精品解析：上海市闵行区华漕学校等校2024-2025学年九年级数学第二学期期末考试数学试卷

2025年闵行区九年级第二学期期末考试联考共同体 数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分48分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3. 已知反比例函数的图像经过点（-3，2），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=， 将（-3，2）代入，得：2=， 解得k=-6， 所以这个反比例函数解析式为y=-， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点的坐标满足函数图象的解析式是本题的关键． 4. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ） A. 7 h；7 h B. 8 h；7.5 h C. 7 h ；7.5 h D. 8 h；8 h 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果． 【详解】由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h； 把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数， 而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h， 故选：C． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本题的关键． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 6. 中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ） A. 圆A与圆C相交 B. 圆B与圆C外切 C. 圆A与圆B外切 D. 圆A与圆B外离． 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项． 【详解】∵， ∴， ∵三个圆的半径长都等于2， ∴任意两圆的圆心距都是4， ∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，满分24分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值______钱． 【答案】53 【解析】 【分析】根据题意设一共有x人，列出一元一次方程，解出人数，则可求出该物品值多少钱． 【详解】解：设：一共有x人， 解得：， ∴， ∴该物品值53钱， 故答案为：53． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据题目意思列出方程是解答本题的关键． 8. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数： 国家 挪威 德国 中国 美国 瑞典 荷兰 奥地利 瑞士 俄罗斯代表队 法国 金牌数（枚） 16 12 9 8 8 8 7 7 6 5 那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚． 【答案】8 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解． 【详解】解：排名前十位国家的金牌数的中位数为（8+8）÷2=8． ∴这些国家获得金牌数的中位数是8（枚）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了中位数的定义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 9. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，由等腰直角三角形的面积是1，求得AB＝AC＝，由勾股定理求得BC＝2，即可得到△ABC的周长． 【详解】解：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∵等腰直角三角形的面积是1， ∴， 解得AB＝AC＝， 由勾股定理得，＝＝4， ∴BC＝＝2， ∴△ABC的周长是BC＋AB＋AC＝2＋＋＝， 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的周长等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 10. 正六边形边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】正六边形的半径为人r，根据正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可解得边心距，继而解题． 【详解】如图， 设正六边形的半径OB=r，则外接圆的半径r，， 在中，， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而边心距是， 则正六边形的边心距与半径比值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与外接圆，涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处，那么线段DF ： FC的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为△AFE是由△ADE翻折得到，推出AD=AF=5，EF=DE，设DE=EF=x，在Rt△ABF中，BF==4，推出FC=BC-BF=1，由勾股定理可得DF，从而可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB=3，AD=BC=5 ∵△AFE是由△ADE翻折得到，∴AD=AF=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF==4，∴FC=BC-BF=1， 连接DF，如图， Rt△DFC中，∵ ∴ ∴DF ： FC 故答案为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a、b、c，那么将a、b、c从小到大排列为______． 【答案】b＜a＜c 【解析】 【分析】根据“周率”和“直径”的含义求出a、b、c即可作答． 【详解】根据“周率”的含义求出正三角形和正方形的 “周率”，圆的圆周率是c=π， 设正方形的边长为1，则周长为4，正方形的“直径”为，则， 设正三角形的边长为1，则周长为3，正三角形的“直径”为1，则a=3， 则有：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，根据题意求出a、b、c是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 13. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分数指数幂运算法则，二次根式乘除运算，负指数幂运算法则和去绝对值进行计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分数指数幂运算，负整数指数幂运算，去绝对值，熟练这些运算法则是解题的关键． 14. 解方程：． 【答案】原方程的根是x=3 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理，得， 解这个整式方程，得，， 经检验，是增根，舍去， 所以，原方程得根是． 【点睛】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知某个一次函数的图像平行于直线y＝x，经过点A（-2，1），且与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当△ABC的面积等于2时，求点C的坐标． 【答案】（1）y=x+2 （2）点C的坐标是（0，4），（0，0） 【解析】 【分析】（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），由一次函数图像平行于直线y=x，得k=，由一次函数图像经过点A（-2，1），代入求解即可； （2）设点C的坐标为（0，m），过点A作AH⊥y轴，可得H（0，1），由y=x+2，得直线AB与y轴交于点D（0，2），表示出CD=|m-2|，根据求解即可． 【小问1详解】 设这个一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0）， 由一次函数图像平行于直线y=x，得k= ， 由一次函数图像经过点A（-2，1），得b=2 ， 所以一次函数的解析式是y=x+2； 小问2详解】 如图， 设点C的坐标为（0，m）， 过点A作AH⊥y轴，垂足为H，H（0，1）， ∴AH=2， 由y=x+2，得直线AB与y轴交于点D（0，2）， 所以CD=|m-2|， 与x轴交点B（-4，0）， ∴BO=4， ， 所以， 所以m=4，m=0， 所以点C的坐标是（0，4），（0，0）． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点及三角形的面积问题，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键． 16. 某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米.根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）． （1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度； （2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且．求扶手AD的长度． （参考数据：，，，） 【答案】（1）点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米 （2）扶手AD的长度为米 【解析】 【分析】(1）通过图观察可知BH高度包含3层台阶，因而DH=每级小台阶高度×小台阶层数； (2）首先连接BC，可得四边形ABCD是平行四边形，在Rt△BCH中，利用cos∠CBH，，即可求出AD=BC长． 【小问1详解】 ∵通过图观察可知BH高度包含3层台阶， ∴BH=0.25×3=0.75（米）； 【小问2详解】 连接BC， 由题意得AB//DC，AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD//BC， ∴∠CBH=∠A=66°， ∵∠AHC=90°， ∴Rt△BCH中，cos∠CBH=， ∴（米）， ∴， ∴扶手AD的长度为米． 【点睛】此题考查了三角函数的基本概念，主要是利用余弦概念及运算，从而把实际问题转化为数学问题加以解决． 17. 已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC． （1）如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形； （2）如果，且BC=，连结DE，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为BD=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四边形ADFE是平行四边形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四边形ADFE是菱形； （2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE∽△ACB，再用比例式求出DE的长． 【小问1详解】 证：∵BD=2AD，AE=2EC， ∴， ∵DF//AC， ∴， ∴， ∴EF//AB， ∴四边形ADFE是平行四边形． ∴EF=AD=，DF=AE=． ∵AB=2AC， ∴EF=， ∴EF=DF， ∴四边形ADFE菱形． 【小问2详解】 如图： ∵BD=2AD，AE=2EC， ∴AD=，AE=， ∴， ∵， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴DE=． 【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键． 18. 已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似， ①求点E的坐标；（用含m的代数式表示） ②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值． 【答案】（1）y=-x²+3x-2 （2）①点E的坐标是（0，4-2m）；（0，1-m）；②m的值是5， 【解析】 【分析】（1）因为抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），所以用待定系数法求出a、b的值即可； （2）根据题意A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0），证明△B1OE∽△C1DA1，求出OE的长度，可得E点坐标；由y=-x²+3x-2，得平移后得抛物线表达式是，由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1，当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m），当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m），求出m的即可． 【小问1详解】 解：由抛物线过点A（1，0）、B（2，0），得 ， 解这个方程组得， 所以，抛物线的表达式为y=-x²+3x-2． 【小问2详解】 解：①由题意得，A1（1-m，0），B1（2-m，0），C1（-m，-2），D（-m，0）， ∴DC1=2，DA1=1，OB1=m-2． ∵∠C1DA1=∠B1OE=90°， ∴（i）当时，△B1OE∽△A1DC1， ∴OE=2m-4， ∴E点的坐标是（0，4-2m）； （ii）当时，△B1OE∽△C1DA1， ∴OE=m-1， ∴E点的坐标是（0，1-m）． ②由y=-x²+3x-2， 得平移后得抛物线表达式是， 由平行四边形A1FEB1，得EF//AB，且EF=AB=1， （i）当E点的坐标是（0，4－2m）时，得F（-1，4-2m）， 所以，解方程得m=2(舍去)，m=5； （ii）当E点的坐标是（0，1-m）时，得F（-1，1-m）， 所以，解方程得m=2(舍去)，m=； 所以m的值是5，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的性质，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 19. 如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：； （2）如果，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）∠ABC的正弦值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可证明E为BC的中点，再利用中位线定理可得AC=2OE，OE//AC，证明△ACF∽△DEF，可得结论； （2）连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H，证明△AOF∽△ADO可证得AH=AO，再证明△ACF≌△AHF，可得AC=AH，从而可求得sinB的值． （3）先得出，分当∠AOF=90°和∠AFO=90°两种情况讨论求得即可得出结论． 【小问1详解】 解：连结AC， ∵OD⊥BC， ∴点E是BC的中点， ∵点O是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE，OE//AC， ∴△ACF∽△DEF， ∴， ∴． 【小问2详解】 连结OF，过点F作FH⊥AB，垂足为H， ∵AF·AD=AO²， ∴， ∵∠OAF=∠DAO， ∴△AOF∽△ADO， ∴∠AOF=∠D， ∵OA=OD， ∴∠FAO=∠D， ∴∠FAO=∠FOA， ∴FA=FO， ∴AH=AO. ∵OD//AC， ∴∠CAF=∠D，∠ACB=∠OEB=90°， ∴∠CAF=∠OAF， ∴△ACF≌△AHF， ∴AC=AH=AO. Rt△ABC中，sinB=． 【小问3详解】 ∵AC//OD， ∴， ∵，， ∴， 由题意可知∠FAO≠90°， （i）当∠AOF=90°时， 可得∠B=∠FAO，由∠OAD=∠D，可得∠B=∠D， 由OE⊥FB，得∠FOE=∠B， ∴∠D=∠FOE， ∴OF=FD， ∴DE=OE， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）∠AFO=90°时， 可得DF=FA，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，垂径定理、三角形中位线的判定，圆周角定理等．（1）中能得出AC为△ABC的中位线是解题关键；（2）中能正确构造辅助线是解题关键；（3）需注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年闵行区九年级第二学期期末考试联考共同体 数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分48分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 已知反比例函数图像经过点（-3，2），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ） A. 7 h；7 h B. 8 h；7.5 h C. 7 h ；7.5 h D. 8 h；8 h 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6. 中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ） A. 圆A与圆C相交 B. 圆B与圆C外切 C. 圆A与圆B外切 D. 圆A与圆B外离． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，满分24分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值______钱． 8. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数： 国家 挪威 德国 中国 美国 瑞典 荷兰 奥地利 瑞士 俄罗斯代表队 法国 金牌数（枚） 16 12 9 8 8 8 7 7 6 5 那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚． 9. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是_____． 10. 正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）． 11. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处，那么线段DF ： FC的值为______． 12. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a、b、c，那么将a、b、c从小到大排列为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 13. 计算：． 14. 解方程：． 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知某个一次函数的图像平行于直线y＝x，经过点A（-2，1），且与x轴交于点B． （1）求这个一次函数解析式； （2）设点C在y轴上，当△ABC的面积等于2时，求点C的坐标． 16. 某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米.根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）． （1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度； （2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且．求扶手AD的长度． （参考数据：，，，） 17. 已知：如图，点D、E、F分别在△ABC边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC． （1）如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形； （2）如果，且BC=，连结DE，求DE的长． 18. 已知抛物线经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左平移m个单位（），平移后点A、B、C的对应点分别记作、、，过点作⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、为顶点的三角形与△相似， ①求点E坐标；（用含m的代数式表示） ②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形为平行四边形，求m的值． 19. 如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：； （2）如果，求∠ABC正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $