第四单元 正比例与反比例 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册

第四单元 正比例与反比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、比和比例的回顾 1 三、正比例 2 四、反比例 2 五、正比例与反比例的区别与联系 3 六、比例的应用（用比例解决实际问题） 3 考点讲练 4 考点一：变化的量 4 考点二：正比例的意义及辨识 7 考点三：正比例图像的认识 10 考点四：正比例的应用 14 考点五：反比例的意义及辨识 22 考点六：反比例的应用 26 综合训练 30 知识梳理 一、单元概述 本单元是在学生学习了比和比例的基础上，进一步探究两种相关联的量之间的变化规律，核心内容包括正比例的意义、反比例的意义、正反比例的区别与联系，以及运用比例知识解决实际问题。学习本单元有助于培养学生的抽象思维和模型思想，为后续学习函数知识奠定基础。 二、比和比例的回顾 1. 比的意义与性质 意义：两个数相除又叫做两个数的比，记作 (a:b)（(b≠0)），其中(a)是前项，(b)是后项。 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。例如：(2:3 = (2×2):(3×2) = 4:6)。 2. 比例的意义与性质 意义：表示两个比相等的式子叫做比例，如 (2:3 = 4:6)（其中2和6是外项，3和4是内项）。 基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（交叉相乘相等）。即若 (a:b = c:d)，则 (ad = bc)。 三、正比例 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 字母表达式 若用 (x) 和 (y) 表示两种相关联的量，用 (k) 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为： 3. 判断方法 （1）两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）相对应的两个数的比值是否一定（商不变）。 4. 图像特征 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像中可直观看出：一种量随另一种量的增大而增大（变化方向相同）。 5. 生活实例 四、反比例 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 字母表达式 若用 (x) 和 (y) 表示两种相关联的量，用 (k) 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为： 3. 判断方法 （1）两种量是否相关联； （2）相对应的两个数的乘积是否一定（积不变）。 4. 图像特征 反比例关系的图像是一条曲线（双曲线）。从图像中可直观看出：一种量随另一种量的增大而减小（变化方向相反）。 5. 生活实例 路程一定时，速度与时间成反比例（ 总价一定时，单价与数量成反比例 五、正比例与反比例的区别与联系 对比项目 正比例 反比例 变化方向 两种量同时扩大或同时缩小（同向变化） 一种量扩大，另一种量缩小（反向变化） 定量关系 比值（商）一定 乘积一定（） 图像 经过原点的直线 双曲线（曲线） 字母表达式 (y = kx)（(k)一定） ( 相同点 均为两种相关联的量，一种量随另一种量变化 均为两种相关联的量，一种量随另一种量变化 六、比例的应用（用比例解决实际问题） 解题步骤 （1）审题：找出题中两种相关联的量，判断成正比例还是反比例； （2）设未知数：根据题意设出未知量 (x)； （3）列比例式：根据正反比例关系列出比例（正比例列比值相等的式子，反比例列乘积相等的式子）； （4）求解：根据比例的基本性质解比例； （5）检验：检查结果是否符合题意。 2. 典型题型示例 考点讲练 考点一：变化的量 【典例精讲】某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。 【答案】t＝n÷7＋3 【分析】根据题目所给信息，需找出用字母n和t表示蟋蟀叫的次数与气温之间近似关系的式子，由题意可得：当时的气温＝蟋蟀1分叫的次数÷7＋3。 据此解答。 【详解】当时的气温＝蟋蟀1分叫的次数÷7＋3； 已知“n表示蟋蟀每分叫的次数，t表示当时的气温”，所以把前面等式中的“蟋蟀1分叫的次数”用n替换，“当时的气温”用t替换这样就得到了t＝n÷7＋3。 答：这个近似关系用式子表示为：t＝n÷7＋3。 【变式训练】你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【答案】（1）18米；3米 （2）0～6分；6～12分 （3）12分 【分析】（1）根据折线统计图的变化，可以发现，最高的点是18米，最低点是3米； （2）转动第一圈是0分到12分之间，在这个时间段里面可以发现，人所在座舱的高度在0分到6分从3米上升到了18米，从6分到12分从18米下降到了3米； （3）第一个最高点的时间是6分，第二个最高点的时间是18分，相差12分，则每12分钟，就会到达下一个最高点。 【详解】（1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 （2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 （3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 【变式训练】当圆柱的底面积等于10时，圆柱的体积和高的变化情况如下表。 高/ 2 4 6 8 10 12 体积/ 20 40 60 80 100 120 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。 【答案】当高变化时，体积按相同的倍数变化，且体积与高的比值始终等于底面积（10 cm²）。 【分析】根据表中的数据，用圆柱的体积除以高，观察商的变化情况即可解答。 【详解】20÷2＝10（） 40÷4＝10（） 60÷6＝10（） 80÷8＝10（） 100÷10＝10（） 120÷12＝10（） 圆柱的体积÷高＝10（）（一定）。 答：当高变化时，体积按相同的倍数变化，且体积与高的比值始终等于底面积（10 cm²）。 【变式训练】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 【答案】v＝0.6t＋330 【分析】20÷5×3＝20℃时声音比0℃时增加的速度，20℃时声音在空气中传播的速度－20℃时声音比0℃时增加的速度＝0℃声音在空气中传播的速度，因此相应气温声音增加的速度＋0℃声音在空气中传播的速度＝相应气温声音在空气中传播的速度，据此分析。 【详解】342－20÷5×3 ＝342－12 ＝330（米/秒） v＝t÷5×3＋330＝0.6t＋330 答：用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，用式子表示出这两个量之间的关系是v＝0.6t＋330。 考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】下面说法表述错误的是（    ）。 A．9既是奇数又是合数 B．等腰三角形是轴对称图形 C．假分数的分数单位都比1大 D．水价一定，总价与用水量的关系是正比例关系 【答案】C 【分析】A．个位上是0、2、4、6、8的数叫偶数，个位上是1、3、5、7、9的数叫奇数，所以9是奇数；一个数只有1和它本身两个因数叫质数，一个数除1和它本身两个因数外还有别的因数叫合数，9的因数有1、3、9，所以9是合数。 B．一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这样的图形就是轴对称图形，等腰三角形就是轴对称图形，且有1条对称轴。 C．任何分数的分数单位都是分母分之一，如，分数单位是，，又如，分数单位是，即假分数的分数单位都不大于1。 D．因为总价÷用水量＝水价（水的单价）（一定），所以总价与用水量的关系符合正比例关系的特征。 【详解】根据分析： A．9既是奇数又是合数，表述正确。     B．等腰三角形是轴对称图形，表述正确。 C．假分数的分数单位都比1大，表述错误。      D．水价一定，总价与用水量的关系是正比例关系，表述正确。 故答案为：C 【变式训练】下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 【答案】三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 【分析】根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断两个量是否成正比例，即判断两个量的比值是否一定。 【详解】观察表格数据，随着高的增大，三角形的面积也随之增大，计算面积与高的比值，；；；，比值均为4.5，是一定的。 答：三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 【变式训练】下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 【答案】（1）；；；； 发现：比值都相等，都是0.8。 （2）成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【分析】（1）根据表格数据，分别写出每组面粉的质量与小麦的质量的比，再求出比值，观察比值是否一致。 （2）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，据此解答。 【详解】（1）；；；； 答：发现：比值都相等，都是0.8。 （2）由（1）可知，磨出面粉的质量和小麦的质量的比值都是0.8。 答：能成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【变式训练】粤绣是流传于广州等地的民间刺绣工艺，已有一千多年的历史。龙龙妈妈的店铺中出售的一款粤绣团扇深受消费者欢迎，团扇的销售情况如下表。团扇的销售金额和销售数量是否成正比例？请说明理由。 销售数量/把 1 2 3 4 5 6 销售金额/元 62 124 186 248 310 372 【答案】成正比例。理由：团扇的销售金额随销售数量的增加而增加，且销售金额与销售数量的比值相等，为62。 【分析】判断两个量是否成正比例，需满足“两个量的比值（商）一定”。本题中销售金额与销售数量的比值为单价，若单价固定，则成正比例。 【详解】成正比例。因为： 答：可见团扇的销售金额随销售数量的增加而增加，且销售金额与销售数量的比值相等，为62，因此成正比例。 考点三：正比例图像的认识 【典例精讲】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 【答案】 正 540 8 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，计算可知，行驶的路程和时间的比值是90，所以行驶的路程和时间成正比例关系，再根据“路程＝速度×时间”求出6时行驶的路程，最后根据“时间＝路程÷速度”求出行驶720千米需要的时间，据此解答。 【详解】由图可知，（一定），所以行驶的路程和时间成正比例。 90×6＝540（千米） 720÷90＝8（时） 所以，6时行驶540千米，要行驶720千米需要8时。 【变式训练】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 【答案】B 【分析】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【详解】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 【变式训练】小华去文具店购买圆珠笔，购买圆珠笔的数量和总价如表所示。 数量/支 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 3 6 9 （1）把上表填写完整。 （2）购买圆珠笔的数量与总价成正比例吗？为什么？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （4）点（8，24）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解 （2）成正比例；理由见详解 （3）见详解 （4）在；含义见详解 【分析】（1）表格中可以看出，1支圆珠笔3元。那么4支圆珠笔的总价是3×4＝12元，5支圆珠笔的总价是3×5＝15元。所以表格中应填12、15。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。计算总价与数量的比值：3÷1＝3元/支，6÷2＝3元/支，9÷3＝3元/支，12÷4＝3元/支，15÷5＝3元/支，可以发现总价随着数量的变化而变化，且它们相对应的比值（单价）一定，所以购买圆珠笔的数量与总价成正比例。 （3）根据表格中的数据，在坐标图中找到对应的点（0，0）、（1，3）、（2，6）、（3，9）、（4，12）、（5，15），然后用直尺顺次连接这些点。 （4）因为单价是3元/支，那么8支圆珠笔的总价是3×8＝24元。所以点（8，24）在这条直线上，这一点表示购买8支圆珠笔的总价是24元。 【详解】（1）3÷1＝3（元/支） 3×4＝12（元） 3×5＝15（元） 填表如下： 数量/支 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 3 6 9 12 15 （2）3÷1＝3（元/支） 6÷2＝3（元/支） 9÷3＝3（元/支） 12÷4＝3（元/支） 15÷5＝3（元/支） 答：成正比例，因为总价和数量的比值（单价）一定。 （3）如图： （4）3×8＝24（元） 答：点（8，24）在这条直线上，这一点表示购买8支圆珠笔的总价是24元。 【变式训练】下图表示的是买同一本书的本数和所付书费的关系，下列不在这条直线上的点是（    ）。 A．（9，63） B．（13，91） C．（20，140） D．（70，10） 【答案】D 【分析】所付书费÷买同一本书的本数＝这本书的单价，这本书的单价一定，那么所付书费和买同一本书的本数成正比例关系。看图可知，这本书的单价是7元，横轴表示本数，纵轴表示书费。将本数×7，求出书费，如果书费和第二个数相等，则这个点在这条直线上，反之则不在。 【详解】A．9×7＝63（元），（9，63）在这条直线上； B．13×7＝91（元），（13，91）在这条直线上； C．20×7＝140（元），（20，140）在这条直线上； D．70×7＝490（元），（70，10）不在这条直线上。 所以，不在这条直线上的点是（70，10）。 故答案为：D 考点四：正比例的应用 【典例精讲】某地推出无人机配送服务，配送时效明显提升，无人机飞行时间与路程的关系如下。 时间/分 0 15 30 45 60 … 路程/km 0 10 20 30 40 … （1）根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）图中的点A表示（                             ）。 （3）该无人机飞行的路程与时间成（    ）比例。 （4）用该无人机将物品从甲地运到15km远的乙地，需要多长时间？ 【答案】（1）见解析 （2）无人机30分飞行20 km （3）正 （4）需要22.5分 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，再顺次连接各点即可。 （2）由图中的数据可知，点A表示无人机30分飞行20km。 （3）根据路程÷时间=速度（一定），可知该无人机飞行的路程与时间成正比例。 （4）由（3）可知，路程与时间成正比例，所以它们的比值相等，可设需要x分，由此可列出比例式，根据比例的基本性质进行求解即可。 【详解】（1）如图： （2）图中的点A表示无人机30分飞行20km。 （3）（一定） 所以该无人机飞行的路程与时间成正比例。 （4）解：设需要x分。                                          答：需要22.5分。 【变式训练】下面是“天下第一泉”趵突泉一段时间的涌水量和喷涌天数统计表，请据此回答问题。 涌水量/万立方米 16 32 48 64 80 … 喷涌天数 1 2 3 4 5 … （1）表中趵突泉的涌水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出涌水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？ （3）李华说点（10，150）也在这条直线上，他说得对吗？请说明理由。 【答案】（1）成正比例，因为＝每天的涌水量，每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【分析】（1）比值一定的两个量成正比例关系。求出涌水量和对应喷涌天数的比值，判断这两个量是否成正比例关系； （2）根据涌水量和对应喷涌天数，画出对应的图像，再谈自己的发现即可；（答案不唯一） （3）求出这个点的比值，和涌水量和对应喷涌天数的比值作比较即可。 【详解】（1）成正比例，因为＝每天的涌水量（一定），每天的涌水量都是16万立方米，这个值一定，所以成正比例。 （2） 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）答：他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【变式训练】复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 时间/分 0 1 2 3 4 5 60 路程/千米 0 5 10 15 20 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 【答案】（1）见详解； （2）正； （3）见详解； （4）点（120，600）会在这条直线上；理由见详解 【分析】（1）根据表格中的数据可以发现，时间每增加1分钟，路程就增加5千米，所以可以计算出5分钟对应的路程是25千米，60分钟对应的路程就是300千米； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据速度＝路程÷时间，可以计算出复兴号的速度是一定的，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例； （3）根据表格中的数据，可以描点，然后把这些点连接起来，就可以得到复兴号所行的时间与路程的关系图像。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 （4）因为速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【详解】（1）5×5＝25（千米），60×5＝300（千米） 时间/分 0 1 2 3 4 5 … 60 … 路程/千米 0 5 10 15 20 25 … 300 … （2）5÷1＝5（千米/分），10÷2＝5（千米/分），15÷3＝5（千米/分），速度一定，时间与路程的比值一定，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例。 （3） （4）由第（3）小题可得，图像是一条经过原点直线，速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【变式训练】趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）225；12.8 【分析】（1）正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的比值（商）一定，则成正比例关系。 计算喷水量与喷涌天数的比值：15÷1＝15万立方米/天，30÷2＝15万立方米/天，45÷3＝15万立方米/天，60÷4＝15万立方米/天，75÷5＝15万立方米/天，90÷6＝15万立方米/天。由此可知，喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。因此，趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为二者比值一定。 （2）根据表格数据，对应坐标点为：（0，0）、（1，15）、（2，30）、（3，45）、（4，60）、（5，75）、（6，90）。在方格纸上，找到对应的位置描点，再用直尺顺次连接这些点，会得到一条从原点出发的直线（因成正比例关系，图像是过原点的直线）。 （3）已知喷水量与喷涌天数成正比例，关系为：喷水量＝15×喷涌天数。计算15天的喷水量，用15乘15即可。计算192万立方米水可喷涌的天数，用192除以15即可。 【详解】（1）15÷1＝15（万立方米/天） 30÷2＝15（万立方米/天） 45÷3＝15（万立方米/天） 60÷4＝15（万立方米/天） 75÷5＝15（万立方米/天） 90÷6＝15（万立方米/天） 喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。 答：趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为喷水量与喷涌天数比值一定。 （2）如图： （3）15×15＝225（万立方米） 192÷15＝12.8（天） 趵突泉15天的喷水量是225万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌12.8天。 考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】选择适当的答案，把字母填在括号里。 A．成正比例    B．成反比例    C．不成比例 (1)在8x＝3y（x和y均不为0）中，x和y( )。 (2)小华比小丽大5岁，小华的年龄和小丽的年龄( )。 (3)练习册的单价一定，总价和购买的本数( )。 (4)三角形的面积一定，它的底和相对应的高( )。 【答案】(1)A (2)C (3)A (4)B 【分析】根据正比例的定义，两个相关联的量的比值一定，则它们成正比例；根据反比例的定义，两个相关联的量的积一定，则它们成反比例。 【详解】（1），，比值一定，所以x和y成正比例。 （2）小华年龄-小丽年龄＝5，小华的年龄和小丽的年龄不成比例。 （3）总价÷购买的本数＝单价，单价一定，即比值一定，所以总价和购买的本数成正比例。 （4）底×高÷2＝三角形的面积，即底×高＝2×三角形面积，三角形面积一定，所以它的底和相对应的高成反比例。 【变式训练】先根据规律判断x与y成什么比例，再填表。 （1）x与y成（    ）比例。 x 4 8 3.2 20 y 10 4 3.5 （2）x与y成（    ）比例。 x 6 16 32 y 8 3 5 9.6 【答案】（1）正，5，2.8,25；（2）反，9.6,1.5,5 【分析】要想判定x与y成什么比例，必须根据表中提供的数据，进行计算，看两个变量是对应的比值一定还是乘积一定，然后根据正、反比例的意义，从而判定成什么比例即可。进而根据x与y成正、反比例关系，求得表中的未知数，从而完成表格。 （1）（一定），是x与y对应的比值一定，符合正比例的意义，所以成正比例。第一空为5，第二空，第三空，由此可解。 （2）（一定），是x与y对应的乘积一定，符合反比例的意义，所以成反比例。第一空，第二空，第三空，由此可解。 【详解】（1）由分析可知，x与y成正比例。 填表如下： （2）由分析可知，x与y成反比例。 填表如下： 【变式训练】汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 【答案】（1）3；4；5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）300÷6＝50（t） 【分析】（1）先求出货物总吨数，再根据平均每车运的吨数求出运货的车辆数即可。 （2）因为平均每车运的吨数运货的车辆数货物总吨数（300）一定，符合反比例关系，所以平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例。 （3）根据平均每车运的吨数货物总吨数运货的车辆数，代入数据即可。 【详解】（1）（吨） （辆） （辆） （辆） 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 3 4 5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）（吨） 答：平均每车运50吨。 【变式训练】某科学中心有4座科技影院，旅行社的李叔叔带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 （1）请把上表补充完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，门票张数随着（    ）的增加而（    ）。表中两种量相对应的两个数的乘积是（    ），这个乘积所表示的意义是（    ）。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 【答案】（1） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）票价；门票张数；票价；减少；4200；李叔叔带的总钱数 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 【分析】（1）根据总钱数不变，利用“总价＝单价×数量”的关系进行计算，先计算李叔叔带的总钱数：巨幕影院票价40元，数量105张，总钱数为4200元，再求4D影院的数量：总钱数4200元，票价30元，数量为140张，最后求动感影院的数量：总钱数4200元，票价25元，数量为168张； （2）表中票价和数量是两种相关联的量，数量随着票价的增加而减少，两种量相对应的两个数的乘积是固定的，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）因为影院票价和可购买的门票数量是两种相关联的量，且它们的乘积（总钱数）一定，所以成反比例。 【详解】（1）（元） （张） （张） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）表中票价和数量是两种相关联的量，门票张数随着票价的增加而减少，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 考点六：反比例的应用 【典例精讲】已知x和y成反比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 4 12 y 9 18 3.6 72 【答案】2；10； 3；54 【分析】因为x和y成反比例关系，所以它们的乘积是定值。首先根据已知的、，求出乘积：，即。后续根据这个定值计算空格中的数。 【详解】根据，依次计算： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，（或​），（或​）。 【变式训练】看一本故事书，每天看的页数相同，每天看的页数和需要的天数如下图。 （1）每天看的页数和需要的天数是否成比例？如果成比例，那么成什么比例？为什么？ （2）如果8天看完这本书，那么每天要看（    ）页。 【答案】【小题1】成比例，成反比例。 因为需要的天数随每天看的页数的增加而减少，且积一定。 【小题2】15 【分析】（1）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，所以每天看的页数和需要的天数成反比例。 （2）因为总页数为120页（由前面乘积得出），如果8天看完，根据每天看的页数＝总页数÷需要的天数。 【详解】（1）观察图像可知，每天看的页数和需要的天数的乘积为：，，，，，，即每天看的页数×需要的天数＝总页数（一定），所以每天看的页数和需要的天数成比例，成反比例。 （2）120÷8＝15（页） 如果8天看完这本书，那么每天要看15页。 【变式训练】张老师要从学校去60km远的县城学习，不同交通工具所需的时间如下表。 速度/（千米/时） 8 40 20 60 所需的时间/时 7.5 1.5 （1）先把表格填写完整。 （2）题中没有发生变化的量是（    ）。 （3）不同交通工具的速度和所需的时间是否成反比例？请说明理由。 （4）如果小轿车适当提速，速度增加到每时80km，那么张老师大概要多久到县城？ 【答案】（1）3；1 （2）总路程。 （3）成反比例。因为不同交通工具的速度和所需的时间的乘积都是60，乘积一定，所以不同交通工具的速度和所需的时间成反比例。 （4）0.75时 【分析】（1）根据路程÷时间＝速度，分别用两地之间的距离除以公共汽车、小汽车的速度，求出需要的时间各是多少即可； （2）“张老师要从学校去60km远的县城”，从学校到县城的路程不变； （3）根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度与时间的乘积是一个常数，所以速度与时间是反比例关系。 （4）根据，代入数据求出时间。据此解答。 【详解】（1）（时） （时） 速度/（千米/时） 8 40 20 60 所需的时间/时 7.5 1.5 3 1 （2）题中没有发生变化的量是总路程。 （3）成反比例。因为不同交通工具的速度和所需的时间的乘积都是60，乘积一定，所以不同交通工具的速度和所需的时间成反比例。 （4）（时） 答：张老师大概要0.75时到县城。 【变式训练】某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 【答案】(1)反 (2)750 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）用统计表中平均每天产量乘对应的天数求出这批生产任务的总台数，再除以20即可解答。 【详解】（1）200×75＝15000（台） 300×50＝15000（台） 500×30＝15000（台） 平均每天产量×所需时间＝总台数（一定），平均每天产量和所需时间的乘积一定，则平均每天产量和所需时间成反比例。 （2）15000÷20＝750（台），则平均每天产量至少要达到750台。 【点睛】本题考查反比例的辨认和应用。掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。 综合训练 1．下面每组中的两个量，成正比例关系的是（    ）。 A．一袋大米50千克，大米的袋数和总质量 B．小明的年龄和身高 C．小丽从家到学校，走了的路程和未走的路程 D．行驶一段路程，行驶的速度和所用的时间 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（或商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。如果既不是比值（或商）一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A．大米的总质量÷大米的袋数＝一袋大米50千克（一定），商一定，所以大米的袋数和总质量成正比例关系； B．人的身高与年龄的比值、以及乘积都是不一定的，所以小明的年龄与身高有关系，但不成比例； C．走了的路程＋未走的路程＝小丽从家到学校的路程（一定），和一定，所以走了的路程和未走的路程不成比例。 D．行驶的速度×所用的时间＝行驶一段的路程（一定），乘积一定，所以行驶的速度和所用的时间成反比例关系。 故答案为：A 2．六（2）班举行50米×8往返跑测试。折返点在起点的北偏东45°方向。下面说法错误的是（    ）。 A．跑步速度与所用时间成正比例 B．跑步速度与所用时间成反比例 C．向折返点跑是北偏东45°方向 D．向起点跑是南偏西45°方向 【答案】A 【分析】根据正比例和反比例的判定方法：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。以及根据方向的相对性：方向相反，角度相同。即北相反是南，东相反是西。结合选项逐一分析解答即可。 【详解】A．因为速度×时间＝路程，是乘积一定，所以跑步速度与所用时间成反比例，所以本选项说法错误； B．因为速度×时间＝路程，是乘积一定，所以跑步速度与所用时间成反比例。所以本选项说法正确。 C．根据方向知识可知，折返点在起点的北偏东45°方向，所以向折返点跑是北偏东45°方向跑，所以本选项说法正确。 D．根据方向的相对性知识可知，折返点在起点的北偏东45°方向，向起点跑是南偏西45°方向，所以本选项说法正确。 故答案为：A 3．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和妈妈的年龄。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高。 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 D．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。逐项分析。 【详解】A.妈妈的年龄与小明的年龄差一定，所以小明的年龄和妈妈的年龄不成比例，不符合题意； B．平行四边形的底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的底和高成反比例，符合题意； C．出勤人数÷总人数＝出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例，不符合题意； D．已经读了的页数＋未读的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已经读了的页数与未读的页数不成比例，不符合题意。 故答案为：B 4．一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（    ）平方分米。 A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6 【答案】C 【分析】根据题意可知，这个圆柱的高增加2分米，表面积增加25.12平方分米，表面积增加的是高为2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π；据此可以求出圆柱的底面直径，又知高增加2分米，体积增加，因为圆柱的底面积不变，所以圆柱的体积与高成正比例，也就是圆柱高的是2分米，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积侧面积底面积×2，把数据代入公式解答。 【详解】圆柱的底面直径： （分米） 圆柱的高： （分米） 圆柱的表面积：3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2 ＝12.56×10＋3.14×22×2 ＝125.6＋3.14×4×2 ＝125.6＋12.56×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（平方分米） 一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为150.72平方分米。 故答案为：C 5．如果x和y（x、y均不为0）是两种相关联的量，那么下面表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y B．y＋x C． D． 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．x－y表示x和y的差，所以x和y不成比例； B．y＋x表示x和y的和，所以x和y不成比例； C．，则（一定），所以x和y成正比例关系； D．，则（一定），所以x和y成反比例关系； 故答案为：C 6．下图自行车前齿轮有48齿，后齿轮有16齿。前齿轮转10圈，后齿轮转（    ）圈。 A．10 B．30 C．48 D．16 【答案】B 【分析】前轮和后轮走过的路程是一定的，齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，设后齿轮转x圈；列比例：48×10＝16x，解比例，即可解答。 【详解】解：四个后齿轮转x圈。 48×10＝16x 16x＝480 x＝480÷16 x＝30 下图自行车前齿轮有48齿，后齿轮有16齿。前齿轮转10圈，后齿轮转30圈。 故答案为：B 【点睛】解答这类问题，关键是先判断出题目中的两个相关的量是成正比例还是成反比例，再进行解答。 7．如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【答案】14、10、35 【分析】由题意可知，使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，也就是三个齿轮转过的总齿数是相等的，即甲轮齿数×5＝乙轮齿数×7＝丙轮齿数×2，所以转过的总齿数是5、7、2的公倍数，要求齿数最少，就是转过的总齿数是5、7、2的最小公倍数，5、7、2的最小公倍数是70；再用70分别除以5、7、2即可求出甲、乙、丙的最少齿数。 【详解】根据分析： 5×7×2 ＝35×2 ＝70 甲轮齿数最少为：70÷5＝14（齿）； 乙轮齿数最少为：70÷7＝10（齿）； 丙轮齿数最少为：70÷2＝35（齿）； 甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为14、10、35齿。 【点睛】本题关键是根据“甲轮齿数×甲轮转数＝乙轮齿数×乙轮转数＝丙轮齿数×丙轮转数”进行分析解答。 8．生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成( )比例。 【答案】反 【分析】判断每天生产的台数和所用的天数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】每天生产摩托车的台数×所用的天数=生产摩托车的总台数（一定）， 是乘积一定，符合反比例的意义。 故生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成反比例。 9．会议室的面积一定，里面的人数和每人所占的面积成( )比例。 【答案】反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】会议室里面的人数和每人所占的面积是两种相关联的量，它们与会议室的面积有下面的关系： 人数×每人所占的面积=会议室的面积（一定）； 已知会议室的面积一定，也就是人数与每人所占的面积的乘积一定，所以里面的人数和每人所占的面积成反比例。 10．中国载人空间站“天宫”在太空中绕地球飞行，其飞行情况记录如下。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/km 7.68 15.36 23.04 30.72 … (1)表格中( )和( )是两种相关联的量，路程随着( )的变化而变化。 (2)路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值表示“天宫”飞行的( )。 (3)因为“天宫”飞行的( )一定，所以“天宫”飞行的( )和( )成( )比例。 【答案】(1) 时间 路程 时间 (2) 7.68 速度 (3) 速度 路程 时间 正 【分析】（1）表格中存在时间和路程两种量，路程随着时间的变化而变化，所以时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）计算路程与时间相对应的比值，根据路程、时间和速度的关系即路程÷时间＝速度，发现比值都为7.68，这个比值表示天宫的飞行速度。 （3）因为路程与时间的比值（速度）一定，根据正比例关系的定义，当两种相关联的量的比值一定时，这两种量成正比例，所以天宫飞行的路程和时间成正比例。 【详解】（1）表格中时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是7.68，这个比值表示“天宫”飞行的速度。 （3）因为“天宫”飞行的速度一定，所以“天宫”飞行的路程和时间成正比例。 11．想一想，填一填。 （1）图中（    ）和（    ）是两个相关联的变化的量。 （2）这段时间内，无人机的最高飞行高度是（    ），最低是（    ）。 （3）在什么时间范围内无人机的飞行高度是上升的？在什么时间范围内是下降的？ 【答案】（1）时间；高度 （2）27m；17m （3）在2分到14分是上升的，在16分到22分是下降的。 【分析】根据折线统计图，看无人机飞行高度随时间的变化而变化，在图上找到需要的信息，解答问题。 【详解】飞行高度在14分钟到16分钟这段时间，飞行高度最高，飞行高度是27m；在开始的2分钟时飞行高度最低，飞行高度是17m。 （1）图中时间和高度是两个相关联的变化的量。 （2）这段时间内，无人机的最高飞行高度是27m，最低是17m。 （3）在什么时间范围内无人机的飞行高度是上升的？在什么时间范围内是下降的？ 答：在2分到14分是上升的，在16分到22分是下降的。 12．用数学的眼光来看成语“立竿见影”是应用了本学期所学的( )知识，同一时间，同一地点，竹的高度和影长成( )比例。 【答案】 比例 正 【分析】“立竿见影” 中竿高和影长可通过比例知识关联；同一时间同一地点，竹高和影长比值一定，据此判断比例关系。 【详解】“立竿见影”是应用了比例知识，因为竿、影可构成相似三角形，对应边成比例。同一时间、同一地点，竹的高度和影长的比值（每单位高度对应的影长）是定值，所以成正比例。 用数学的眼光来看成语“立竿见影”是应用了本学期所学的比例知识，同一时间，同一地点，竹的高度和影长成正比例。 13．小明看一部时长90分钟的科普纪录片，他先以正常速度看了30分钟，然后把播放速度调快至原来的1.5倍。按这个速度，剩下的部分还需要多少分钟才能看完？ 【答案】40分钟 【分析】以原速看30分钟以后，还剩余60分钟的内容；再根据“总内容不变时，播放速度与所需时间成反比”得知，当播放速度变为原来的1.5倍（即），所需的时间就会变为原来的。用剩下的时长除以1.5（或乘）得到看完剩下的内容所需的时间。 【详解】剩余内容在正常速度下需要的时间：（分钟） 实际所需的时间：（分钟） 答：按这个速度，剩下的部分还需要40分钟才能看完。 14．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 【答案】50天 【分析】求这堆煤实际用了多少天，要求用比例解，实际用了的天数×实际每天用煤量＝这堆煤的总量，这堆煤的总量一定时，实际用了的天数和实际每天用煤量成反比例关系。可以设这堆煤实际用了天，实际每天用煤量比计划节约0.3t，即实际每天用煤量为：t，这堆煤的总量为：计划每天用量×计划用的天数，据此即可解答。 【详解】解：设这堆煤实际用了天。                                                                       答：这堆煤实际用了50天。 15．淘气读《西游记》，原计划每天读40页，30天读完。实际每天读60页，实际多少天读完？ 【答案】20天 【分析】根据题意可知，每天读的页数×读的天数＝《西游记》的总页数（一定），乘积一定，那么每天读的页数与读的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设实际天读完。 60＝40×30 60＝1200 ＝1200÷60 ＝20 答：实际20天读完。 16．自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”。为做好2025年第30个全国中小学生安全教育日宣传活动，教育局提前印刷一批安全教育宣传手册。印刷厂原计划每天印刷1.5万册，12天完成，实际9天就完成了，实际每天印刷多少册？ 【答案】20000册 【分析】将1.5万去掉“万”字，小数点向右移动四位，改写成不带万字的数，设实际每天印刷x册，根据每天印刷的册数×天数＝总册数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】1.5万＝15000 解：设实际每天印刷x册。 9x＝15000×12 9x＝180000 9x÷9＝180000÷9 x＝20000 答：实际每天印刷20000册。 17．我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行384千米需要多久？（用比例知识解决） 【答案】 50秒 【分析】因为 “天宫” 飞行的速度是恒定的，速度＝路程÷时间，当速度一定时，路程和时间成正比例关系，即路程越长，所需时间越长，且路程与时间的比值始终等于速度。设“天宫” 飞行384千米需要x秒，已知飞行76.8千米需要10秒，根据正比例关系可列出比例：384∶x＝76.8∶10，根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”，将比例转化为方程76.8x＝384×10，先计算出384×10，然后根据等式的性质，方程两边同时除以76.8求解出x，即“天宫”飞行384千米所需要的时间。 【详解】解：设“天宫”飞行384千米需要x秒。 384∶x＝76.8∶10 76.8x＝384×10 76.8x＝3840 76.8x÷76.8＝3840÷76.8 x＝50 答：“天宫”飞行384千米需要50秒。 18．小文在学校量得一棵高2.4米的树的影子长1.8米，同时量得办公楼的影子长12.6米，办公楼高多少米？（用比例解） 【答案】16.8米 【分析】由同一地点、同一时间的物体长度与它的影长的比值一定，可知物体的长度与影长成正比例关系，据此列出正比例关系，并解比例。 【详解】解：设办公楼高米。 ∶12.6＝2.4∶1.8 1.8＝12.6×2.4 1.8＝30.24 ＝30.24÷1.8 ＝16.8 答：办公楼高16.8米。 19．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18米的楼房的影长是15米，那么同一时刻、同一地点，一根高3米的线竿的影长是多少米？（用比例解决问题） 【答案】2.5米 【分析】在同一时刻、同一地点，物体的高度和它的影长的比值是一定的。因为太阳光线的角度是固定的，所以不同物体高度与影长对应成正比例关系。根据正比例关系列出比例式，根据比例的基本性质解比例即可。 【详解】解：设一根高3米的线竿的影长是x米。 18∶15＝3∶x 18x＝15×3 18x＝45 18x÷18＝45÷18 x＝2.5 答：一根高3米时线竿的影长是2.5米。 20．某市计划修一条总长为24千米的公路，一个工程队承接了这项工程。这个工程队6天修了9千米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？ 【答案】10天 【分析】因为工程队工作效率固定，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可知工作总量和工作时间成正比例。先算出未修公路长度为24－9＝15千米，设还需x天修完，利用未修的工作总量与还需时间的比等于已修的工作总量与已用时间的比，列出比例，最后依据比例基本性质“两内项之积等于两外项之积”求解x。 【详解】解：设修完这条公路还要x天。 （24－9）∶x＝9∶6 15∶x＝9∶6 9x＝15×6 9x＝90 9x÷9＝90÷9 x＝10 答：修完这条公路还要10天。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例与反比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、比和比例的回顾 1 三、正比例 2 四、反比例 2 五、正比例与反比例的区别与联系 3 六、比例的应用（用比例解决实际问题） 4 考点讲练 4 考点一：变化的量 4 考点二：正比例的意义及辨识 6 考点三：正比例图像的认识 7 考点四：正比例的应用 9 考点五：反比例的意义及辨识 13 考点六：反比例的应用 15 综合训练 17 知识梳理 一、单元概述 本单元是在学生学习了比和比例的基础上，进一步探究两种相关联的量之间的变化规律，核心内容包括正比例的意义、反比例的意义、正反比例的区别与联系，以及运用比例知识解决实际问题。学习本单元有助于培养学生的抽象思维和模型思想，为后续学习函数知识奠定基础。 二、比和比例的回顾 1. 比的意义与性质 意义：两个数相除又叫做两个数的比，记作 (a:b)（(b≠0)），其中(a)是前项，(b)是后项。 基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。例如：(2:3 = (2×2):(3×2) = 4:6)。 2. 比例的意义与性质 意义：表示两个比相等的式子叫做比例，如 (2:3 = 4:6)（其中2和6是外项，3和4是内项）。 基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（交叉相乘相等）。即若 (a:b = c:d)，则 (ad = bc)。 三、正比例 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 字母表达式 若用 (x) 和 (y) 表示两种相关联的量，用 (k) 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为： 3. 判断方法 （1）两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）相对应的两个数的比值是否一定（商不变）。 4. 图像特征 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像中可直观看出：一种量随另一种量的增大而增大（变化方向相同）。 5. 生活实例 四、反比例 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 字母表达式 若用 (x) 和 (y) 表示两种相关联的量，用 (k) 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为： 3. 判断方法 （1）两种量是否相关联； （2）相对应的两个数的乘积是否一定（积不变）。 4. 图像特征 反比例关系的图像是一条曲线（双曲线）。从图像中可直观看出：一种量随另一种量的增大而减小（变化方向相反）。 5. 生活实例 路程一定时，速度与时间成反比例（ 总价一定时，单价与数量成反比例 五、正比例与反比例的区别与联系 对比项目 正比例 反比例 变化方向 两种量同时扩大或同时缩小（同向变化） 一种量扩大，另一种量缩小（反向变化） 定量关系 比值（商）一定 乘积一定（） 图像 经过原点的直线 双曲线（曲线） 字母表达式 (y = kx)（(k)一定） ( 相同点 均为两种相关联的量，一种量随另一种量变化 均为两种相关联的量，一种量随另一种量变化 六、比例的应用（用比例解决实际问题） 解题步骤 （1）审题：找出题中两种相关联的量，判断成正比例还是反比例； （2）设未知数：根据题意设出未知量 (x)； （3）列比例式：根据正反比例关系列出比例（正比例列比值相等的式子，反比例列乘积相等的式子）； （4）求解：根据比例的基本性质解比例； （5）检验：检查结果是否符合题意。 2. 典型题型示例 考点讲练 考点一：变化的量 【典例精讲】某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。 【变式训练】你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【变式训练】当圆柱的底面积等于10时，圆柱的体积和高的变化情况如下表。 高/ 2 4 6 8 10 12 体积/ 20 40 60 80 100 120 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。 【变式训练】声音在空气中传播的速度与空气的温度有关，从0℃开始，气温每升高5℃，声音在空气中传播的速度就增加约3米/秒。气温为20℃时声音在空气中传播的速度约为342米/秒，用t表示气温，用v表示声音在空气中传播的速度，请用式子表示出这两个量之间的关系。 考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】下面说法表述错误的是（    ）。 A．9既是奇数又是合数 B．等腰三角形是轴对称图形 C．假分数的分数单位都比1大 D．水价一定，总价与用水量的关系是正比例关系 【变式训练】下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 【变式训练】下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 【变式训练】粤绣是流传于广州等地的民间刺绣工艺，已有一千多年的历史。龙龙妈妈的店铺中出售的一款粤绣团扇深受消费者欢迎，团扇的销售情况如下表。团扇的销售金额和销售数量是否成正比例？请说明理由。 销售数量/把 1 2 3 4 5 6 销售金额/元 62 124 186 248 310 372 考点三：正比例图像的认识 【典例精讲】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 【变式训练】下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 【变式训练】小华去文具店购买圆珠笔，购买圆珠笔的数量和总价如表所示。 数量/支 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 3 6 9 （1）把上表填写完整。 （2）购买圆珠笔的数量与总价成正比例吗？为什么？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （4）点（8，24）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 数量/支 0 1 2 3 4 5 总价/元 0 3 6 9 12 15 【变式训练】下图表示的是买同一本书的本数和所付书费的关系，下列不在这条直线上的点是（    ）。 A．（9，63） B．（13，91） C．（20，140） D．（70，10） 考点四：正比例的应用 【典例精讲】某地推出无人机配送服务，配送时效明显提升，无人机飞行时间与路程的关系如下。 时间/分 0 15 30 45 60 … 路程/km 0 10 20 30 40 … （1）根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）图中的点A表示（                             ）。 （3）该无人机飞行的路程与时间成（    ）比例。 （4）用该无人机将物品从甲地运到15km远的乙地，需要多长时间？ 【变式训练】下面是“天下第一泉”趵突泉一段时间的涌水量和喷涌天数统计表，请据此回答问题。 涌水量/万立方米 16 32 48 64 80 … 喷涌天数 1 2 3 4 5 … （1）表中趵突泉的涌水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出涌水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？ （3）李华说点（10，150）也在这条直线上，他说得对吗？请说明理由。 发现：各点都在同一条直线上。（答案不唯一） （3）答：他说得不对。 150÷10＝15 16≠15 点（10，150）不在这条直线上。 【变式训练】复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 时间/分 0 1 2 3 4 5 60 路程/千米 0 5 10 15 20 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 时间/分 0 1 2 3 4 5 … 60 … 路程/千米 0 5 10 15 20 25 … 300 … （2）5÷1＝5（千米/分），10÷2＝5（千米/分），15÷3＝5（千米/分），速度一定，时间与路程的比值一定，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例。 （3） （4）由第（3）小题可得，图像是一条经过原点直线，速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【变式训练】趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 （2）如图： 考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】选择适当的答案，把字母填在括号里。 A．成正比例    B．成反比例    C．不成比例 (1)在8x＝3y（x和y均不为0）中，x和y( )。 (2)小华比小丽大5岁，小华的年龄和小丽的年龄( )。 (3)练习册的单价一定，总价和购买的本数( )。 (4)三角形的面积一定，它的底和相对应的高( )。 【变式训练】先根据规律判断x与y成什么比例，再填表。 （1）x与y成（    ）比例。 x 4 8 3.2 20 y 10 4 3.5 （2）x与y成（    ）比例。 x 6 16 32 y 8 3 5 9.6 【变式训练】汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 3 4 5 【变式训练】某科学中心有4座科技影院，旅行社的李叔叔带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 （1）请把上表补充完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，门票张数随着（    ）的增加而（    ）。表中两种量相对应的两个数的乘积是（    ），这个乘积所表示的意义是（    ）。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 考点六：反比例的应用 【典例精讲】已知x和y成反比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 4 12 y 9 18 3.6 72 【变式训练】看一本故事书，每天看的页数相同，每天看的页数和需要的天数如下图。 （1）每天看的页数和需要的天数是否成比例？如果成比例，那么成什么比例？为什么？ （2）如果8天看完这本书，那么每天要看（    ）页。 【变式训练】张老师要从学校去60km远的县城学习，不同交通工具所需的时间如下表。 速度/（千米/时） 8 40 20 60 所需的时间/时 7.5 1.5 （1）先把表格填写完整。 （2）题中没有发生变化的量是（    ）。 （3）不同交通工具的速度和所需的时间是否成反比例？请说明理由。 （4）如果小轿车适当提速，速度增加到每时80km，那么张老师大概要多久到县城？ 速度/（千米/时） 8 40 20 60 所需的时间/时 7.5 1.5 3 1 【变式训练】某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 综合训练 1．下面每组中的两个量，成正比例关系的是（    ）。 A．一袋大米50千克，大米的袋数和总质量 B．小明的年龄和身高 C．小丽从家到学校，走了的路程和未走的路程 D．行驶一段路程，行驶的速度和所用的时间 2．六（2）班举行50米×8往返跑测试。折返点在起点的北偏东45°方向。下面说法错误的是（    ）。 A．跑步速度与所用时间成正比例 B．跑步速度与所用时间成反比例 C．向折返点跑是北偏东45°方向 D．向起点跑是南偏西45°方向 3．下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和妈妈的年龄。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高。 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 D．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 4．一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（    ）平方分米。 A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6 5．如果x和y（x、y均不为0）是两种相关联的量，那么下面表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y B．y＋x C． D． 6．下图自行车前齿轮有48齿，后齿轮有16齿。前齿轮转10圈，后齿轮转（    ）圈。 A．10 B．30 C．48 D．16 7．如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 8．生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成( )比例。 9．会议室的面积一定，里面的人数和每人所占的面积成( )比例。 10．中国载人空间站“天宫”在太空中绕地球飞行，其飞行情况记录如下。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/km 7.68 15.36 23.04 30.72 … (1)表格中( )和( )是两种相关联的量，路程随着( )的变化而变化。 (2)路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值表示“天宫”飞行的( )。 (3)因为“天宫”飞行的( )一定，所以“天宫”飞行的( )和( )成( )比例。 11．想一想，填一填。 （1）图中（    ）和（    ）是两个相关联的变化的量。 （2）这段时间内，无人机的最高飞行高度是（    ），最低是（    ）。 （3）在什么时间范围内无人机的飞行高度是上升的？在什么时间范围内是下降的？ 12．用数学的眼光来看成语“立竿见影”是应用了本学期所学的( )知识，同一时间，同一地点，竹的高度和影长成( )比例。 13．小明看一部时长90分钟的科普纪录片，他先以正常速度看了30分钟，然后把播放速度调快至原来的1.5倍。按这个速度，剩下的部分还需要多少分钟才能看完？ 14．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 15．淘气读《西游记》，原计划每天读40页，30天读完。实际每天读60页，实际多少天读完？ 16．自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”。为做好2025年第30个全国中小学生安全教育日宣传活动，教育局提前印刷一批安全教育宣传手册。印刷厂原计划每天印刷1.5万册，12天完成，实际9天就完成了，实际每天印刷多少册？ 17．我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行384千米需要多久？（用比例知识解决） 18．小文在学校量得一棵高2.4米的树的影子长1.8米，同时量得办公楼的影子长12.6米，办公楼高多少米？（用比例解） 19．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18米的楼房的影长是15米，那么同一时刻、同一地点，一根高3米的线竿的影长是多少米？（用比例解决问题） 20．某市计划修一条总长为24千米的公路，一个工程队承接了这项工程。这个工程队6天修了9千米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $