专题 3.3 多项式的乘法（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.3 多项式的乘法（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点】多项式乘法法则 1 【题型 1】运用多项式乘法法则进行运算 1 【题型 2】运用多项式乘法法则化简求值 3 【题型 3】运用多项式乘法法则的应用 6 二. 题型精析（培优篇） 9 【题型 4】已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 【题型 5】多项式乘以多项式与图形面积问题 12 【题型 6】多项式乘以多项式与规律问题 15 三.中考模拟真题 19 （一）单选题（6题） 19 （二）填空题（6题） 22 （三）解答题（4题） 25 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点】多项式乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【特别提示】多项式与多项式相乘的结果中如果有同类项，要合并同类项。 【题型 1】运用多项式乘法法则进行运算 【例题1】（根据浙教版87页课内作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查整式的乘法，多项式乘以多项式，平方差公式；熟练掌握运算法则是解题关键． （1）（2）（3）（4）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得答案； 解：（1）解： （2） （3） （4） 【变式1】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 解：， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： ________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，根据分配律展开两个二项式的乘积，并合并同类项即可． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 【题型 2】运用多项式乘法法则化简求值 【例题2】（根据浙教版87页课内作业题第3题改编）（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·月考）已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 解：∵，， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 解：原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 【题型 3】多项式乘法法则的应用 【例题3】（根据浙教版87页课内作业题B组第5题改编）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程,如图,已知该土地是长为米,宽为米的长方形,学校准备在该处修一条平行四边形小路,小路的底边宽a米,并计划将阴影部分改造为种植区. （1）用含有a,b的式子分别表示出小路面积和种植区面积； （2）若,,求此时种植区的面积. 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查列代数式，代数式求值； （1）小路的形状是平行四边形，依据平行四边形面积计算公式可计算出，将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个长方形，据此可计算出； （2）将,,代入计算即可. 解：（1）解：∵小路的底边宽a米, ∴， ∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形， ∴. （2）解：将,,代入得： . 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算等知识，根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形，分别求出新长方形长和宽，再计算面积即可． 解：根据题意，将两条小路分别平移到长方形草坪的边缘，此时草坪（阴影部分）可看作一个新的长方形， 新长方形的长为， 新长方形的宽为， 则阴影部分的面积为 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． （1）求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； （2）若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】（1）；（2）元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 解：（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 二.题型精析（培优篇） 【题型 4】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题4】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 解：（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 解：（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【题型 5】多项式乘以多项式与图形面积问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． （1）这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） （2）求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 解：（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． （1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． （2）若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 解：（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 【题型 6】多项式乘以多项式与规律问题 【例题6】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … （1）请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． （2）设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】（1）5621；9016；（2）；理由见分析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 解：（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广西桂林·月考）观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【答案】256 【分析】本题考查二项式展开式的系数和规律问题．通过观察已知展开式的系数和，归纳出一般规律，再代入计算即可． 解：观察已知展开式可得， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 归纳可得规律：的各项系数和为， 当时，， 故答案为：256． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为________； （2）展开式共有________项，第3项系数为________； （3）根据上面的规律，写出的展开式：________； （4）利用上面的规律计算：； 【答案】（1）；（2）11，45；（3）；（4）32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 解：（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（23-24八年级上·湖南株洲·预测）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 2．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3．（24-25七年级下·全国·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘法运算知识点，解题的关键是掌握单项式乘单项式，积的乘方，单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则． 根据整式乘法的相关运算法则，分别对每个选项进行计算，然后判断其正确性． 解：A、根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确； B、根据积的乘方法则，，则，该选项错误； C、根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误； D、根据多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，，该选项错误． 故选：A． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，一张大正方形纸片的边长为，现将其中相邻两边都剪去宽为的矩形纸片，剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的加减法，表示出面积是解答关键． 根据题意分别表示出剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积，再利用整式加减法的运算法则求解． 解：原大正方形纸片的边长为，现小正方形纸片的边长为， 则原大正方形纸片的面积为， 现小正方形纸片的面积为， 面积减少了， 化简为， 故选：B． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在学完整式乘法后，研究了的展开式的特征， ， ， ， ， ，…，               1    1             1   2   1           1   3   3   1         1   4   6   4  1       1   5   10  10  5  1 …                        … 发现的展开式的各项系数如图所示，请你结合上述规律计算的展开式中x的三次项的系数为（    ） A．15 B．21 C．35 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的规律，根据的展开式的特征解答即可． 解：根据题意得：， ∴ ， ∴的展开式中x的三次项的系数为21； 故选：B． （2） 填空题（6题） 7．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 解：， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·湖北·二模）若，，则＝_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再代入相应的值运算即可． 解： ， 当，时， 原式． 故答案为：2． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值为__________． 【答案】6 【分析】本题考查多项式乘多项式的乘法法则、代数式求值，将已知等式化为，，再整体代入求解即可． 解：∵， ∴，， ∴ ． 10．（24-25七年级下·山西运城·月考）若计算的结果不含项，那么的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，得到关于m的方程是解题关键． 先根据多项式乘多项式法则计算，再根据“不含项”列出关于m的方程求解即可． 解： ∵的结果不含项， ∴，解得：． 故答案为：5． 11．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为____________________． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：6． 12．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 解：， ， ， 故答案为：． （3） 解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 解： 14．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后整体代入求解即可． 解： ， 当时， 原式． 15．（2025·河北沧州·一模）如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． （1）求和的值； （2）记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 【答案】（1），；（2）能被4整除，理由见分析 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算出，再根据题意可得，，即可得到答案； （2）先将（1）中和的值代入，再根据运算法则求得，结合为整数，即可判断． 解：（1）解：由题意，， ， ，， 解得：，． （2）解：能被4整除，理由如下， ，， ，， ， 为整数， ，是两个连续的整数，其中必有一个为偶数， 能被4整除，即的结果能被4整除． 16．（2025·安徽六安·二模）观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： （1）写出第个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题考查了数字变化规律，整式的运算，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据自然数的等式规律即可求解； （）根据自然数的等式规律即可求解，然后通过整式乘法法则进行验证即可． 解：（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故答案为：； （2）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； ∴第个等式为：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 多项式的乘法（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点】多项式乘法法则 1 【题型 1】运用多项式乘法法则进行运算 1 【题型 2】运用多项式乘法法则化简求值 2 【题型 3】运用多项式乘法法则的应用 2 二. 题型精析（培优篇） 4 【题型 4】已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 【题型 5】多项式乘以多项式与图形面积问题 5 【题型 6】多项式乘以多项式与规律问题 15 三.中考模拟真题 7 （一）单选题（6题） 7 （二）填空题（6题） 8 （三）解答题（4题） 9 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点】多项式乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 【特别提示】多项式与多项式相乘的结果中如果有同类项，要合并同类项。 【题型 1】运用多项式乘法法则进行运算 【例题1】（根据浙教版87页课内作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： ________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 2】运用多项式乘法法则化简求值 【例题2】（根据浙教版87页课内作业题第3题改编）（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·月考）已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是_____． 【变式3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简再求值：，其中且． 【题型 3】多项式乘法法则的应用 【例题3】（根据浙教版87页课内作业题B组第5题改编）（25-26八年级上·贵州遵义·期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程,如图,已知该土地是长为米,宽为米的长方形,学校准备在该处修一条平行四边形小路,小路的底边宽a米,并计划将阴影部分改造为种植区. （1）用含有a,b的式子分别表示出小路面积和种植区面积； （2）若,,求此时种植区的面积. 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建两条宽为的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为___________． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． （1）求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； （2）若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 二.题型精析（培优篇） 【题型 4】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题4】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【题型 5】多项式乘以多项式与图形面积问题 【例题5】（25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． （1）这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） （2）求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为_____．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【变式3】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． （1）请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． （2）若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【题型 6】多项式乘以多项式与规律问题 【例题6】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … （1）请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． （2）设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【变式2】（24-25七年级下·广西桂林·月考）观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为________； （2）展开式共有________项，第3项系数为________； （3）根据上面的规律，写出的展开式：________； （4）利用上面的规律计算：； 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（23-24八年级上·湖南株洲·预测）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 2．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 3．（24-25七年级下·全国·一模）下列运算正确的是（） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2025·河南·模拟预测）如图，一张大正方形纸片的边长为，现将其中相邻两边都剪去宽为的矩形纸片，剩下的小正方形纸片的面积比原来的大正方形纸片面积减少了（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在学完整式乘法后，研究了的展开式的特征， ， ， ， ， ，…，               1    1             1   2   1           1   3   3   1         1   4   6   4  1       1   5   10  10  5  1 …                        … 发现的展开式的各项系数如图所示，请你结合上述规律计算的展开式中x的三次项的系数为（    ） A．15 B．21 C．35 D．46 （2） 填空题（6题） 7．（2025·上海·模拟预测）计算：_______． 8．（2025·湖北·二模）若，，则＝_______． 9．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知，则的值为__________． 10．（24-25七年级下·山西运城·月考）若计算的结果不含项，那么的值为______． 11．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为____________________． 12．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ （3） 解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 14．（2025·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·河北沧州·一模）如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． （1）求和的值； （2）记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 16．（2025·安徽六安·二模）观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： （1）写出第个等式：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $