精品解析：广东省湛江市第十四中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

湛江市第十四中学2025-2026学年度第一学期期末测评 九年级数学学科 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 温故知新 B. 水滴石穿 C. 水中捞月 D. 日出东方 3. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. 2 D. 3 4. 若一个角的余角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 以原点 为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点 的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 6. 下列各式中，从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是( ) A. B. C. D. 9. 如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共15分） 11. 分解因式：=____． 12. 若，则___________ 13. 如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为___________． 14. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为___________ 15. 如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边 上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为________． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的非负整数解． 18. 数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和 的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 20. 第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件． （1）请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？ （2）第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？ 21. 如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： （1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点 与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点 是否在安全距离内?请说明理由． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交 于点 ，为 延长线上一点，．求证：． 23. 如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点. （1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下： ①若，，求的长； ②设，，当时，求y关于x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第十四中学2025-2026学年度第一学期期末测评 九年级数学学科 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 温故知新 B. 水滴石穿 C. 水中捞月 D. 日出东方 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知不可能事件是指永远不会发生的事件．通过分析各选项词语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】解： A.“温故知新”指复习旧知识获得新理解，是可能事件，不符合题意； B.“水滴石穿”指水滴长期滴落可穿石，是可能事件，不符合题意； C.“水中捞月”指捞取水中月影，实际不可能实现，是不可能事件，符合题意； D.“日出东方”指太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可． 【详解】解：点A表示的数为﹣2， ﹣2的相反数为2， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 4. 若一个角的余角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 5. 以原点 为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解以原点 为位似中心，与的相似比为，点的坐标为 点的坐标为或，即或 6. 下列各式中，从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，去括号，同类项的合并，积的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用相反数，去括号，合并同类项，积的乘方法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，故不符合题意； B. 不是同类项，无法相加，该选项错误，故不符合题意； C. 不是同类项，无法相减，该选项错误，故不符合题意； D. 为积的乘方运算，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 7. 反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 8. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是6，高是8， ∴圆锥的母线长=， ∴这个圆锥的侧面展开图的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键在于熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式：． 9. 如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，，由勾股定理求出，可得，再证明得，进一步可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 【详解】解：连接 ，过点C作，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为， 第二次旋转后点C的坐标为， 第三次旋转后点C的坐标为， ∵每次旋转，， ∴每旋转4次为一个循环． ∵， ∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共15分） 11. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 12. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ∴ 13. 如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比． 【详解】解：∵， ∴与的面积比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为． 14. 唐代李皋发明的“桨轮船”，靠人力踩动桨轮轴，使桨叶拨水推动船体前进，是近代明轮航行模式的先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为___________ 【答案】##2米 【解析】 【分析】利用垂径定理求出，再根据勾股定理求出，即可由求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴在中， ∴． 15. 如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在 上的点D处，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可． 【详解】过点E作于点G， ∵， ∴设，， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质，；， ， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，得， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握三角函数，折叠的性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算二次根式除法，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 18. 数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______． （2）若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡片D，E） 【答案】（1） （2）这个游戏不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题可得树状图如下： 小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：， 小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：， ∵， ∴这个游戏不公平． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图所示，在平行四边形中，对角线与 相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明； （2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形． 本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，对角线与 相交于点O，，， ，． ， ，即， 为直角三角形，， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知为直角三角形． E，F分别是和的中点， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形． 又∵， 平行四边形是菱形． 20. 第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件． （1）请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？ （2）第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？ 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，根据第一季度卖出256件和第三季度卖出400件，列出方程即可解答； （2）设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，然后根据利润（售价进价）卖出件数，列出方程即可解答． 【小问1详解】 解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 答：每件公仔应降价10元． 21. 如图是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点 处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决： （1）如图，点 与地面的距离为米，水滑道最低点 与地面的距离为 米，点 到点的水平距离为米，求水滑道所在抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线关于点成中心对称． ①直接写出腾空飞出后的最大高度为 ，抛物线 所对应的二次函数函数表达式为 ； ②腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离应不少于米．那么人飞出后落地点是否在安全距离内?请说明理由． 【答案】（1） （2）①，； ②在安全距离内， 理由如下： 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴人飞出后落地点在安全距离内． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①由中心对称的性质求出抛物线 的顶点坐标，即得腾空飞出后的最大高度，再利用待定系数法求出抛物线 所对应的二次函数函数表达式即可；②求出的坐标，可得的长，再求出的长，进而即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，中心对称的性质，正确求出二次函数解析是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得，，， ∵点是水滑道所在抛物线的解析式顶点， 设水滑道所在抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴水滑道所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线关于点成中心对称， ∴抛物线 的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ∴抛物线 的顶点坐标为， ∴腾空飞出后的最大高度为， 设抛物线 的函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线 的函数表达式为， 故答案为：，； ②略 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则 、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）； （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）略 （3）略 23. 如图，的半径为5，为直径，E为 上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点. （1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下： ①若，，求的长； ②设，，当时，求y关于x的函数关系式． 【答案】（1）①，②，③，证明见详解 （2）①3，② 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质及勾股定理． （1）先证明，得同位角相等，再利用等边对等角即可得解； （2）①连接 ，可得，则，所以为等腰直角三角形，即，据此求解即可；②由题易得，再分别表示出、，建立方程求出关系式即可． 【小问1详解】 解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，连接 ，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， 此时四边形是矩形， ∴． ②如图，作，连接 ， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $