专题 2.6 二元一次方程组（全章知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.6 二元一次方程组（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二元一次方程组的相关概念 1 【题型 1】二元一次方程（组）定义 2 【题型 2】二元一次方程（组）的解 3 【知识点二】二元一次方程组的解法 5 【题型 3】用代入法解二元一次方程组 6 【题型 4】用加减法解二元一次方程组 10 【题型 5】用合适的方法解二元一次方程组 12 【题型 6】利用整体思想解二元一次方程组 16 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 20 【题型 7】二元一方程组实际应用——营销问题 20 【题型 8】二元一方程组实际应用——工程问题与行程问题 23 【题型 9】二元一方程组实际应用——分配问题与配套问题 26 【知识点四】三元一次方程组 29 【题型 10】三元一次方程组及其应用 29 二.中考模拟真题 32 （一）单选题（6题） 32 （二）填空题（6题） 37 （三）解答题（4题） 42 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【题型 1】二元一次方程（组）定义 【例题1】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 【题型 2】二元一次方程（组）的解 【例题2】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，将解代入方程得到，再将代数式变形为，利用整体代入法求解． 解：∵是方程的一组解， ∴代入方程得． 代数式可变形为： 将代入，得： ． 故选C 【变式1】（25-26八年级上·全国·月考）二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的整数解的含义，理解题意是解本题的关键； 把方程化为，再结合均为非负整数，从而可得答案； 解：∵， ∴， ∴， ∵均为非负整数， 是2的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，，（舍去） ∴方程的非负整数解为：或或共3对； 故选：C． 【变式2】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 【变式3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 【知识点二】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【题型 3】用代入法解二元一次方程组 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． （1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）该方程组可以通过第一个方程，将用含的式子表示，再代入第二个方程消元求解； （2）该方程组中两个方程都含有，可以先将用含的式子表示，再代入另一个方程消元求解． （1）解： 由①，得③． 把③代入②，得，解得：． 把代入③，得， 这个方程组的解为 （2）解： 由①，得③． 把③代入②，得．解得． 把代入③，得， ， 原方程组的解为 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题关键是通过变形，将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元，进而求解． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把②变形为③，把③代入①即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）由①变形为③，把③代入②得即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解． （1）解：由②，得．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 （2）解：由①，得．③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先将①式进行适当变形，再利用代入消元法求解即可； （2）先将①式进行适当变形，再利用整体代入法求解即可． （1）解：由①可得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； （2）解：由①可得，③ 把③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 所以原方程组的解为． （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【题型 4】用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）（2）利用加减消元法解方程组． （1）解： ，得， 解得． 把代入①， 得， 解得， ∴原方程组的解为 （2）解： 由②，得．③ ，得， 解得． 把代入①， 得， ∴原方程组的解为． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组； （1）用加减消元法，两式直接相加，即可消去y，先求出x后，再代入求出y； （2）用加减消元法，两式直接相减，即可消去x，先求出y后，再代入求出x； （1）解： 得：， ， 把代入②得：， ， ∴． （2）解： 得：， ， 把代入①得：， ， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． （1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． （1）解：，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2），得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 【题型 5】用合适的方法解二元一次方程组 【例题5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； （1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 【变式1】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． （1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组的特点，灵活选用代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． （1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． （1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的解法步骤是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用整体代入消元法解方程组即可． （1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是； （2）解：由②，得③ 把③代入①，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是． 【题型 6】利用整体思想解二元一次方程组 【例题6】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． （1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读理解：已知实数x，y满足，在求和的值时，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得：，由可得：．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”解决：对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．根据题意可得，然后利用整体的思想求出，即可解答． 解：根据题意得，，，， ， 由得，，即， ， 故答案为：22． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·月考）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． （1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型 7】二元一方程组实际应用——营销问题 【例题7】（25-26七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． (2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解； （2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解． （1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元． 根据题意，得 解得 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得 解得 ∴ 答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了 杯． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 利用总价单价数量列出二元一次方程，根据、、均为正整数，解方程即可得出答案． 解：（1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元． 由题意，得， ，得, 故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需元． 故答案为：． （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 由题意，得， 化简，得， ∴， 又∵、、均为正整数， ∴，， ∴芝士杨梅买了杯， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 【答案】(1)每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元 (2)商场销售完这25件纪念品共盈利800元 【分析】（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品，根据“该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． （1）解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得， 解得． 答：每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：商场销售完这25件纪念品共盈利800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型 8】二元一方程组实际应用——工程问题与行程问题 【例题8】（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． （1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了 h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 【题型 9】二元一方程组实际应用——分配问题与方案问题 【例题9】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． （1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为 ． 【答案】租用4辆大巴，2辆中巴 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设租用x辆大巴，y辆中巴，根据“租用车辆恰好坐满”列出方程，结合x，y均为非负整数，且得到方程的解，即可解答． 解：设租用x辆大巴，y辆中巴，根据题意，得 ， 化简得， ∵x，y均为非负整数，且， ∴， ∴租用4辆大巴，2辆中巴． 故答案为：租用4辆大巴，2辆中巴 【知识点四】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【题型 10】三元一次方程组及其应用 【例题10】（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组．通过将三个方程相加，得到的值，然后分别用各个方程减去该式，逐一求解未知数． 解： 得， 即 ④ ①④得 即 得 即 ③④得 解得： ∴ 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，当时，；当时，；当时，，则当时，的值为（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【分析】此题考查解三元一次方程组，求代数式的值，将x与y的三组对应值代入等式求出a，b，c的值，得到，再将代入求出y的值即可． 解：由题意得： ， 解得， ∴， ∴当时，， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 【答案】6 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可． 解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元， 根据题意，得， ①②得：， 整理，得． 故答案为：6． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 二.中考模拟真题 （一）单选题（8题） 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解． 解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个， 依题意， ∴ ∵，为正整数， ∴当时，， 当时， 当时， 当时， ∴购买方案有4种， 故选：B． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解． 解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得， ， 即， ∵为正整数， ∴ 则， 故有7种方案， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键． 5．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 6．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 7．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 8．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？下列选项说法错误的是（   ） A．设乙有x钱，可得方程 B．甲有钱，乙有25钱 C．设甲有x钱，则乙有钱 D．设甲有x钱，乙有y钱，可得方程组 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据各选项设定的未知数，再确定相等关系求解，其中B选项可进行检验作答即可. 解：选项A：设乙有钱，则甲的钱为， 乙得到甲的三分之二钱后总钱数为，方程成立，故A正确； 选项B：甲有钱，乙有25钱， 验证条件一：；条件二：，均成立，故B正确， 选项C：设甲有钱，则乙的钱应为，而非，表达式错误，故C错误； 选项D：设甲有钱，乙有钱， 结合题意可得：甲得到乙的一半钱后共有50钱，即①， 乙得到甲的三分之二钱后共有50钱，即②， ∴方程组为，故D正确； 故选：C （二）填空题（8题） 9．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确求出、的值是解题的关键． 让方程组中的两个方程相加、相减即可得出、的值，再代入求值即可． 解：， ①+②，得， ， ②-①，得， ， 故答案为：8 11．（2025·福建南平·三模）二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 解：， ，得， ，得，即， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 13．（2025·西藏日喀则·三模）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 14．（2025·浙江金华·二模）方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法求出方程组的解即可． 解： 把①代入②，得：，解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解是； 故答案为：． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 16．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． （三）解答题（4题） 17．（2025·湖北武汉·三模）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法和代入法是解题的关键． （1）先将方程系数化成整数，再用加减法求解即可； （2）先将方程化简整理为，再用加减法求解即可． （1）解：变形得：， 得： ∴ 把代入①解得： ． （2）解：化简整理，得 ，得， ∴ 把代入，得， ∴． 18．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【答案】同意他的结论，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论． 解：同意他的结论，理由如下： 由①得，③ 将代入②， ∵， ∴可解得 将代入③得， ∴ 19．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 20．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 【答案】（1）；（2）两队合作实际需要8天完成任务 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次方程的实际应用，掌握加减消元法解二元一次方程组和正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）设两队合作实际需要天完成任务，求出实际甲、乙的工作效率，再由工作效率乘以工作时间等于工作总量建立方程求解． 解：（1） 由得，， 解得：； 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）设两队合作实际需要天完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：两队合作实际需要8天完成任务． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.6 二元一次方程组（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二元一次方程组的相关概念 1 【题型 1】二元一次方程（组）定义 2 【题型 2】二元一次方程（组）的解 2 【知识点二】二元一次方程组的解法 3 【题型 3】用代入法解二元一次方程组 3 【题型 4】用加减法解二元一次方程组 4 【题型 5】用合适的方法解二元一次方程组 4 【题型 6】利用整体思想解二元一次方程组 5 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 6 【题型 7】二元一方程组实际应用——营销问题 6 【题型 8】二元一方程组实际应用——工程问题与行程问题 7 【题型 9】二元一方程组实际应用——分配问题与配套问题 8 【知识点四】三元一次方程组 9 【题型 10】三元一次方程组及其应用 9 二.中考模拟真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 11 （三）解答题（4题） 12 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【题型 1】二元一次方程（组）定义 【例题1】（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型 2】二元一次方程（组）的解 【例题2】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【变式1】（25-26八年级上·全国·月考）二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是 ． 【变式3】小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【知识点二】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【题型 3】用代入法解二元一次方程组 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【题型 4】用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·周测）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【题型 5】用合适的方法解二元一次方程组 【例题5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【题型 6】利用整体思想解二元一次方程组 【例题6】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读理解：已知实数x，y满足，在求和的值时，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得：，由可得：．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”解决：对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，则 ． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·月考）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型 7】二元一方程组实际应用——营销问题 【例题7】（25-26七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？ 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了 杯． 【变式3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 【题型 8】二元一方程组实际应用——工程问题与行程问题 【例题8】（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了 h． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【题型 9】二元一方程组实际应用——分配问题与方案问题 【例题9】（24-25七年级下·新疆昌吉·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为 ． 【知识点四】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【题型 10】三元一次方程组及其应用 【例题10】（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，当时，；当时，；当时，，则当时，的值为（   ） A． B．6 C． D．0 【变式2】（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 二.中考模拟真题 （一）单选题（8题） 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 6．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 8．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？下列选项说法错误的是（   ） A．设乙有x钱，可得方程 B．甲有钱，乙有25钱 C．设甲有x钱，则乙有钱 D．设甲有x钱，乙有y钱，可得方程组 （二）填空题（8题） 9．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组，则的值为 ． 11．（2025·福建南平·三模）二元一次方程组的解为 ． 12．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 13．（2025·西藏日喀则·三模）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 14．（2025·浙江金华·二模）方程组的解是 ． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 16．（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． （三）解答题（4题） 17．（2025·湖北武汉·三模）解方程组： (1) (2) 18．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 19．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 20．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $