专题 2.10 三元一次方程组及其解法（专项练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.10 三元一次方程组及其解法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知方程组，则（   ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组的三个方程相加即可求出所求． 解：， 得： ， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法正确消元是解此题的关键． 得出，、、，即可求出z、y、x的值． 解：， 得：， ， 得：， 得：， 得：， 所以原方程组的解为：． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．观察观察未知数x，y，z的系数的绝对值最小公倍数，从而可确定先消去系数的绝对值最小公倍数最小的未知数． 解：观察未知数x的系数的绝对值分别是5，2，7，其最小公倍数为70， 观察未知数y的系数的绝对值分别是7，，，其最小公倍数为105， 观察未知数z的系数的绝对值分别是6，3，2，其最小公倍数为6， 所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去z， 故选：C． 5．已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】本题可通过设苹果、香蕉和砝码的质量为未知数，根据天平平衡的条件列出方程组，然后通过消元法求解出苹果质量与香蕉质量的关系． 设一个苹果的质量为，一根香蕉的质量为，一个砝码的质量为 由第一个天平平衡，可得，化简为 由第二个天平平衡，可得 把代入中，得到，则 所以 即个苹果的质量是1根香蕉质量的倍． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握根据天平平衡建立三元一次方程组，通过消元法求解出苹果与香蕉的质量关系是解题的关键． 7．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用加减消元法解方程，分式的化简求值，熟练掌握用加减消元法解方程是解题的关键． 根据题意得到，代入化简即可． 解：， ， ， 得， ， 得， ， ， 故选：B． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 10．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知单项式与是同类项，则 ， ， ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解三元一次方程组，根据相同字母的指数相同列方程组求解即可． 解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：4，，6． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，直接把两个方程相加即可得出的值. 解：， 得：， ∴， 故答案为：4 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可． 解：由题意得：， 得：， ∵为定值， ∴． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，，不同时为，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，分式的求值，通过解方程组，将和用表示，代入所求表达式化简． 解：， 由②得，再代入①得，即， 解得， ， ，，不同时为，且 时会导致，，与条件矛盾，故， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期末）甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 【答案】180 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，列出方程组求解即可． 解：设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据题意： 则， 由得， 由得， ， ， 由得， ∴， ∴甲车出发后180分钟追上乙， 故答案为：180． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 20．（本小题满分8分）（23-24六年级下·全国·假期作业）已知与互余，与互补，与的和等于周角的，求的度数． 【答案】 【分析】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为，解题的关键是根据的数量关系列出方程组，从而计算出结果． 解：由题意，得，三式相加，得，故， 的度数为． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． （1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 【答案】共需80元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元． 根据题意，得 由，得③， 由，得． 所以若购甲，乙，丙货物各1件，则共需80元． 23. （本小题满分10分）（22-23七年级下·浙江杭州·月考）关于的二元一次方程组 (1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． (2)当的值互为相反数时，求的值． (3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在，的值为8 (3)代数式的值为定值 【分析】（1）将分别代入两个方程，求出的值再对比即可得出答案； （2）根据题意可知，再和联立，求解即可得出答案； （3）要取定值就要消去a，故由②①得，再化简即可得出答案 （1）不存在 理由：把代入方程①，得：， 解得的值， 把代入方程②，得：， 解得的值， 因为，所以不存在的值，使方程组的解为． （2）存在，的值为8，理由如下： 由题得， 则可得解得 所以的值为8． （3）代数式的值为定值． 理由：由②①得 整理得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据式子特点选择合适的解题方法是解题的关键． 24. （本小题满分12分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． （1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 三元一次方程组及其解法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知方程组，则（   ） A．2 B．4 C． D．3 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 5．已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 7．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）设，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 12．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知单项式与是同类项，则 ， ， ． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为 ． 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知满足，则 ． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 16．（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，，不同时为，且，那么的值为 ． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期末）甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 20．（本小题满分8分）（23-24六年级下·全国·假期作业）已知与互余，与互补，与的和等于周角的，求的度数． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 23. （本小题满分10分）（22-23七年级下·浙江杭州·月考）关于的二元一次方程组 (1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． (2)当的值互为相反数时，求的值． (3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由． 24. （本小题满分12分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $