第2章 7.2 实际问题中的最值问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用导数解决实际问题中的最值问题”，通过海报设计情境导入，衔接导数求导方法与实际应用，以基础夯实、典例分析等环节搭建学习支架，帮助学生从理论过渡到实践。 其亮点在于以真实情境（如海报设计、运输成本）培养数学眼光，通过“问题建模-求导分析-结论回归”的数学思维过程，结合通性通法总结提升数学语言表达能力。实例丰富如圆柱形罐子体积、利润最大化问题，助力学生掌握建模方法，教师可直接用于分层教学，提升效率。

7.2　实际问题中的最值问题 1 1.体会导数在解决实际问题中的作用（数学建模）. 2.能利用导数解决简单的实际问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm， 左右两边各空1 dm. 【问题】　如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　用导数解决最优化问题 1. 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最 低、时间最少等问题，这些问题通称为 ⁠. 2. 利用导数解决最优化问题的实质是 ⁠. 3. 解决最优化问题的基本思路： 上述解决最优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 最优化问题　 求函数最值　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝ x3－x2＋8（0≤x≤5），那么 原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　） A. 8 B. C. －1 D. －8 解析： 　原油温度的瞬时变化率为f'（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1 （0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y1＝ 17x2，生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y2＝2x3－ x2，已知x＞0，为使利润最大，应生产该产品 千台. 解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3（x＞ 0），y'＝36x－6x2，由y'＝0得x＝6（x＝0舍去），当x∈（0，6）时，y' ＞0，y单调递增，当x∈（6，＋∞）时，y'＜0，y单调递减，则x＝6 时，y有最大值. 6　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜面积、容积中的最值问题 【例1】　如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩 形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在半圆的直径上，现将 此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和 拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）写出体积V关于x的函数解析式； 解： 因为BC＝x，所以｜OB｜＝ . 设圆柱底面半径为r，则 ＝πr，即π2r2＝900－x2， 所以V＝πr2·x＝π· ·x＝ ，其中0＜x＜30. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 解： 由V'＝ ＝0，得x＝10 ， 又在（0，10 ）上V'＞0，在（10 ，30）上V'＜0， 所以V＝ 在（0，10 ）上单调递增，在（10 ，30）上单调递 减，所以当x＝10 cm时，V有最大值. 即当x＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大 （小）值； （4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 几何中最值问题的求解思路 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解时先设 出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值 的方法求解，最后检验. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应 为（　　） A. cm B. cm C. 5 cm D. cm √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为r cm，高为h cm，则h2＋r2＝202，解得r＝ ，所以漏斗容积V＝ πr2h＝ π·（400－h2）h＝ π·（400h－h3）（0＜h＜20）.所 以V'＝ π（400－3h2），令V'＝0，得h＝ 或h＝－ （舍去）.当0＜h＜ 时，V'＞0，V单调递增；当 ＜h＜20时，V'＜0，V单调递减，所以当h＝ cm时，V最大.故选D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜用料、费用最少问题 【例2】　现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度 为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的 运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平 方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元. （1）把全程运输成本y表示为速度x的函数； 解： 依题意得y＝ （960＋0.6x2）＝ ＋300x，函数的定义 域为（0，30]，即y＝ ＋300x（0＜x≤30）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解： ∵y＝ ＋300x（0＜x≤30）， ∴y'＝－ ＋300. 令y'＝0，解得x＝40或x＝－40（舍去）. ∵函数的定义域为（0，30]， 当0＜x≤30时，y'＜0， ∴函数y＝ ＋300x在区间（0，30]内单调递减， ∴当x＝30时，函数y＝ ＋300x取得最小值， ∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile 的速度行驶. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这类问 题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达 式，准确求导，结合实际作答. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与 甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D 与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站 到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何 处才能使水管费用最省？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：设C点距D点x km，则AC＝50－x（km）， 所以BC＝ ＝ （km）. 又设总的水管费用为y元， 依题意，得y＝3a（50－x）＋5a （0＜x＜50）. y'＝－3a＋ . 令y'＝0，解得x＝30. 在x∈（0，50）上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在 x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20（km）. 故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利润最大问题 【例3】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单 位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式y＝ ＋10（x－6） 2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商 品11 kg. （1）求a的值； 解： 因为x＝5时，y＝11， 所以 ＋10＝11，故a＝2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售 该商品所获得的利润f（x）最大. 解： 由（1）知，该商品每日的销售量y＝ ＋10（x－6）2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f（x）＝（x－3）［ ＋10（x－6）2］＝2＋10（x－3）（x－6）2，3 ＜x＜6， 从而，f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）] ＝30（x－4）（x－6）， 于是，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 x （3，4） 4 （4，6） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）上的极大值点，也是最 大值点， 所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决利润最大问题的思路及注意点 （1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－ 成本”建立函数解析式，再利用导数求最大值； （2）求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏 本；②销量要大于0，否则不会获利. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 为积极响应“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时 销售A，B两种小商品，当投资额为x（x≥0）千元时，销售A，B商品所 获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝x，g（x）＝5ln （x＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使 总收益最大，则A商品需投入 千元. 1　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：设投入销售B商品的资金为x千元（0≤x≤5），则投入销售A商品 的资金为（5－x）千元，所获得的收益设为S（x）千元，则S（x）＝ （5－x）＋5ln（x＋1）＝5ln（x＋1）－x＋5（0≤x≤5），可得S' （x）＝ －1＝ ，当0≤x＜4时，可得S'（x）＞0，函数S（x）单 调递增；当4＜x≤5时，可得S'（x）＜0，函数S（x）单调递减，所以当 x＝4时，函数S（x）取得最大值，最大值为S（4）＝5ln 5＋1，所以当投 入销售B商品的资金为4千元，投入销售A商品的资金为1千元时，此时总 收益最大为1＋5ln 5千元. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件） 的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的 年产量为 万件. 解析：由y＝－ x3＋81x－234得y'＝－x2＋81，由－x2＋81＝0得x1＝－9 （舍去），x2＝9.当x∈（0，9）时，y'＞0，函数y＝－ x3＋81x－234单 调递增，当x∈（9，＋∞）时，y'＜0，函数y＝－ x3＋81x－234单调递 减，所以当x＝9时，函数有最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年 产量为9万件. 9　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则 水桶的底面半径为 ⁠. 解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r＞0），则水桶的高 为 ，所以S＝πr2＋2πr× ＝πr2＋ （r＞0）.求导得S'＝2πr－ ，令S'＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S'＜0；当r＞3时，S'＞0.所以当 r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省. 3　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方 形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折 起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的 斜边的两个端点.设AE＝FB＝x（cm）. 某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：∵V（x）＝（ x）2×（60－2x）× ＝ x2×（60－2x）＝－ 2 x3＋60 x2（0＜x＜30）. ∴V'（x）＝－6 x2＋120 x＝－6 x·（x－20）. 令V'（x）＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. ∵当0＜x＜20时，V'（x）＞0； 当20＜x＜30时，V'（x）＜0. ∴V（x）在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值. ∴底面边长为 x＝20 （cm），高为 （30－x）＝10 （cm）， 即高与底面边长的比值为 . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时底面边 长为（　　） A. B. C. D. 2 解析： 　设底面边长为x，则表面积S＝ x2＋ V（x＞0），∴S'＝ （x3－4V）.由S'＝0，得x＝ ，可判断当x＝ 时，S取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　） A. π B. π C. π D. π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l， ∴h＝ ，V＝πr2h＝ πr2l－2πr3 .则V'＝lπr－6πr2，令V' ＝0，得r＝0或r＝ ，而r＞0，∴r＝ 是其唯一的极值点.∴r＝ 是其最 值点.当0＜r＜ 时，V'＞0，当 ＜r＜ 时，V'＜0，∴当r＝ 时，V取得 最大值，最大值为 π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 （　　） A. 6 m B. 8 m C. 4 m D. 2 m 解析： 　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝ .所 用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x· ＋x2＝ ＋x2.S'＝ 2x－ ，令S'＝0，得x＝8，易判断x＝8是S的最小值点，因此h＝ ＝4（m）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成 本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）＝ 则当总利润P（x）最大时，每年生产产品 的单位数是（　　） A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意得，总利润 P（x）＝ 当0≤x≤390时，令P'（x）＝0，得x＝300，可知当0≤x＜300时，P （x）单调递增，当300＜x≤390时，P（x）单调递减，则x＝300时，P （x）取极大值，P（300）＝40 000，且P（390）＝31 090.又当x＞390 时，P（x）＝50 090－100x单调递减，且P（x）＜50 090－100×390＝ 11 090，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定 为p（单位：元，p≥20），销售量为Q（单位：件），销售量Q与零售 价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润（毛利 润＝销售收入－进货支出）为（　　） A. 30 000元 B. 60 000元 C. 28 000元 D. 23 000元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－ 20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30 或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.当20≤p＜30时，L'（p） ＞0，当p＞30时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的 意义知，L（30） 也是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为 23 000元.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的 长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则（　　） A. 长方体的体积V（x）＝（6x2－9x3）m3 B. 长方体的最大体积V＝3 m3 C. 长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m D. 长方体的体积最大时，高为1.5 m √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　若长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝ ＝ － 3x ，故长方体的体积为V（x）＝2x2 ＝9x2－ 6x3 ，故A错误；从而V'（x）＝18x－18x2＝18x（1－x），令 V'（x）＝0，解得x＝1或x＝0（舍去）.当0＜x＜1时，V'（x）＞0；当1 ＜x＜ 时，V'（x）＜0，故在x＝1处V（x）取得极大值，并且这个极大 值就是V（x）的最大值，从而最大体积V＝V（1）＝9×12－6×13＝3 （m3），此时长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m，故B、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一 年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝ 吨. 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝ ，∴总运费与总存储 费之和f（x）＝4n＋4x＝ ＋4x，令f'（x）＝4－ ＝0，解得x＝ 20，x＝－20（舍去），可判断x＝20是函数f（x）的最小值点，故当x＝ 20时，f（x）最小. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（L）关于 行驶速度x （km/h）的函数关系式可以表示为y＝ x3－ x＋8，x∈ （0，120]，且甲、乙两地相距100 km，则当汽车以 km/h的速度匀 速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少. 80　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析：当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 h，设从甲地到乙 地的耗油量为s L，依题意得s＝ · ＝ x2＋ － （0＜x≤120），则s'＝ － ＝ （0＜x≤120）.令s'＝0， 得x＝80，当x∈（0，80）时，s'＜0；当x∈（80，120]时，s'＞0，所以 当x＝80时，s取最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 建造一座长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f（x）＝ （x2＋x＋3）（x＞0）. （1）当x从100变到200时，平均每米的成本为 万元； 解析： f（100）＝1 010.3，f（200）＝4 020.3，所以 ＝30.1（万元/m），即平均每米的成本为30.1 万元. （2）f'（100）＝ 万元/m，其实际意义为 ⁠ ⁠. 解析： f'（x）＝ （2x＋1），所以f'（100）＝20.1，即当长度为 100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元. 30.1　 20.1　 当长度为100 m时，每 增加1 m的长度，成本就增加20.1万元　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线 长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高AO1为 x，储粮仓的体积为y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）求y关于x的函数解析式；（圆周率用π表示） 解： ∵圆锥和圆柱的底面半径r＝ ， 0＜x＜2， ∴y＝πr2×2＋ πr2x＝2π（4－x2）＋ π（4－x2）x. 即y＝－ πx3－2πx2＋ πx＋8π（0＜x＜2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求AO1为何值时，储粮仓的体积最大. 解： y'＝－πx2－4πx＋ π， 令y'＝－πx2－4πx＋ π＝－π ＝0（0＜x＜2），得x＝－2＋ . 当x变化时，y'，y的变化情况如下表： x ​ －2＋ ​ y' ＋ 0 － y ↗ 极大值 ↘ 故当AO1＝－2＋ 时，储粮仓的体积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为 B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油 管道中转站M. 已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要 使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离 应为（　　） A. 5 海里 B. 海里 C. 5海里 D. 10海里 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设BM＝x（0＜x＜100），并设陆地上单位长度的费用为1，则 AM＝ ，MC＝100－x，所以总费用为f（x）＝3 ＋ 100－x，则f'（x）＝ －1，令f'（x）＞0，则 ＜x＜100，即f （x）在 上单调递增；令f'（x）＜0，则0＜x＜ ，即f （x）在 上单调递减，所以当x＝ 时，f（x）取得最小值.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万 千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元.销售额y（单位：万元）与莲 藕种植量x（单位：万千克）满足y＝－ x3＋ax2＋x（a为常数），若种 植3万千克，销售利润是 万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕 （　　） A. 6万千克 B. 8万千克 C. 7万千克 D. 9万千克 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g（x）万元，则g （x）＝－ x3＋ax2＋x－2－x＝－ x3＋ax2－2（0＜x≤10）.因为g （3）＝－ ×33＋a×32－2＝ ，所以a＝2，则g（x）＝－ x3＋2x2－ 2，求导得g'（x）＝－ x2＋4x＝－ x（x－8），当x∈（0，8）时，g' （x）＞0，当x∈（8，10）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，8）上 单调递增，在（8，10）上单调递减，所以当x＝8时，g（x）取得最大 值，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋ x3，又产品单价的 平方与产品件数x成反比，销售100件这样的产品的单价为50元，总利润最 大时，产量应定为 件. 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x ＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝ .总利润y＝500 － x3－1 200（x＞0），y'＝ － x2，由y'＝0，得x＝25，当x∈（0，25） 时，y'＞0，当x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为 最大值. 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层 建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热 层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝ （0≤x≤10），若不建 隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f（x）为隔热层建造费用与20年的 能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： 由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝ （0≤x≤10），再 由C（0）＝8，得k＝40， 因此C（x）＝ . 而建造费用为C1（x）＝6x. 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）＝20C（x）＋ C1（x）＝20× ＋6x＝ ＋6x（0≤x≤10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求最小值. 解： f'（x）＝6－ ， 令f'（x）＝0，即 ＝6， 解得x＝5或x＝－ （舍去）. 当0≤x＜5时，f'（x）＜0， 当5＜x≤10时，f'（x）＞0， 故x＝5是f（x）的极小值点也是最小值点， 故最小值为f（5）＝6×5＋ ＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状 是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）.当帐篷的体积最大时，帐篷的顶 点O到底面中心O1的距离为（　　） A. 1 m B. m C. 2 m D. 3 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　设OO1为x m，则1＜x＜4，设底面正六边形的面积为S m2，帐 篷的体积为V m3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为 ＝ （m），于是S＝6× （ ）2＝ （8＋2x－ x2），所以V＝ × （8＋2x－x2）（x－1）＋ ×（8＋2x－x2）＝ （8＋2x－x2）·[（x－1）＋3]＝ （16＋12x－x3）（1＜x＜4），则 V'＝ （12－3x2）.令V'＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去）.当1＜x＜2 时，V'＞0，V单调递增；当2＜x＜4时，V'＜0，V单调递减.所以当x＝2 时，V最大.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷 底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO'为铅垂线（O'在AB上）.经 测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO'的距离a （米）之间满足关系式h1＝ a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2 （米）与F到OO'的距离b（米）之间满足关系式h2＝－ b3＋6b.已知 点B到OO'的距离为40米. （1）求桥AB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解： 作AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直， A1，B1，D1，F1是相应垂足. 由条件知，当O'B＝40时， BB1＝－ ×403＋6×40＝160，则AA1＝160. 由 O'A2＝160，得O'A＝80. 所以AB＝O'A＋O'B＝80＋40＝120（米）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，且CE为80米，其 中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD 每米造价 k（万元）（k＞0），问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造 价最低？ 解： 以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标 系xOy（如图所示）. 设F（x，y2），x∈（0，40），则y2＝－ x3＋6x， EF＝160－y2＝160＋ x3－6x. 因为CE＝80，所以O'C＝80－x. 设D（x－80，y1），则y1＝ （80－x）2， 所以CD＝160－y1＝160－ （80－x）2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ＝－ x2＋4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f（x），则f（x）＝ k ＋ k ＝k （0＜x＜40）. f'（x）＝k ＝ x（x－20）， 令f'（x）＝0，得x＝20. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 x （0，20） 20 （20，40） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝20时，f（x）取得最小值. 所以当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $