精品解析：重庆市永川中学校2026届高三下学期入学考试数学试卷

永川中学高2026届高三下期入学考试 数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，试题满分150分，试题卷共4页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．解答题的过程写在答题卡相应区域内，写在试卷和草稿纸上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 通过解不等式，得到集合A，进而得出.因为集合中有3个元素，故其子集个数为个. 【详解】由得，则 ， 则的子集个数为个. 故选：D. 【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2或 B. 或 C. 2或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 4. 已知是等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列首项为，公比为，则，再解方程组结合等比数列通项公式即可求解． 【详解】根据题意，设数列首项为，公比为， ， ，代入，，解得， ， ． 故选：C． 5. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列出方程通过对数运算计算出的值，然后再求对应条件下即可. 【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，解得：, 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒, 则，即， 解得：， 故选：D 6. 过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的面积与的面积相等这一条件，结合圆的切线性质，得出的长度，最后根据点到直线的距离公式求出的范围. 【详解】由，得， 所以. 因为，所以四点共圆，所以， 所以，又，所以，又， 所以=1，因此得， 因为点在直线上，且的最小值为圆心到直线的距离, ，因为，所以，解得，在各选项中只有选项C满足. 故选：C 7. 已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（ ） A. R B. (-，-2） C. （-，-2] D. （-，-1]U[2,+) 【答案】A 【解析】 【分析】先求命题p为真时a的取值范围，再求补集得结果. 【详解】若命题p为真，则， 因此若命题P为假，则a的取值范围为R，选A. 【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据得出正弦函数取得最小值时，满足，再结合得出，故A正确；根据正弦函数求出单调递增区间判断B即可；因为，得出，即可得证C；根据图像的平移得出，再求的取值范围即可. 【详解】因为（），且满足， 则，此时，解得， 结合（），当时；故A正确； ，求其单调递增区间即， 化简得，当时， 同理单调递减区间为， 当时，，因此在区间上不单调，故B不正确； 因为，， 故，C选项正确； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 故， 故,， 即，选项D正确. 故选：ACD. 10. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C利用余弦定理、正弦定理及两角和的正弦公式即可判断，对于D令代入有，由三角形三边关系求出解出的范围，即可求解，进而判断D． 【详解】对于A：由余弦定理知， 又，所以，即，故A正确； 对于B：由余弦定理知， 由基本不等式知，即，当且仅当时，等号成立. 所以，又，所以，即角的最大值为，故B正确； 对于C： 若，则， 即， 所以，即，也即， 整理得，不合题意，故C错误； 对于D：令，代入中可得，. 由得，，即， 解得. . 令，易知在上单调递增， 当且，， 当且，， 所以在上的值域为， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用赋值法令，可求得，再利用二项展开式即可求得系数. 【详解】由各项系数的和为0可知，令，即，解得； 因此的展开式中含有的项为. 故答案为： 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 【答案】10 【解析】 【分析】根据特殊元素/位置优先安排原则，先判断第一关和第四关的种数，再计算其余关卡的种数，相乘即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手，其余两关各有1名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，所以，满足条件的参赛方案有种. 故答案为：10. 14. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图）， ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求面积，再求三棱锥和的高度，进一步求三棱锥的体积，且根据两个三棱锥和全等得出几何体的体积；构建直角三角形，利用勾股定理，根据已知线段长度计算，得出长度. 【详解】几何体看作以为公共底面的两个三棱锥和的组合， 又因为在正四棱台中，，， 所以，又因为，连接，则为等腰直角三角形， 其面积为：， 连接，交于点，连接，交于点，则垂直于面且为三棱锥的高，平移到，则，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为四边形是正方形，所以，分别是，的中点， 且，为等腰直角三角形， 所以，， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以几何体的体积, 连接，交于点，连接，， 由题意可得，几何体是由两个全等的正四棱台组合， 所以平行且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平行， 又因为是两个全等的正四棱台组合的组合体的高， 所以，为直角三角形，由勾股定理可得： . 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而求证即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则， 所以. 16. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 0 1 2 ，有关 （2）的分布列如下：，.【解析】 【分析】（1）由题意补全列联表，然后利用独立性检验的原理求解卡方判断即可； （2）利用超几何分布计算概率，得到离散型随机变量的分布列，求解数学期望即可. 【小问1详解】 中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人， 愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人. 故列联表如下： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关； 【小问2详解】 愿意购买新能源车的共有150人，青年人与中老年人的比例为， 所以分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人， 则的可能取值为0，1，2， 则，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 则， 所以这5人中青年人数的期望为. 17. 如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中. （1）若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由可得平面，再由线面平行的性质可得线线平行； （2）解法一：取的中点为，再分别以坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量计算面面角的余弦值； 解法二：取的中点为，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角； 解法三：设，再分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，用向量方法计算面面的夹角. 【小问1详解】 证明：连接， 因为四边形是菱形，所以.又因为平面，平面 所以平面，又因为平面，平面平面 所以. 【小问2详解】 （法一）取的中点为，连接，因为是菱形，， 所以. 所以，又，所以 因为平面，所以，即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即， 所以可得，所以，令，则， 所以，. 又因为，. 设平面的法向量为，则， 即，所以. 令，则，． 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 （法二）取的中点为，连接，则，又，所以 因为平面，所以．所以两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以， 设平面的法向量为，则，即　所以， 所以，，令，所以，. 又， 设平面的法向量为，则，即， 所以，所以，令，． 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. （法三）连接，则，设. 因为平面，过作的平行线，则平面. 所以．即两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以，. 设平面的法向量为，则，即，所以 所以，令，则，所以， 又，. 设平面的法向量为，则，即. 所以，令，则，， 所以，. 设平面与平面的夹角为， 则. 18. 已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值. 【答案】（1）；离心率 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设，由，求得，得到，再由直线方程为，联立方程组，利用韦达定理证得，结合，得到，求得，代入椭圆的方程，求得的值，结合斜率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的右焦点为，是的左、右顶点，且， 可得，解得，则， 所以椭圆的方程为，离心率. 【小问2详解】 解：设，， 因为，可得 ， 因为三点共线，可得，所以，可得，即， 下面证明：三点共线. 因为，，所以① 又因为直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，， 则 所以，即，所以三点共线， 又因为，可得，所以， 可得，解得，将其代入椭圆的方程， 可得，解得，所以， 所以实数的值为. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2026届高三下期入学考试 数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，试题满分150分，试题卷共4页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．解答题的过程写在答题卡相应区域内，写在试卷和草稿纸上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2或 B. 或 C. 2或 D. 或 4. 已知是等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（ ） A. B. C. D. 6. 过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（ ） A. R B. (-，-2） C. （-，-2] D. （-，-1]U[2,+) 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 10. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 11. 记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为____________． 13. 某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有________种． 14. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图）， ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前n项和. 16. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中. （1）若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $