线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 12．数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数 ；前8层的棋子总和数 【答案】 36 120 【分析】根据给定条件计算可求得，写出数列的递推关系，利用累加法求出通项即可. 【详解】依题意，可得，36 所以； 故答案为：①36；②120. 13．已知则 ；若，则的取值范围是 . 【答案】 0 【分析】先求，再求，即得， 分和两种情况代的解析式，解不等式即可． 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是 故答案为：3；. 14．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 【答案】640 【分析】过点F作平面ABCD，垂足为O，Q为BC的中点， 为平面BCF与底面所成的角，利用相关条件求出高，代入体积公式即可． 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 15．对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的有 ①．曲线是轴对称图形 ②．当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 ③．当时，曲线与曲线有4个交点 ④．当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】①② 【分析】①代入判断即可；②代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合①的对称性即可判断；③代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；④选项，举特例即可判断. 【详解】①选项，若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，①正确； ②选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，， 由二次函数可求得的取值范围为，②正确； ③选项，当时，当时，曲线：， 由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，③错误； ④选项，当时，若，则曲线：， 在第一象限，即， 则， 当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 则曲线围成的封闭区域的面积大于8，④错误； 故选：①②. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，． (1)求的值； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理将边的关系转化为角的余弦值，结合同角三角函数关系求正弦值． （2）选择条件①：由余弦定理可知，此方程无解，即可判断三角形是否存在；选择条件②：由正弦定理可知，，再结合余弦定理即可判断求解；选择条件③：先求出，再结合正余弦定理即可判断求解. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理可知，， 所以，即， 又，所以． （2）若选择条件①：由余弦定理可知，， 所以，即， 此时，该方程无实数根， 故条件①使得不存在． 若选择条件②：由正弦定理可知，， 所以， 又，解得，， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件②使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为． 若选择条件③：因为，且， 所以， 由正弦定理可知，，所以，解得， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件③使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为． 17．（满分13分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面ABC得 ，E，F分别为棱AB，BC的中点得，得，，得，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，由夹角公式即可求出. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以． 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，因为， 所以， 又，所以平面，则． 设，易得， 则，所以， 又，所以平面 （2）以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则， 则． 由（1）知平面的一个法向量为． ． 设平面的法向量为， 则取 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 18．（满分14分）为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． (3）若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为X1；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为X2​、X3​，记Y1=X1+X2​，Y2=X2+X3​，比较D(Y1)与D(Y2)的大小（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2) (3) 大于 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 19．（满分15分）已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，P到两焦点距离之和等于4. (1)求椭圆M的方程. (2)直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 【答案】(1) (2)；1 【分析】（1）先由椭圆方程确定基本量的关系，再由椭圆的定义求,即可求椭圆方程； （2）先将直线方程和椭圆方程联立消去y，再结合根据系数关系表示出，根据题中当t为何值时恒为定值，可得，进而可求三角形的面积并用基本不等式可得最大值. 【详解】（1）由椭圆，且焦点在x轴上，知， 因为P到两焦点距离之和等于4.，所以 所以椭圆的方程为. （2）如图： 设，联立，得， 则，，即. 所以， 当为定值时，即与无关，所以，得， 此时 ， 又因为点到直线的距离， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1. 20．（满分15分）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 21．（满分15分）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据交错数列的概念列举出所有情况可得结果. （2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，由此可证明结论. （3）分析可得，累加可得，由此可得结果. 【详解】（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此； 当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此． （2）设数列是取自集合的交错数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为． （3）设数列是取自集合的交错数列， 由（2）得，当时，所有交错数列的个数为， 当时，若，则仅有一个交错数列； 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应， 又因为，所以数列的所有交错数列的个数为， 综上所述，． 当时，由累加得， 因为，所以， 由及（1）得， 显然单调递增， 因为， 所以， 所以使得成立的的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A C D A C B A B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11、 12、 36 120 13、 0 14、640 15、①② 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【解析】（1）由，得， 由余弦定理可知，， 所以，即， 又，所以．...............................................6分 （2）若选择条件①：由余弦定理可知，， 所以，即， 此时，该方程无实数根， 故条件①使得不存在． 若选择条件②：由正弦定理可知，， 所以， 又，解得，， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件②使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为． 若选择条件③：因为，且， 所以， 由正弦定理可知，，所以，解得， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件③使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为．...............................................13分 17．（满分13分） 【解析】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以． 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，因为， 所以， 又，所以平面，则． 设，易得， 则，所以， 又，所以平面...............................................6分 （2）以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则， 则． 由（1）知平面的一个法向量为． ． 设平面的法向量为， 则取 设平面与平面的夹角为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为．...............................................13分 18．（满分14分） 【解析】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为；...............................................4分 （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为................................................11分 （3）大于..............................................14分 19．（满分15分） 【解析】（1）由椭圆，且焦点在x轴上，知， 因为P到两焦点距离之和等于4.，所以 所以椭圆的方程为...............................................4分 （2）如图： 设，联立，得， 则，，即. 所以， 当为定值时，即与无关，所以，得， 此时 ， 又因为点到直线的距离， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1................................................15分 20．（满分15分） 【解析】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为；...............................................4分 （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为；...............................................9分 （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立；...............................................15分 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立，...............................................15分 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立...............................................15分 21．（满分15分) 【解析】（1）当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此； 当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此．...............................................4分 （2）设数列是取自集合的交错数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为．............................................9分 （3）设数列是取自集合的交错数列， 由（2）得，当时，所有交错数列的个数为， 当时，若，则仅有一个交错数列； 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应， 又因为，所以数列的所有交错数列的个数为， 综上所述，． 当时，由累加得， 因为，所以， 由及（1）得， 显然单调递增， 因为， 所以， 所以使得成立的的最小值为．......................................15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．_________ ___________ 13．________ ____________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 4．已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（   ） A．48 B．64 C．40 D．80 6．若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 7．若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 8．根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过，此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度与开窗通风时长之间关系式为（）该室内初始时刻的二氧化碳浓度为，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ）（参考数据：，） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 9．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线：的渐近线的斜率为 . 12．数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数 ；前8层的棋子总和数 13．已知则 ；若，则的取值范围是 . 14．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 15．对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的有 ①．曲线是轴对称图形 ②．当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 ③．当时，曲线与曲线有4个交点 ④．当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，． (1)求的值； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 17．（满分13分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（满分14分）为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． (3）若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为X1；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为X2​、X3​，记Y1=X1+X2​，Y2=X2+X3​，比较D(Y1)与D(Y2)的大小（直接写出结果即可） 19．（满分15分）已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，P到两焦点距离之和等于4. (1)求椭圆M的方程. (2)直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 20．（满分15分）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 21．（满分15分）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 4．已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（   ） A．48 B．64 C．40 D．80 6．若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（    ） A． B． C． D．1 7．若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 8．根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过，此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度与开窗通风时长之间关系式为（）该室内初始时刻的二氧化碳浓度为，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ）（参考数据：，） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 9．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线：的渐近线的斜率为 . 12．数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数 ；前8层的棋子总和数 13．已知则 ；若，则的取值范围是 . 14．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 15．对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的有 ①．曲线是轴对称图形 ②．当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 ③．当时，曲线与曲线有4个交点 ④．当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）在中，． (1)求的值； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 17．（满分13分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（满分14分）为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．高三张同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． (3）若该同学在 A 区域投篮n次，投中次数记为X1；在 B、C 区域各投篮n次，投中次数分别记为X2​、X3​，记Y1=X1+X2​，Y2=X2+X3​，比较D(Y1)与D(Y2)的大小（直接写出结果即可） 19．（满分15分）已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，P到两焦点距离之和等于4. (1)求椭圆M的方程. (2)直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 20．（满分15分）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 21．（满分15分）对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． (1)求和的值； (2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； (3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第二次模拟考试 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 第一部分（选择题共40分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 .: 1.已知集合A={x1<2x<5},B={1,2,3},则A∩B=（) A.{23 B.{1,2 c.{2,3} D.{1,2,3} : 2.若复数z满足i-iz=1,则的虚部为() A.i B.1 C.-i D.-1 3.己知抛物线C:y2=2x(D>0)的焦点为F,点P(1,y)在抛物线C上，若|PF=3,则y=() A.2√2 B.3 C.4 D.4√2 4. 已知abeR,且ab>0,则“a>b"是“a+ 方6+d的() a : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 拟 : C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 : 5.已知a2x+ 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中x3的系数是 : () A.48 B.64 C.40 D.80 6.若倾斜角为锐角且过点(1,0)的直线1截圆(x+2)2+y2=4所得弦长为2，则1的斜率为() A. 2 3 C. D.1 7.若向量a=(-12),i-a=(3,0),记6=(a,),则cos26=() 试题第1页（共4页） .: : ©学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 A.=10 8.10 D. 4 10 10 5 8.根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm,此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度y(ppm) 与开窗通风时长t之间关系式为y=5O0+2e?（aeR)该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm,要使 该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为()（参考数据：血3≈1.099， n5≈1.609) A.9分钟 B.10分钟 C.11分钟 D.12分钟 9.关于x的方程sin2x+cosx+a=0在实数范围内有解，则实数a的取值范围是() 55 44 D.[-1,1] 10.已知M=(x,y)川y=tx-2Wx)+3,0≤t≤1,0≤x≤4是平面直角坐标系中的点集.设d是M中的点与点 (1,O)的距离，s是M表示的图形的面积，则() A.d≥2，S>4 B.d22,S<4 C.d≤2，S>4 D.d≤2，S<4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11.双曲线C:-上=1的渐近线的斜率为一 94 12.数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度 统一.例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚依此类推，从第二层开始，每一 层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数g=一；前8层的棋子总和数Sg= 13.己知f(x)= 1og2x,x≥1， ,x<1,则f(-1》=一：若f<1,则x的取值范围是一 14.庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章 算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）.据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤： 南北方向长度；广：东西方向长度)”，其体积公式为：二×(2×上袤+下袤)×广×高.如图2所示，刍甍 6 是底面为矩形的五面体，项部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m,广为12m, 上袤是下袤的}，△ADE和△BCF与底面所成角均为？则该刍甍的体积为一m, 1 试题第2页（共4页） ©学科网·学易金卷做概意：就限是鲁普 正脊 斜脊 斜坡 图1 图2 15.对于曲线C.+少-1（其中m儿a均为正数），下列说法正确的有 ①.曲线C是轴对称图形 ②.当m+n=1,:=1时，曲线C围成的封闭区域面积的取值范围为 ③.当a=2时，曲线C与曲线y=1有4个交点 ④.当m=n,0<a<1时，曲线C围成的封闭区域的面积小于2m2 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(满分13分)在△4BC中，d=b-c2+2c. 3 (1)求sinB的值： (2)若b=2√6，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：c=2√7： 条件（②：asinA=V3: 条件③：cos1=V6 3 17.(满分13分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，A4⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=2AC=2AA,E,F 分别为棱AB,BC的中点. A B (1)证明：B,E⊥平面AEF. (2)求平面AEF与平面BCC,B夹角的余弦值. 试题第3页（共4页） : 18.(满分14分)为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在A、B、C O 三个区域开展定点投篮比赛.高三张同学在A区域投篮命中的概率是子，在B和C区域投篮命中的概率都是 : 京它们之间相互不影响. (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率： ☑ (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中， : 可获得6分：如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得 分.求该同学得分X的数学期望， (3)若该同学在A区域投篮n次，投中次数记为X1;在B、C区域各投篮n次，投中次数分别记为X2、 X3,记Y1=X1+X2,Y2=X2+X3,比较D(Y1)与D(Y2)的大小（直接写出结果即可) 19.(满分15分)已知椭圆M:X +少=1的左，右焦点为，月，点P是椭圆上任意一点，P到两焦点距离之 和等于4. 数 (1)求椭圆M的方程. 游 (2)直线：y=tx+(n>0)与椭圆M交于D,E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，OD+O恒为定 值？并求此时AODE面积的最大值 20.(满分15分)已知函数f(x)=ae-x-1. (1)当a=1时，求f(x)的最小值： (2)已知函数f(x)有两个零点x,x2,且x1<x2: E肉 (i)求a的取值范围： (i)证明：x+x,<2 a : 21.(满分15分)对于一个递增正整数数列{a},如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个 O 交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合1,2，，的所有交错数列 的个数记为A.例如，当n=1时，取自集合1的交错数列只有1一种情况，则A=1;当=2时，取自集 燸 合1,2}的交错数列有1和1,2两种情况，则A,=2. (1)求A和A的值： (2)证明：取自集合，2，，(n≥3)的首项不为1的交错数列的个数为A-2: O (3)记数列{A}的前n项和为Sn,求使得Sn>2025成立的n的最小值. 试题第4页（共4页）@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={x1<2x<5},B={1,2,3},则A∩B=() A.{2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.若复数z满足i-iz=1,则的虚部为() A.i B.1 C.-i D.-1 3.己知抛物线C:y2=2px(D>0)的焦点为F,点P(1,)在抛物线C上，若引PF=3,则，=() A.22 B.3 C.4 D.4N2 4.包知abER,且ab>0,则"a>b”是a+b+的( a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知x+ 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中x3的系数是 () A.48 B.64 C.40 D.80 6.若倾斜角为锐角且过点(1,0)的直线1截圆(x+2)2+y2=4所得弦长为2，则1的斜率为() A.② 2 B.3 3 c.2 D.1 1/8 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7.若向量a=(-1,2),b-a=(3,0),记0=(a,),则cos28=() B.10 10 10 c. D.5 4 8.根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过1O00ppm,此时人体健康不受影响.己知二氧化碳浓度y(ppm) 与开窗通风时长t之间关系式为y=500+2e9(元∈R)该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm,要使 该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为()（参考数据：血3≈1.099， n5≈1.609) A.9分钟 B.10分钟 C.11分钟 D.12分钟 9.关于x的方程sinx+cosx+a=0在实数范围内有解，则实数a的取值范围是() a利 s e.[ D.[-1,1] 10.已知M={《x,y)川y=tx-2)+3,0≤t≤1,0≤x≤4是平面直角坐标系中的点集.设d是M中的点与 点(1,0)的距离，s是M表示的图形的面积，则() A.d≥2S>4 B.d≥2，S<4 C.d≤2，S>4 D.d≤2，S<4 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11.双曲线C:-y =1的渐近线的斜率为一· 94 12.数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度 统一.例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚.依此类推，从第二层开始，每 一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则第8层棋子数g=一；前8层的棋子总和数Sg=一 13.已知f(x)= 一xx<1则f(-1》-一：若f)<1,则x的取值范围是 1og2x,x≥1， 14.庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九 章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）.据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广 (袤：南北方向长度：广：东西方向长度)”，其体积公式为：后×(2×上表+下袤)×广×高.如图2所 示，刍甍是底面为矩形的五面体，项部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m,广 为12m,上袤是下袤的}，△AD亚和△BCF与底面所成角均为牙，则该台毙的体积为 1m3. 218 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 东 正脊 斜脊 北 斜坡 图1 图2 15.对于曲线c+-1(其中m,儿a均为正数)，下列说法正确的有 n ①.曲线C是轴对称图形 当w+1=1,α=1时，曲线C围成的封闭区域面积的取值范围为【 ③.当=2时，曲线C与曲线xy=1有4个交点 ④.当m=,0<a<1时，曲线C围成的封闭区域的面积小于2m2 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 6.(满分13分)在△4BC中，a=B-c2+3ac. (I)求sinB的值； (2)若b=2√6，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：c=27: 条件②：asinA=√5； 条件@：cosA=y 3 318 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(满分13分)如图，在三棱柱ABC-ABC,中，AA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=2AC=2AA,E,F 分别为棱AB,BC的中点. B E B (1)证明：BE⊥平面AEF. (2)求平面AEF与平面BCC,B1夹角的余弦值. 4/8 耐学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(满分14分)为了高三下学期让学生能够通过体育合格考，一所中学高三年级组织学生在A、B、C 三个区域开展定点投篮比赛，高三张同学在A区域投篮命中的概率是，在日和C区域投篮命中的概率都是 2它们之间相互不影响. (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中， 可获得6分：如果仅在两个区域投中，可获得3分：如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得 分.求该同学得分X的数学期望， (3)若该同学在A区域投篮n次，投中次数记为X1;在B、C区域各投篮n次，投中次数分别记为X2、 X3,记Y1=X1+X2,Y2=X2+X3,比较D(Y1)与D(Y2)的大小（直接写出结果即可） 518 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(满分15分》已知鞋圆M号产-1的左，有焦点为片，R点P是桶圆上任藏一点，P到两焦点距离之 和等于4. (1)求椭圆M的方程 (2)直线I:y=tx+(n>0)与椭圆M交于D,E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，OD+O恒为定 值？并求此时△ODE面积的最大值， 618 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(满分15分)已知函数f(x)=ae*-x-1. (1)当a=1时，求f(x)的最小值： (2)己知函数f(x)有两个零点x,x2,且x<x2 (i)求a的取值范围： ()证明：方+x,<2n1 a 718 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(满分15分)对于一个递增正整数数列{a},如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个 交错数列.规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合1,2，，心的所有交错数 列的个数记为A.例如，当=1时，取自集合1}的交错数列只有1一种情况，则A=1;当n=2时，取 自集合1,2的交错数列有1和1,2两种情况，则A=2. (1)求A和A,的值： (2)证明：取自集合红，2，，（≥3）的首项不为1的交错数列的个数为A-2: (3)记数列{A}的前n项和为Sn,求使得Sn>2025成立的n的最小值. 818