第2章 7.2 实际问题中的最值问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦“利用导数解决实际问题中的最值问题”核心知识点，承接导数的概念、求导法则及函数极值等前期内容，系统构建从实际问题抽象函数模型到用导数求解最值的完整思路，为导数应用提供实践支架。 资料以海报设计、圆柱形罐子体积、运输成本等真实问题为载体，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过建立函数模型（数学语言）和求导运算（数学思维）解决最值，课中助力教师开展情境教学，课后通过例题与跟踪训练帮助学生巩固建模与运算能力，有效查漏补缺。

7.2　实际问题中的最值问题 1.体会导数在解决实际问题中的作用（数学建模）. 2.能利用导数解决简单的实际问题（数学运算）. 　　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm. 【问题】　如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 知识点　用导数解决最优化问题 1.在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为　　　　　. 2.利用导数解决最优化问题的实质是　　　　. 3.解决最优化问题的基本思路： 上述解决最优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝x3－x2＋8（0≤x≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　） A.8　　　　　　　　　 B. C.－1 D.－8 2.某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x＞0，为使利润最大，应生产该产品　　　千台. 题型一｜面积、容积中的最值问题 【例1】　如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3. （1）写出体积V关于x的函数解析式； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.利用导数解决实际问题中最值的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值； （4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论. 2.几何中最值问题的求解思路 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 【跟踪训练】 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为（　　） A.cm　　　　　　　 B.cm C.5cm D.cm 题型二｜用料、费用最少问题 【例2】　现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元. （1）把全程运输成本y表示为速度x的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. 【跟踪训练】 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 题型三｜利润最大问题 【例3】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11 kg. （1）求a的值； （2）若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润f（x）最大. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决利润最大问题的思路及注意点 （1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值； （2）求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利. 【跟踪训练】 为积极响应“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品，当投资额为x（x≥0）千元时，销售A，B商品所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝x，g（x）＝5ln（x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入　　　千元. 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　　　万件. 2.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为　　　. 3.请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）. 某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 提示：完成课后作业　第二章　§7　7.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2　实际问题中的最值问题 【基础落实】 知识点 1.最优化问题　求函数最值 自我诊断 1.C　原油温度的瞬时变化率为f'（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. 2.6　解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3（x＞0），y'＝36x－6x2，由y'＝0得x＝6（x＝0舍去），当x∈（0，6）时，y'＞0，y单调递增，当x∈（6，＋∞）时，y'＜0，y单调递减，则x＝6时，y有最大值. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为BC＝x，所以｜OB｜＝. 设圆柱底面半径为r，则＝πr，即π2r2＝900－x2， 所以V＝πr2·x＝π··x＝，其中0＜x＜30. （2）由V'＝＝0，得x＝10， 又在（0，10）上V'＞0，在（10，30）上V'＜0， 所以V＝在（0，10）上单调递增，在（10，30）上单调递减，所以当x＝10 cm时，V有最大值. 即当x＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大. 跟踪训练 　D　如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为r cm，高为h cm，则h2＋r2＝202，解得r＝，所以漏斗容积V＝πr2h＝π·（400－h2）h＝π·（400h－h3）（0＜h＜20）.所以V'＝π（400－3h2），令V'＝0，得h＝或h＝－（舍去）.当0＜h＜时，V'＞0，V单调递增；当＜h＜20时，V'＜0，V单调递减，所以当h＝ cm时，V最大.故选D. 【例2】　解：（1）依题意得y＝（960＋0.6x2）＝＋300x，函数的定义域为（0，30]，即y＝＋300x（0＜x≤30）. （2）∵y＝＋300x（0＜x≤30）， ∴y'＝－＋300. 令y'＝0，解得x＝40或x＝－40（舍去）. ∵函数的定义域为（0，30]， 当0＜x≤30时，y'＜0， ∴函数y＝＋300x在区间（0，30]内单调递减， ∴当x＝30时，函数y＝＋300x取得最小值， ∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile 的速度行驶. 跟踪训练 　解：设C点距D点x km，则AC＝50－x（km）， 所以BC＝＝（km）. 又设总的水管费用为y元， 依题意，得y＝3a（50－x）＋5a（0＜x＜50）. y'＝－3a＋. 令y'＝0，解得x＝30. 在x∈（0，50）上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20（km）. 故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 【例3】　解：（1）因为x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，故a＝2. （2）由（1）知，该商品每日的销售量y＝＋10（x－6）2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f（x）＝（x－3）［＋10（x－6）2］＝2＋10（x－3）（x－6）2，3＜x＜6， 从而，f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）] ＝30（x－4）（x－6）， 于是，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （3，4） 4 （4，6） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点， 所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 跟踪训练 　1　解析：设投入销售B商品的资金为x千元（0≤x≤5），则投入销售A商品的资金为（5－x）千元，所获得的收益设为S（x）千元，则S（x）＝（5－x）＋5ln（x＋1）＝5ln（x＋1）－x＋5（0≤x≤5），可得S'（x）＝－1＝，当0≤x＜4时，可得S'（x）＞0，函数S（x）单调递增；当4＜x≤5时，可得S'（x）＜0，函数S（x）单调递减，所以当x＝4时，函数S（x）取得最大值，最大值为S（4）＝5ln 5＋1，所以当投入销售B商品的资金为4千元，投入销售A商品的资金为1千元时，此时总收益最大为1＋5ln 5千元. 随堂检测 1.9　解析：由y＝－x3＋81x－234得y'＝－x2＋81，由－x2＋81＝0得x1＝－9（舍去），x2＝9.当x∈（0，9）时，y'＞0，函数y＝－x3＋81x－234单调递增，当x∈（9，＋∞）时，y'＜0，函数y＝－x3＋81x－234单调递减，所以当x＝9时，函数有最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件. 2.3　解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r＞0），则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋（r＞0）.求导得S'＝2πr－，令S'＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S'＜0；当r＞3时，S'＞0.所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省. 3.解：∵V（x）＝（x）2×（60－2x）×＝x2×（60－2x）＝－2x3＋60x2（0＜x＜30）. ∴V'（x）＝－6x2＋120x＝－6x·（x－20）. 令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. ∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0； 当20＜x＜30时，V'（x）＜0. ∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值. ∴底面边长为x＝20（cm），高为（30－x）＝10（cm）， 即高与底面边长的比值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $