精品解析：四川泸县第五中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题

高2023级高三第二学期开学检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 5. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 7. 若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 第II卷非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足：，则__________. 13. 某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 14. 已知，若在内恰有两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）设点为边的中点，，的面积为，求，． 16. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值. 17. 如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 19. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三第二学期开学检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法将集合表示出来，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】， 因为， 所以. 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由题意得，，所以. . 故选：B. 5. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再利用充分不必要条件对应的集合需是解集的真子集判断选项即可. 【详解】不等式的解集为：或，而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集. 对于A，因不是或的真子集，故A不符合； 对于B，因是或的真子集，故B符合； 对于C，因不是或的真子集，故C不符合； 对于D，因或，但或， 即或不是或的真子集，故D不符合. 故选：B 6. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 7. 若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥体积和球的体积公式可得半径和高的关系，再由圆锥侧面积公式以及球的表面积公式计算可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，球的半径为， 则由题意得，解得， 圆锥侧面积，球的表面积 故圆锥侧面积与球的表面积之比为． 故选：C 8. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知双曲线焦点到渐近线的距离为，根据已知条件再结合余弦定理可得，由三角形面积关系可得当且仅当时满足题意，计算可得离心率. 【详解】易知，不妨取渐近线为，如下图： 因此可得到渐近线的距离为， 又易知，可得， 由可得； 又易知，即，所以； 因此可得，即，所以； 因为的面积为的面积的两倍，易知； 当且仅当时，的面积最大，也即的面积最大， 此时离心率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据折线图数据，结合各项描述及极差、百分位数的求法、极差与方差关系判断正误. 【详解】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误； B：由图，用电量的极差为，故正确； C：数据从小到大有，又， 所以第75百分位数是第六个数据，故错误； D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为， 显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确. 故选：BD 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解. 【详解】依题意，抛物线C的准线为， 因为为C上一点，且，则， 解得，故A正确； 可得抛物线C:，焦点为， 因为A为C上一点，则4，所以 ，故B错误； 若，则线的方程为， 代入，得，整理得，解得或， 因为B与A分别在x轴的两侧，可得； 同理：若，可得； 综上所述：或，故C错误； 若，则，则； 同理：若，可得； 故D正确； 故选：AD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出有4个解；对于B，将点关于直线的对称点为，分别代入曲线方程中判断即可；对于C，D，对函数求导，判断单调性，确定最值. 【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有4个交点，A正确； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于C，D选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，C错误； ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，故，D正确. 故选：ABD. 第II卷非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足：，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合共轭复数的概念求出. 【详解】由题意得，，则. 故答案为： 13. 某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 【答案】252 【解析】 【分析】分类讨论上午值班是否有男教师，结合间接法以及分步乘法计算原理运算求解. 【详解】若上午值班均为女教师，则不同的安排方法共有种， 可知下午值班均为男教师，则不同的安排方法共有种， 则不同的安排方法共有种； 若上午值班有男教师，则不同的安排方法共有种， ①当上午值班的男教师不下午值班时，则不同的安排方法共有种； ②当上午值班的男教师也下午值班时，则不同的安排方法共有种； 则不同的安排方法共有种； 综上所述：不同的安排方法共有种. 故答案为：252. 14. 已知，若在内恰有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简的解析式，根据在区间上零点的个数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 ， 要使在内恰有两个零点， 首先，即； 其次由得， 由得，， 由于在内恰有两个零点， 若，则，解得. 若，则，解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：首先需要化简的解析式，利用的是三角恒等变换的知识，将三角函数的解析式化简为的形式，然后由以及三角函数的性质来列不等式来对问题进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）设点为边的中点，，的面积为，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简可得，再结合，即可求得，从而可求解； （2）由题可得，两边同时平方后化简可得，再结合，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 即. 因为，所以， 所以，则， 又因为，则， 所以，解得. 【小问2详解】 由题得， 所以， 所以. 又因为，则① 由，得，② 由①②得. 16. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，求得增区间； （2）对函数求导，判断单调性求出最值. 【小问1详解】 由题可得，， 令，即，因为，所以， 即，所以， 又，则，所以，即. 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由题，，则， 由，， ， 因为，所以，，所以，仅在和时，， 所以函数在上单调递增， 故， 所以函数在上的最大值为. 17. 如图，在三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，结合面面垂直的性质可证结论； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且，所以， 因为平面，平面，所以，， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为，，，平面， 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的角为， 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】（1）①0.5； ②分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）第1题【解析】 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【小问1详解】 设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 【小问2详解】若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 19. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆、双曲线方程求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以； 【小问2详解】 设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为； 【小问3详解】 直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $