专题 2.5 三元一次方程组及其解法（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.5 三元一次方程组及其解法（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 （一）基础篇 1 【知识点一】三元一次方程组定义 2 【题型 1】三元一次方程的识别 2 【知识点二】三元一次方程组定义 3 【题型 2】三元一次方程组的识别 3 【知识点三】三元一次方程（组）的解 5 【题型 3】整体思想解三元一次方程组 5 【题型 4】解三元一次方程（组） 7 （二）培优篇 9 【题型5】解三元一次方程组 10 【题型6】构造三元一次方程组并求解 15 【题型7】解三元一次不定方程组 17 【题型8】解型三元一次方程组 20 【题型9】三元一次方程组的应用 23 二.模拟真题 26 （一）单选题（5题） 26 （二）填空题（5题） 30 （三）解答题（2题） 33 一.知识梳理与题型精析 （一）基础篇 【知识点一】三元一次方程组定义 像，这样，都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。 【题型 1】三元一次方程的识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 【小结归纳】三元一次方程的基本条件：①三个未知数；②整式方程；③未知数次数是1。 【知识点二】三元一次方程组定义 像，这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。 【题型 2】三元一次方程组的识别 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键 【小结归纳】构成三元一次方程组的基本条件：①三个一次整式方程；②三个方程共有三个未知数（不一定每个方程有三个未知数）；③未知数次数是1。 【知识点三】三元一次方程（组）的解 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化为“二元”,再化为“一元”。 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 【题型 3】整体思想解三元一次方程组 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·月考）已知方程组，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键． 将乘以2，得，再减去即可得到解答． 解：∵方程组 ∴将乘以2，得， 再将减去得：， 故答案为：8 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 解：， 由得， ∴， 故选：． 【变式3】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 【题型 4】解三元一次方程（组） 【例题4】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 【变式1】（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得解，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． 解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组． 解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． （二）培优篇 【题型5】解三元一次方程组 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）（2）（3）（4）用加减消元法解三元一次方程组即可． （1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·月考）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元法求解即可． 解：， ①②得：④， ②③得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入②得：， 解得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）（2）（3）利用加减消元法解方程组即可． （1）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入④得， 将代入②得， 方程组的解为 ； （2）解: , 由得：， 由得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ； （3）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入④得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ． 【题型6】构造三元一次方程组并求解 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的关键思想是消元，常用的消元方法有代入消元法、加减消元法，本题中首先消去未知数求出的值，再消去未知数求出，再把和代入求出的值即可． 解：由题意可得：， 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把和代入得：， ，，， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． , ,解得， ． 故答案为：． 【变式3】在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组． 根据题意得到，求出a，b，c的值，代入原方程组求解即可． 解：∵甲同学因看错了b的符号，从而求得解为， ∴， ∵乙同学将c的值看成了1，从而求得解为， ∴， 即， 解得：， ∴原方程组为， 得， 将代入②得：， 解得： ∴． 【题型7】解三元一次不定方程组 【例题7】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】8，9，13 【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 【题型8】解型三元一次方程组 【例题8】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 解：由题意，得 ，得 ，得 联立④⑤，得 解得 把代入①，得 ∴ ∴． 【变式1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 【答案】(1)a、b、c的值分别是2，，1 (2)当时， 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1），得，，得，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值； （2）把a、b、c的值代入等式，得到，再将x的值代入计算即可． （1）解：由题意得，， ，得， ，得，即， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①，得， ∴a、b、c的值分别是2，，1； （2）解：由（1）知a、b、c的值分别是2，，1， ∴， 当时，． 【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·月考）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)，， (2)16 【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答； （2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可． （1）解：由题意得：， 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：， （2）当时，， ∴的值为16． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键． 【变式3】在等式中，当时；当时；当时，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可． 解：据题意得， 解得 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解． 【题型9】三元一次方程组的应用 【例题9】（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． （1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 【变式3】（24-25八年级上·广东深圳·月考）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 【答案】(1)小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元 (2)他购买的门票总数为8或9或10张 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意列方程组，然后解方程组即可； （2）设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，根据题意列出方程，然后根据x、y、z是整数，列举符合条件的x、y、z值即可求解． （1）解：设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元， 根据题意可得：， 解得：， 故（元）， 答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元； （2）解：设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张， 根据题意可得：， 当，时，； 当，时，； 当，时，，只有这几种方案是整数，符合题意， 故小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张． 二.模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 2．（2023·黑龙江·中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 5．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． （二）填空题（5题） 6．（2025·湖北武汉·三模）现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 【答案】12或16或20 【分析】本题主要考查了三元一次方程组、方程组的解等知识点，结合题意判断x的取值范围是解题的关键． 设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，然后根据题意列三元一次方程组，并结合题意可判断x必须是5的倍数且，又x为整数，可分类讨论当，5，10时，再将三元一次方程组化为二元一次方程组再进行求解即可． 解：设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚， 由题意可列： ∵取出的硬币共值24元， ∴x必须是5的倍数， ∵当时，取出硬币的总价值小于24元， ∴， （1）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取12枚； （2）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取16枚； （3）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取20枚． 综上：1元硬币取12枚，16枚，20枚． 故答案为：12或16或20． 7．（2025·山东德州·一模）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 【答案】11 【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数． 解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可． 解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 8．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 【答案】8 【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键． 解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值． ①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法； ②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法； ③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法； ④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法； ⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法． 综上所求，故有8种不同放法． 故答案为：8． 9．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个，根据题意可得，整理可得，结合题意及生活实际，确定的取值，即可获得答案． 解：设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个， 根据题意，可得， 由，可得， 整理可得， 根据题意，可知，，， 且均为整数， 所以，可有或或或或， 所以，张老师不同的订购方案有5种． 故答案为：5． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． （三）解答题（2题） 11．（23-24七年级下·河南安阳）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． （1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 12．（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元；(2)小明共买了杯或杯． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． （1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 三元一次方程组及其解法（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 （一）基础篇 1 【知识点一】三元一次方程组定义 2 【题型 1】三元一次方程的识别 2 【知识点二】三元一次方程组定义 2 【题型 2】三元一次方程组的识别 2 【知识点三】三元一次方程（组）的解 3 【题型 3】整体思想解三元一次方程组 3 【题型 4】解三元一次方程（组） 4 （二）培优篇 4 【题型5】解三元一次方程组 4 【题型6】构造三元一次方程组并求解 5 【题型7】解三元一次不定方程组 5 【题型8】解型三元一次方程组 6 【题型9】三元一次方程组的应用 6 二.模拟真题 7 （一）单选题（5题） 7 （二）填空题（5题） 8 （三）解答题（2题） 9 一.知识梳理与题型精析 （一）基础篇 【知识点一】三元一次方程组定义 像，这样，都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。 【题型 1】三元一次方程的识别 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【小结归纳】三元一次方程的基本条件：①三个未知数；②整式方程；③未知数次数是1。 【知识点二】三元一次方程组定义 像，这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。 【题型 2】三元一次方程组的识别 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【小结归纳】构成三元一次方程组的基本条件：①三个一次整式方程；②三个方程共有三个未知数（不一定每个方程有三个未知数）；③未知数次数是1。 【知识点三】三元一次方程（组）的解 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化为“二元”,再化为“一元”。 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 【题型 3】整体思想解三元一次方程组 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·月考）已知方程组，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式3】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【题型 4】解三元一次方程（组） 【例题4】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． （二）培优篇 【题型5】解三元一次方程组 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·月考）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）三元一次方程组的解为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3) 【题型6】构造三元一次方程组并求解 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）、、各代表一个数，已知，，，则、、分别等于（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 【变式3】在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 【题型7】解三元一次不定方程组 【例题7】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【题型8】解型三元一次方程组 【例题8】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，．求的值． 【变式1】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·月考）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 【变式3】在等式中，当时；当时；当时，求a、b、c的值． 【题型9】三元一次方程组的应用 【例题9】（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【变式3】（24-25八年级上·广东深圳·月考）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 二.模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 2．（2023·黑龙江·中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 5．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 （二）填空题（5题） 6．（2025·湖北武汉·三模）现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 7．（2025·山东德州·一模）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 8．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 9．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． （三）解答题（2题） 11．（23-24七年级下·河南安阳）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 12．（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $