第二单元 比例 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册

第二单元 比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、比例的意义与基本性质 1 二、比例尺 2 三、图形的放大与缩小 2 四、易错点提示 3 考点讲练 3 考点一：比例的认识 3 考点二：解比例 6 考点三：比例的应用 11 考点四：比例尺 15 考点五：图形的放大和缩小 18 综合训练 20 知识梳理 一、比例的意义与基本性质 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。例如：因为6:8=0.75，3:4=0.75，所以6:8和3:4能组成比例，可写成6:8=3:4）。 关键点：判断两个比能否组成比例，需看它们的比值是否相等。 2. 比例各部分的名称 在比例a:b=c:d中，a、d叫做比例的外项，b、c叫做比例的内项。例如在3:4=6:8中，外项是3和8，内项是4和6。 3. 比例的基本性质 性质内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为：若a:b=c:d（b、d≠0），则ad=bc。 验证示例：在3:4=6:8中，外项积3×8=24，内项积4×6=24，24=24，符合性质。 4. 解比例 求比例中的未知项叫做解比例。解比例的依据是比例的基本性质。 步骤： ① 根据比例基本性质，将比例转化为外项积=内项积的方程； ② 解方程求出未知项。 示例：解比例2:x=3:6 解：3x=2×6（外项积=内项积） 3x=12 x=4 二、比例尺 1. 比例尺的意义 图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺=图上距离:实际距离（或比例尺=图上距离/实际距离）。 注意：比例尺是一个比，没有单位；计算时图上距离和实际距离的单位需统一（通常统一为厘米）。 2. 比例尺的分类 数值比例尺：用数字形式表示，如1:500000（表示图上1厘米代表实际500000厘米，即5千米）。 线段比例尺：在图上画一条线段，并标注出1厘米代表的实际距离，如 （表示图上1厘米代表实际50千米）。 放大比例尺：比值大于1，用于把较小的物体放大，如2:1（图上2厘米代表实际1厘米）。 缩小比例尺：比值小于1，用于把较大的物体缩小，如1:1000（图上1厘米代表实际1000厘米）。 3. 比例尺的应用 已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离=图上距离÷比例尺。 示例：图上距离5厘米，比例尺1:2000，实际距离=5÷(1/2000)=10000厘米=100米。 已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离=实际距离×比例尺。 示例：实际距离200米（20000厘米），比例尺1:5000，图上距离=20000×(1/5000)=4厘米。 三、图形的放大与缩小 1. 意义 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2. 关键要素 缩放比：放大或缩小后的图形与原图形对应边的比。若缩放比为n:1（n>1），表示放大；若为1:n（n>1），表示缩小。 形状不变：对应角的度数不变，对应边的比相等。 3. 面积变化规律 放大或缩小后的图形面积与原图形面积的比是缩放比的平方。例如：把一个长方形按2:1放大，放大后的面积是原面积的2²=4倍。 4. 实例 将一个边长为3厘米的正方形按3:1放大，放大后边长为3×3=9厘米，面积为9×9=81平方厘米（原面积3×3=9平方厘米，81÷9=9=3²）。 四、易错点提示 1.比例与比的区别：比是表示两个数相除（如3:4），比例是表示两个比相等的式子（如3:4=6:8）。 2.正比例与反比例的判断：先判断两种量是否相关联，再看是比值一定（正比例）还是乘积一定（反比例）。 3.比例尺单位换算：1千米=100000厘米，计算时需先统一单位（如将千米换算成厘米，乘100000）。 考点讲练 考点一：比例的认识 【典例精讲】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【答案】①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝； 【分析】根据“两内项之积等于两外项之积”判定哪组中的两个比可以组成比例。 【详解】①0.8∶0.4和3.2∶1.6中0.8×1.6＝1.28，3.2×0.4＝1.28， 3.2×0.4＝0.8×1.6，即0.8∶0.4和3.2∶1.6可以组成比例。 ②和10∶ 6中，，，即和10∶ 6不可以组成比例。 ③和中，，即，即和不可以组成比例。 ④48∶16和中，，即48∶16和可以组成比例。 即①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝。 【变式训练】在一个比例里，两个外项都是质数且相加和为7，一个内项是0.5，另一个内项是( )。 【答案】20 【分析】已知一个比例里的两个外项都是质数且相加和为7，先根据质数的定义确定这两个外项；再根据比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，把两个外项相乘求出积，也是两个内项的积，再用积除以已知的一个内项，即可求出另一个内项。 【详解】7＝2＋5 两个外项是2和5。 两个外项的积是：2×5＝10 两个内项的积也是10。 10÷0.5＝20 所以，另一个内项是20。 【变式训练】如果ab＝15，那么（    ）。 A．15∶b＝1∶a B．b∶a＝15∶1 C．15∶a＝b∶1 D．a∶b＝15∶1 【答案】C 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把各选项的比例式改写成两数相乘的形式，找出与ab＝15一样的等式即可。 【详解】A．由15∶b＝1∶a可得：15a＝b×1，即15a＝b，与题意不符； B．b∶a＝15∶1可得：15a＝b×1，即15a＝b，与题意不符； C．15∶a＝b∶1可得：ab＝15×1，即ab＝15，符合题意； D．a∶b＝15∶1可得：15b＝a×1，即15b＝a，与题意不符。 故答案为：C 【变式训练】下面各组中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．1∶7和7∶1 B．6∶10和3∶5 C．0.2∶0.8和0.3∶0.7 D．和 【答案】B 【分析】根据比例的意义，判断两个比能否组成比例，需验证它们的比值是否相等。若相等，则可以组成比例。 【详解】A． ，所以1∶7和7∶1不可以组成比例。 B． ，所以6∶10和3∶5可以组成比例。 C． ，所以0.2∶0.8和0.3∶0.7不可以组成比例。 D． ，所以和不可以组成比例。 故答案为：B 考点二：解比例 【典例精讲】求未知数x。 3x÷1.5＝1.5                       【答案】x＝0.75；x＝24；x＝18 【分析】根据等式的性质，两边先同时乘1.5，再两边同时除以3求解出x； 先计算出，然后根据等式的性质，两边同时除以求解出x； 根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”将比例转化为方程0.2x＝2.4×1.5，先计算2.4×1.5，然后根据等式的性质，两边同时除以0.2求解出x。 【详解】3x÷1.5＝1.5 解：3x÷1.5×1.5＝1.5×1.5 3x＝2.25 3x÷3＝2.25÷3 x＝0.75 解：x＝8 x÷＝8÷ x＝8×3 x＝24 解：0.2x＝2.4×1.5 0.2x＝3.6 0.2x÷0.2＝3.6÷0.2 x＝18 【变式训练】解方程或解比例。 20∶x＝∶12      x－4.3＝7.7 【答案】x＝600；x＝14 【分析】20∶x＝∶12，根据比例的基本性质，先写成x＝20×12的形式，两边同时÷即可； x－4.3＝7.7，根据等式的性质1和2，两边同时＋4.3，再同时÷即可。 【详解】20∶x＝∶12 解：x＝20×12 x÷＝240÷ x＝240× x＝600 x－4.3＝7.7 解：x－4.3＋4.3＝7.7＋4.3 x＝12 x÷＝12÷ x＝12× x＝14 【变式训练】解方程或比例。 （1）x－85%x＝750 （2）＝     （3）1.2∶x＝5∶1.5 【答案】（1）x＝5000；（2）x＝3；（3）x＝0.36 【分析】（1）先将方程左边进行合并，再结合等式的基本性质2，将方程的两边同时除以0.15，从而得出答案； （2）利用交叉相乘积相等，将比例转化为3x＝5×1.2，将方程的两边同时除以3，从而得出答案； （3）利用比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将比例转化为5x＝1.2×1.5，将方程的两边同时除以5，从而得出答案。 【详解】（1）x－85%x＝750 解：x－0.85x＝750 0.15x＝750 x＝750÷0.15 x＝5000 （2）＝ 解：3x＝5×1.2 3x＝6 x＝6÷2 x＝3 （3）1.2∶x＝5∶1.5 解：5x＝1.2×1.5 5x＝1.8 x＝1.8÷5 x＝0.36 【变式训练】解比例。 ①    ②    ③ 【答案】①；②；③ 【分析】①，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷0.4即可； ②，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷15即可； ③，根据比例的基本性质，先写成的形式，将百分数和小数都化成分数，即，两边同时÷，再同时＋3即可。 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： 考点三：比例的应用 【典例精讲】乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 【答案】60毫升 【分析】把240mL：500mL化简，再与3：7比较即可确定需要加水还是加酸梅原汁。加水、不是加酸梅原汁。设乐乐应该再往酸梅汤中加水x毫升，则这时的水是毫升，所以就等于，由此列出比例解答即可。 【详解】因为，，所以应往酸梅汤中加水。 解：设应往酸梅汤中加水x毫升。                                                                答：应往酸梅汤中加水，加60毫升。 【变式训练】用食盐水浸泡菠萝，能缓解菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，让菠萝更香甜可口。水果超市将10g食盐与80g水配制成食盐水来浸泡菠萝。 （1）现有20g食盐，需要多少克水？ （2）700g水里需要加多少克食盐？ 【答案】（1）160g （2）87.5g 【分析】（1）设需要xg水，根据“食盐的质量：水的质量＝10：80”列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 （2）设700g水里需要加yg食盐，根据“食盐的质量：水的质量＝10：80”列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 【详解】（1）解：设需要xg水。                                        答：需要160g水。 （2）解：设700g水里需要加yg食盐。                                       答：700g水里需要加87.5g食盐。 【变式训练】用弹簧称物体，称3千克的物体，弹簧长11.5厘米；称4千克的物体，弹簧长12厘米。称6千克的物体时，弹簧长多少厘米？ 【答案】13厘米 【分析】称4千克物体比称3千克物体多伸长了（12－11.5）厘米，可求出称1千克物体伸长了多少厘米，再用11.5减去挂3千克物体伸长的长度就是弹簧的原长；因物体质量与弹簧伸长的长度的比值一定，根据正比例的意义可知：物体质量与弹簧伸长的长度成正比例，列出比例式，求出称6千克的物体时，弹簧伸长的长度，进而解决问题。 【详解】弹簧的原长： 11.5－（12－11.5）×3 ＝11.5－1.5 ＝10（厘米） 解：设称6千克的物体时，弹簧伸长x厘米， （11.5－10）∶3＝x∶6 3x＝9 x＝3 10＋3＝13（厘米） 答：称6千克的物体时，弹簧全长13厘米。 【点睛】本题的关键是求出弹簧挂1千克物体伸长的长度，然后列比例进行解答。 【变式训练】给一间小型会议室铺地砖，用面积0.09m2的方砖铺地，正好需要100块，如果改用边长0.2m的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】225块 【分析】由题意可知，会议室的面积是一定的，一块方砖的面积和方砖的块数成反比例，可列等量关系式，据此解答即可。 【详解】解：设需要x块。 0.09×100＝0.2×0.2×x 0.04x＝9 x＝225 答：需要225块方砖。 【点睛】本题考查用比例解决问题，列出等量关系式是解题的关键。 考点四：比例尺 【典例精讲】在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【答案】168千米 【分析】题目中线段比例尺的意思是，图上1厘米相当于实际距离30千米，已知量得两地距离是14厘米，那么实际相距（30×14）千米； 已知甲、乙两车的速度比是2∶3，当行驶时间一定时，两车的路程比等于速度比2∶3；即相遇时，甲车行了全程的，根据求一个数的几分之几是多少，用全程乘求出甲车行驶的路程。 【详解】30×14＝420（千米） 420× ＝420× ＝168（千米） 答：相遇时甲车行驶了168千米。 【变式训练】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得清远到深圳之间的距离是7厘米。李叔叔从深圳开车回清远用了3小时，李叔叔平均每小时行驶多少千米？ 【答案】70千米 【分析】由比例尺1∶3000000可知图上距离1厘米代表实际距离3000000厘米，也就是30千米，已知清远到深圳之间的图上距离是7厘米，两地的实际距离也就是7个30千米，用乘法计算；又已知从深圳开车回清远用了3小时，最后根据“速度＝路程÷时间”计算出平均每小时行驶多少千米。 【详解】3000000厘米＝30千米 7×30＝210（千米） 210÷3＝70（千米） 答：李叔叔平均每小时行驶70千米。 【变式训练】在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两城之间的距离是9厘米。货车和客车同时从A、B两城相向开出，5时相遇。货车和客车的速度比是7∶8，客车每时行多少千米？ 【答案】48千米 【分析】根据题意，用图上距离除以比例尺求出A、B两城之间的实际距离，然后再除以5，求出货车和客车的速度和，再根据货车和客车的速度比是7∶8，可知客车占速度和的求出客车的速度即可。 【详解】9÷＝45000000（厘米） 45000000厘米＝450千米 450÷5＝90（千米/时） 90× ＝90× ＝48（千米/时） 答：客车每时行48千米。 【变式训练】在比例尺为的地图上量得A、B两地的距离为12厘米，甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，2时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度比为5∶3，则甲乙两车的速度各是多少？ 【答案】甲车75千米/时；乙车45千米时 【分析】线段比例尺的意思是，图上1厘米相当于实际距离20千米；已知地图上量得A、B两地的距离为12厘米，那么A、B两地实际相距（20×12）千米；再根据相遇问题的公式“速度和＝路程÷相遇时间”，求出甲乙两车的速度和； 已知甲、乙两车的速度比为5∶3，即甲车、乙车的速度分别占两车速度和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用两车的速度和分别乘、，即可求出甲车、乙车的速度。 【详解】A、B两地的距离：20×12＝240（千米） 甲、乙两车的速度和：240÷2＝120（千米/时） 甲车的速度： 120× ＝120× ＝75（千米/时） 乙车的速度： 120× ＝120× ＝45（千米/时） 答：甲车的速度是75千米/时，乙车的速度是45千米时。 考点五：图形的放大和缩小 【典例精讲】将一个直角三角形的各边按4∶1放大后，下面变为原来的4倍的是（    ）。 A．直角三角形各内角的度数 B．直角三角形的面积 C．直角三角形的周长 【答案】C 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。将一个直角三角形的各边按4∶1放大后，放大后的各条边的长＝原来直角三角形各条边的长×4，所以周长变为原来的4倍。 A．图形放大后对应角的度数不变； B．采用赋值法进行分析，假设两直角边分别是2厘米和1厘米，分别计算出放大后的两直角边，根据三角形面积＝底×高÷2，分别计算出放大前后的面积，用放大后的面积÷原来的面积，确定倍数关系； C．三角形的周长是三条边的长度和，各边按4∶1放大后，对应边长的比相等，周长的比相等。 【详解】A．直角三角形各内角的度数不变，排除； B．假设两直角边分别是2厘米和1厘米。 2×4＝8（厘米）、1×4＝4（厘米） 8×4÷2＝16（平方厘米） 2×1÷2＝1（平方厘米） 16÷1＝16 直角三角形的面积变为原来的16倍，排除； C．直角三角形的周长变为原来的4倍。 将一个直角三角形的各边按4∶1放大后，变为原来的4倍的是直角三角形的周长。 故答案为：C 【变式训练】按比例放大或者缩小后的图形与原来的图形相比，大小变了，形状没变。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，按比例放大或缩小图形，是指图形各边的长度按照相同的比例进行放大或缩小，由于各边的比例关系保持不变，所以图形的形状不会改变，而边长的变化会导致图形的大小发生改变，据此解答。 【详解】按比例放大或缩小后的图形，各边比例不变，形状不变，大小改变。 故答案为：√ 【变式训练】如图，如果明明和乐乐分别将教室的黑板画了下来，明明是按1∶m的比画的，那么乐乐是按( )的比画的。 【答案】1∶ 【分析】根据题意，明明按1∶m的比画黑板，图上长度是6厘米，实际长度为图上长度乘比例尺后项；乐乐图上长度是12厘米，用其图上长度比实际长度并化简，即可得乐乐的比例尺，据此解答。 【详解】求黑板实际长度：6×m＝6m（厘米） 求乐乐的比例尺：12∶6m＝（12÷6）∶（6m÷6）＝2∶m＝（2÷2）∶（m÷2）＝1∶​ 综上所述可得，那么乐乐是按1∶的比画的。 【变式训练】按要求在下面方格纸上画图。画出下面的图形按2∶1放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】放大后的图形的边长是原图形的2倍，据此作图即可。 【详解】根据要求作图如下： 综合训练 1．下面的图形是按一定的比例缩小的，x是（    ）。 A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据“原来长方形的长∶缩小后长方形的长＝原来长方形的宽∶缩小后长方形的宽”，列比例：12∶x＝8∶5，解比例，即可解答。 【详解】12∶x＝8∶5 解：8x＝12×5 8x＝60 x＝60÷8 x＝7.5 图形是按一定的比例缩小的，x是7.5。 故答案为：B 2．凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】根据题意可知，A的个数∶奖卡的个数＝10∶3，由此即可设他是用个A换的15张奖卡，则列出方程10∶3＝∶15，根据比例的基本性质内项之积等于外项之积即可解方程。 【详解】解：设他是用个A换的15张奖卡 10∶3＝∶15 即他是用50个A换的15张奖卡。 故答案为：D 3．一个长方形游泳池长50m，宽30m，选用比例尺（    ）画出的平面图最大，选用比例尺（    ）画出的平面图最小。 A．1∶1000；1∶500 B．1∶1500；1∶1000 C．1∶500；1∶1500 D．1∶900；1∶1500 【答案】C 【分析】比例尺越大（即分母越小），图纸上的距离与实际距离的比例就越大，绘制的平面图也就越大；反之，比例尺越小（即分母越大），绘制的平面图就越小。 【详解】要使画出的平面图最大，则选取的比例尺最大（分母小）；要使画出的平面图最小，则选取的比例尺最小（分母大）。 500＜900＜1000＜1500，即选用比例尺1∶500画出的平面图最大，选用比例尺1∶1500画出的平面图最小。 故答案为：C 4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第一个比的后项加上30，两个内项的积，用第一个比的后项增加30后两个内项的积除以35，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【详解】（10＋30）×21 ＝40×21 ＝840 840÷35－6 ＝24－6 ＝18 所以第二个比的后项应加上18才能使该比例成立。 故答案为：D 【点睛】本题的解题关键是：先算出第一个比的后项加30后的数值，再依据比例内项积等于外项积，求出变化后第二个比的后项，最后用该数值减去原后项，得到需添加的数。 5．河北省邯郸市有一座长32m的学步桥，其名源于成语“邯郸学步”。将它绘制在一幅比例尺为1∶160的地图上，学步桥在该地图上的长应为（    ）。 A．0.2cm B．2cm C．5cm D．20cm 【答案】D 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。 【详解】 学步桥在该地图上的长应为20cm。 故答案为：D 6．一种精密零件长3毫米，把它画在比例尺是12∶1的图纸上，零件长应是（    ）厘米。 A．0.025 B．0.25 C．3.6 D．36 【答案】C 【分析】比例尺12∶1表示图上距离是实际距离的12倍。计算图上距离（毫米）：实际零件长3毫米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，图上距离为3×12＝36毫米。单位换算（厘米）：因为1厘米＝10毫米，所以36毫米＝3.6厘米，据此解答。 【详解】图上距离：3×12＝36（毫米） 单位换算：36÷10＝3.6（厘米） 零件长应是3.6厘米。 故答案为：C 7．中国空间站又称“天宫空间站”，它距离地球表面约400~450km。把它画在一幅比例尺是1∶20000000的图上，在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是( )cm，最远距离是( )cm。 【答案】 2 2.25 【分析】已知天宫空间站距离地球表面最近和最远的实际距离和比例尺，首先根据1km＝100000cm，将单位换算为cm，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，计算得出在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离和最远距离。 【详解】400×100000＝40000000（cm） 450×100000＝45000000（cm） 40000000×＝2（cm） 45000000×＝2.25（cm） 即在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是2cm，最远距离是2.25cm。 8．一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 【答案】 1200 600 3 【分析】观察题目，每空单位都是厘米，所以首先根据“1厘米＝10毫米”将零件的实际长度的单位换算为厘米，得到60毫米＝6厘米，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”进行计算即可。 【详解】比例尺：200∶1＝200；100∶1＝100；1∶2＝ 60毫米＝6厘米 6×200＝1200（厘米） 6×100＝600（厘米） 6×＝3（厘米） 一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画1200厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画600厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画3厘米。 9．在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是( )或( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”，设第四个数为x，即：x＝×；x＝×；解出方程即可。 【详解】解：设第四个数为x。 x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×2 x＝ x＝× x＝ x÷＝÷ x＝×6 x＝ 所以在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是或。 （答案不唯一） 10．李叔叔是汽轮机厂的工程师，他要将一个长4mm、宽2mm的零件按200∶1的比例画在一张纸上，图上零件的长是 dm，宽是 dm。 【答案】 8 4 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，用零件的实际长和宽分别乘，分别求出图上零件的长和宽各是多少mm，再把mm化成dm即可。 【详解】4×＝800（mm） 2×＝400（mm） 800mm＝8dm 400mm＝4dm 所以图上零件的长是8dm，宽是4dm。 11．小刘把一张长7厘米、宽3.5厘米的工程图纸按照4∶1放大，放大后的图纸面积是( )平方厘米。 【答案】392 【分析】按照4∶1放大，就是把长7厘米、宽3.5厘米的工程图纸的长和宽都扩大到原来的4倍，据此求出扩大后的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽解答。 【详解】7×4＝28（厘米） 3.5×4＝14（厘米） 28×14＝392（平方厘米） 所以放大后的图纸面积是392平方厘米。 12．在一张地图上，画有一条线段比例尺，把它写成数值比例尺的形式是( )，南京到上海约320千米，两地间的图上距离是( )厘米。 【答案】 1∶5000000 6.4 【分析】线段比例尺表示图上1厘米对应实际距离50千米，因为1千米＝100000厘米，所以50千米转化为厘米是50×100000＝5000000厘米，根据数值比例尺的定义（图上距离与实际距离的比），可将线段比例尺转化为数值比例尺。 已知实际距离和数值比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”来计算南京到上海的图上距离，计算前要先统一单位。 【详解】1千米＝100000厘米 50×100000＝5000000（厘米） 所以数值比例尺为1∶5000000。 320×100000＝32000000（厘米） 1∶5000000＝ 32000000×＝6.4（厘米） 数值比例尺是1∶5000000，南京到上海的图上距离是6.4厘米。 13．解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                【答案】x＝4.05；x＝2；x＝19 【分析】根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以3.2； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以24； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以。 【详解】 解：                                   解：                              解：                         14．解比例。 ＝    x∶10＝∶    ∶x＝5%∶0.6 【答案】x＝0.32；x＝20；x＝6 【分析】＝，解比例，原式化为：5x＝0.8×2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 x∶10＝∶，解比例，原式化为：x＝10×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 ∶x＝5%∶0.6，解比例，原式化为：5%x＝×0.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5%即可。 【详解】＝ 解：5x＝0.8×2 5x＝1.6 5x÷5＝1.6÷5 x＝0.32 x∶10＝∶ 解：x＝10× x＝ x÷＝÷ x＝×8 x＝20 ∶x＝5%∶0.6 解：5%x＝×0.6 5%x＝0.3 5%x÷5%＝0.3÷5% x＝6 15．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 【答案】2000克 【分析】根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 【详解】解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 16．一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】图上距离＝比例尺×实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据新的比例尺，求出图上距离。 【详解】30千米＝3000000厘米 15÷ ＝15×3000000 ＝45000000（厘米） 45000000×＝9（厘米） 答：甲、乙两地之间的距离应该画9厘米。 17．在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【答案】12小时 【分析】先根据比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，用18厘米除以即可计算出北京到西安的实际距离，然后根据1千米＝1000米＝100000厘米，将该距离单位从厘米转换为千米，用北京到西安的实际距离除以自驾的速度90千米/小时即可求出从北京到西安需要多少小时。 【详解】18÷=18×6000000＝108000000（厘米） 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷90＝12（小时） 答：从北京到西安需要12小时。 18．在比例尺是1∶200的平面图上，多媒体教室长4厘米，宽3厘米。这间多媒体教室的实际面积是多少平方米？ 【答案】48平方米 【分析】首先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算得出多媒体教室实际的长和宽，分别为4÷＝800（厘米）和3÷＝600（厘米），再根据“1米＝100厘米”，进行单位换算，最后根据“长方形面积＝长×宽”即可计算得出多媒体教室的实际面积。 【详解】4÷ ＝4×200 ＝800（厘米） 800厘米＝8米 3÷ ＝3×200 ＝600（厘米） 600厘米＝6米 8×6＝48（平方米） 答：这间多媒体教室的实际面积是48平方米。 19．经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 【答案】190厘米 【分析】根据题意可知，长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，模型高度∶实际高度＝1∶30，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设模型高度为x米。 x∶57＝1∶30 30x＝57×1 30x＝57 x＝57÷30 x＝1.9 1.9米＝190厘米 答：此模型的高度是190厘米。 20．在一幅比例尺是1∶5000000的图上，量得甲城到乙城的距离是9厘米。一辆汽车从甲城开往乙城，每小时行驶60千米，8小时后能到达乙城吗？ 【答案】能 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出甲城到乙城的实际距离是多少厘米，再把厘米化成千米，再根据路程÷速度＝时间，求出这辆汽车从甲城到乙城需要的时间，再和8小时进行比较即可解答。 【详解】9÷ ＝9×5000000 ＝45000000（厘米） 45000000厘米＝450千米 450÷60＝7.5（小时） 7.5＜8 答：8小时后能到达乙城。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、比例的意义与基本性质 1 二、比例尺 2 三、图形的放大与缩小 2 四、易错点提示 3 考点讲练 3 考点一：比例的认识 3 考点二：解比例 6 考点三：比例的应用 11 考点四：比例尺 15 考点五：图形的放大和缩小 18 综合训练 20 知识梳理 一、比例的意义与基本性质 1. 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。例如：因为6:8=0.75，3:4=0.75，所以6:8和3:4能组成比例，可写成6:8=3:4）。 关键点：判断两个比能否组成比例，需看它们的比值是否相等。 2. 比例各部分的名称 在比例a:b=c:d中，a、d叫做比例的外项，b、c叫做比例的内项。例如在3:4=6:8中，外项是3和8，内项是4和6。 3. 比例的基本性质 性质内容：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为：若a:b=c:d（b、d≠0），则ad=bc。 验证示例：在3:4=6:8中，外项积3×8=24，内项积4×6=24，24=24，符合性质。 4. 解比例 求比例中的未知项叫做解比例。解比例的依据是比例的基本性质。 步骤： ① 根据比例基本性质，将比例转化为外项积=内项积的方程； ② 解方程求出未知项。 示例：解比例2:x=3:6 解：3x=2×6（外项积=内项积） 3x=12 x=4 二、比例尺 1. 比例尺的意义 图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺=图上距离:实际距离（或比例尺=图上距离/实际距离）。 注意：比例尺是一个比，没有单位；计算时图上距离和实际距离的单位需统一（通常统一为厘米）。 2. 比例尺的分类 数值比例尺：用数字形式表示，如1:500000（表示图上1厘米代表实际500000厘米，即5千米）。 线段比例尺：在图上画一条线段，并标注出1厘米代表的实际距离，如 （表示图上1厘米代表实际50千米）。 放大比例尺：比值大于1，用于把较小的物体放大，如2:1（图上2厘米代表实际1厘米）。 缩小比例尺：比值小于1，用于把较大的物体缩小，如1:1000（图上1厘米代表实际1000厘米）。 3. 比例尺的应用 已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离=图上距离÷比例尺。 示例：图上距离5厘米，比例尺1:2000，实际距离=5÷(1/2000)=10000厘米=100米。 已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离=实际距离×比例尺。 示例：实际距离200米（20000厘米），比例尺1:5000，图上距离=20000×(1/5000)=4厘米。 三、图形的放大与缩小 1. 意义 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小，得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2. 关键要素 缩放比：放大或缩小后的图形与原图形对应边的比。若缩放比为n:1（n>1），表示放大；若为1:n（n>1），表示缩小。 形状不变：对应角的度数不变，对应边的比相等。 3. 面积变化规律 放大或缩小后的图形面积与原图形面积的比是缩放比的平方。例如：把一个长方形按2:1放大，放大后的面积是原面积的2²=4倍。 4. 实例 将一个边长为3厘米的正方形按3:1放大，放大后边长为3×3=9厘米，面积为9×9=81平方厘米（原面积3×3=9平方厘米，81÷9=9=3²）。 四、易错点提示 1.比例与比的区别：比是表示两个数相除（如3:4），比例是表示两个比相等的式子（如3:4=6:8）。 2.正比例与反比例的判断：先判断两种量是否相关联，再看是比值一定（正比例）还是乘积一定（反比例）。 3.比例尺单位换算：1千米=100000厘米，计算时需先统一单位（如将千米换算成厘米，乘100000）。 考点讲练 考点一：比例的认识 【典例精讲】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【变式训练】在一个比例里，两个外项都是质数且相加和为7，一个内项是0.5，另一个内项是( )。 【变式训练】如果ab＝15，那么（    ）。 A．15∶b＝1∶a B．b∶a＝15∶1 C．15∶a＝b∶1 D．a∶b＝15∶1 【变式训练】下面各组中的两个比可以组成比例的是（    ）。 A．1∶7和7∶1 B．6∶10和3∶5 C．0.2∶0.8和0.3∶0.7 D．和 考点二：解比例 【典例精讲】求未知数x。 3x÷1.5＝1.5                       【变式训练】解方程或解比例。 20∶x＝∶12      x－4.3＝7.7 【变式训练】解方程或比例。 （1）x－85%x＝750 （2）＝     （3）1.2∶x＝5∶1.5 【变式训练】解比例。 ①    ②    ③ 考点三：比例的应用 【典例精讲】乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 【变式训练】用食盐水浸泡菠萝，能缓解菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，让菠萝更香甜可口。水果超市将10g食盐与80g水配制成食盐水来浸泡菠萝。 （1）现有20g食盐，需要多少克水？ （2）700g水里需要加多少克食盐？ 【变式训练】用弹簧称物体，称3千克的物体，弹簧长11.5厘米；称4千克的物体，弹簧长12厘米。称6千克的物体时，弹簧长多少厘米？ 【变式训练】给一间小型会议室铺地砖，用面积0.09m2的方砖铺地，正好需要100块，如果改用边长0.2m的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 考点四：比例尺 【典例精讲】在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【变式训练】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得清远到深圳之间的距离是7厘米。李叔叔从深圳开车回清远用了3小时，李叔叔平均每小时行驶多少千米？ 【变式训练】在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两城之间的距离是9厘米。货车和客车同时从A、B两城相向开出，5时相遇。货车和客车的速度比是7∶8，客车每时行多少千米？ 【变式训练】在比例尺为的地图上量得A、B两地的距离为12厘米，甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，2时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度比为5∶3，则甲乙两车的速度各是多少？ 考点五：图形的放大和缩小 【典例精讲】将一个直角三角形的各边按4∶1放大后，下面变为原来的4倍的是（    ）。 A．直角三角形各内角的度数 B．直角三角形的面积 C．直角三角形的周长 【变式训练】按比例放大或者缩小后的图形与原来的图形相比，大小变了，形状没变。( ) 【变式训练】如图，如果明明和乐乐分别将教室的黑板画了下来，明明是按1∶m的比画的，那么乐乐是按( )的比画的。 【变式训练】按要求在下面方格纸上画图。画出下面的图形按2∶1放大后的图形。 综合训练 1．下面的图形是按一定的比例缩小的，x是（    ）。 A．6 B．7.5 C．8 D．10 2．凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 3．一个长方形游泳池长50m，宽30m，选用比例尺（    ）画出的平面图最大，选用比例尺（    ）画出的平面图最小。 A．1∶1000；1∶500 B．1∶1500；1∶1000 C．1∶500；1∶1500 D．1∶900；1∶1500 4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 5．河北省邯郸市有一座长32m的学步桥，其名源于成语“邯郸学步”。将它绘制在一幅比例尺为1∶160的地图上，学步桥在该地图上的长应为（    ）。 A．0.2cm B．2cm C．5cm D．20cm 6．一种精密零件长3毫米，把它画在比例尺是12∶1的图纸上，零件长应是（    ）厘米。 A．0.025 B．0.25 C．3.6 D．36 7．中国空间站又称“天宫空间站”，它距离地球表面约400~450km。把它画在一幅比例尺是1∶20000000的图上，在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是( )cm，最远距离是( )cm。 8．一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 9．在、和这三个数，再加一个数可以组成比例，这个数可以是( )或( )。 10．李叔叔是汽轮机厂的工程师，他要将一个长4mm、宽2mm的零件按200∶1的比例画在一张纸上，图上零件的长是 dm，宽是 dm。 11．小刘把一张长7厘米、宽3.5厘米的工程图纸按照4∶1放大，放大后的图纸面积是( )平方厘米。 12．在一张地图上，画有一条线段比例尺，把它写成数值比例尺的形式是( )，南京到上海约320千米，两地间的图上距离是( )厘米。 13．解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                14．解比例。 ＝    x∶10＝∶    ∶x＝5%∶0.6 15．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 16．一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 17．在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 18．在比例尺是1∶200的平面图上，多媒体教室长4厘米，宽3厘米。这间多媒体教室的实际面积是多少平方米？ 19．经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 20．在一幅比例尺是1∶5000000的图上，量得甲城到乙城的距离是9厘米。一辆汽车从甲城开往乙城，每小时行驶60千米，8小时后能到达乙城吗？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $