精品解析：广东省江门市台山市广州大学台山附属中学教育集团2025-2026学年第一学期期中测试试卷九年级数学

广州大学台山附属中学教育集团2025－2026学年度第一学期期中测试试卷 九年级数学 说明：1．本试题卷共5页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，在本试题卷上作答无效．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答案填写在答题卡上． 1. 下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案. 【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程； B、是一元二次方程； C、含有2个未知数，不是一元二次方程； D、方程化简，得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 2. 抛物线与轴交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：， ， ∴或， 解得，. 4. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则推导平移后的解析式. 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向下平移2个单位，得； 故所得抛物线解析式为. 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式与0的大小关系，即可判断方程实数根的情况. 【详解】∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根. 7. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题依据抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式这一性质，通过将选项中点的横坐标代入解析式计算纵坐标，与选项中的纵坐标对比，即可判断点是否在抛物线上． 【详解】解：∵若点在抛物线上，则其坐标满足， ∴将D选项的横坐标代入解析式得； ∴点在抛物线上； ∵将A选项代入得，B选项代入得，C选项代入得 ∴A、B、C选项的点均不在抛物线上 综上，答案为D． 8. 九年级1907班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全组共有名同学，每人赠送的图书数为：本，可得图书总数为本，从而可得答案. 【详解】解：设全组共有名同学，而每人赠送的图书数为：本，则 故选：D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟悉互相赠送纪念品时，礼品总数的表示是解题的关键. 9. 已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象和性质，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同，分两种情况讨论： 和． 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，因为抛物线开口向下，所以，因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知，因为抛物线的对称轴为，即，所以；根据函数图象可知，当时，，当时，；二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根；结合，，可求得． 【详解】因为抛物线开口向下，所以． 因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知． 因为抛物线的对称轴为，即，所以． 所以． 结论①错误． 根据函数图象可知，当时，，即． 结论②错误． 根据函数图象可知，当时，，可得，即． 结论③正确． 二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根，即根的判别式． 结论④正确． 由上述证明可知，，可得 ，即 ． 变形，得 ． 结论⑤正确． 综上所述，结论正确的为③④⑤，共个． 故选：B 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷） 11. 一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 【解析】 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 13. 一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 14. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，依据顶点式的性质直接确定顶点坐标. 【详解】解：∵ ； ∴顶点坐标为. 15. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用直接开方法解一元二次方程； （2）运用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 即， 解得：， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 17. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求函数的解析式： （2）求抛物线与轴的另一个交点的坐标，并结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，以及二次函数与一元二次方程： （1）采用待定系数法求解即可； （2）因为抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标即为一元二次方程的根． 【小问1详解】 抛物线经过，两点，将这两点坐标分别代入，可得 解得 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 因为抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标即为一元二次方程的根． 根据题意可知，一元二次方程的一个根为，设另一个根为，可得 ． 解得 ． 所以交点的坐标为． 根据图象可知，当时，． 18. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有81人患了甲型流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 设是关于x的方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 20. 某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答： （1）每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ （2）如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元 （2）每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程及二次函数解决销售问题，准确理解相关量之间的关系是解题的关键． （1）每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设每件服装降价x元时，商店日盈利y元，则商店平均每天可多售出件，根据题意列出y与x之间的函数关系式，根据二次函数图象性质即可求得y的最大值以及相应的x的值． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元， ∵每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件， ∴每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 方程化简为，， 即， 解得，，， 答：每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元时，商店日盈利y元， 则商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 化简为，， 即， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴当时，y有最大值为1250， 答：每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元． 21. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】（1） （2）最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）根据题意，可设点的坐标为，因为点在直线的图象上，可得 ； （2）因为的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 【小问1详解】 根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． 【小问2详解】 因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，是等腰三角形？ （2）是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； 【小问2详解】 解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： （3）R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州大学台山附属中学教育集团2025－2026学年度第一学期期中测试试卷 九年级数学 说明：1．本试题卷共5页，满分120分，测试用时为120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，在本试题卷上作答无效．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答案填写在答题卡上． 1. 下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与轴交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 8. 九年级1907班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷） 11. 一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 13. 一元二次方程的解是_____． 14. 抛物线的顶点坐标为_____． 15. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求函数的解析式： （2）求抛物线与轴的另一个交点的坐标，并结合图象，直接写出当时，的取值范围． 18. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 设是关于x的方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答： （1）每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ （2）如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，是等腰三角形？ （2）是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： （3）R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $