精品解析：北京汇文中学朝阳垂杨柳分校2023-2024学年第二学期 八年级数学学科期中质量监测试卷 2024.4

北京汇文中学朝阳垂杨柳分校2023－2024学年第二学期 初二年级数学学科期中质量监测试卷 2024.4 （考试时间90分钟，满分100分） 考生须知： 1．本试卷共5页，共27道题 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和考号 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1－8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. 0.6km B. 1.2km C. 1.5km D. 2.4km 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ） A. 60 B. 30 C. 24 D. 15 7. 下列选项中，矩形具有的性质是(　　) A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 8. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 9. 下列说法中错误的是（　　） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 10. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 计算：=______． 12. 如图，字母B所代表的正方形的面积是______． 13. 若，则_____，_____． 14. 如图，在中，若，则_____°． 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 16. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 18. 如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) ①； ②当E为中点时，﹔ ③若，则； ④若，则面积的最大值为2． 三、解答题（本题共46分，第19－26题每小题5分，第27题6分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 如图，在中，于点D，．求： （1）的长； （2）的长． 22. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）则_____，_____，_____； （2）求证：． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长． 25. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图， ①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的 延长线于点B； ②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC； ③以点B为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点Q； ④作直线PQ． 所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵PB＝PA，BC＝　　，BQ＝PB， ∴PB＝PA＝BQ＝　　． ∴PQ∥l（　　）（填推理的依据）． 26. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 27. 如图，在正方形ABCD外有一点P，满足，以AP，AD为邻边作． （1）如图1，根据题目要求补全图形； （2）连接QC，求的度数； （3）连接AQ，猜线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学朝阳垂杨柳分校2023－2024学年第二学期 初二年级数学学科期中质量监测试卷 2024.4 （考试时间90分钟，满分100分） 考生须知： 1．本试卷共5页，共27道题 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和考号 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1－8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，再解不等式即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. 0.6km B. 1.2km C. 1.5km D. 2.4km 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 为的中点， ， ， ， 故选：． 【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系和勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，不能构成三角形，不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 5. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 对于C选项：的被开方数2不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于D选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 6. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ） A. 60 B. 30 C. 24 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：菱形的面积= ×6×10=30， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 7. 下列选项中，矩形具有的性质是(　　) A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质逐项分析即可. 【详解】A. 四边相等是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意； B. 对角线互相垂直是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意； C. 对角线相等是是矩形的性质，故符合题意； D. 每条对角线平分一组对角是菱形的性质，不是矩形的性质，故不符合题意； 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的性质：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分； 8. 如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9. 下列说法中错误的是（　　） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等平分进行判定即可得出结论． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确； 综上所述，B符合题意， 故选B． 【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 10. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】 理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AB2=12+22=5, AC2=22+42=20, AD2=12+32=10, BC2=52=25, CD2=12+32=10, BD2=12+22=5， ∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2， ∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形， 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 12. 如图，字母B所代表的正方形的面积是______． 【答案】144 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的值，即可求出字母B所代表的正方形的面积． 【详解】如图所示： ∵，， 根据勾股定理得：， ∴， 故字母B所代表的正方形的面积是144， 故答案为144． 【点睛】本题考查了勾股定理，最快的方法就是直接，也可以将a，b，c的长度全部求出来，解题的关键是正确使用勾股定理． 13. 若，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此列方程求解和的值． 【详解】解：因为算术平方根，绝对值，且， ∴，即，解得； ，即，解得． 14. 如图，在中，若，则_____°． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据平行四边形对角相等可得 15. 如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 16. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合已知得出是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 18. 如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) ①； ②当E为中点时，﹔ ③若，则； ④若，则面积的最大值为2． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可判断①正确；证得△ACD是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判断②正确；证得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得，则，则面积的最大值为2，即可判断④正确． 【详解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=BD=AD， ∴∠DCB=∠DBC， ∴∠ADC=2∠DCB， ∵AE⊥CD于点E， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∵∠ACE+∠DCB=90°， ∴∠CAE=∠DCB， ∴∠ADC=2∠CAE，故①正确； 当E为CD中点时，∵AE⊥CD， ∴AC=AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴BC=AC，故②正确； 作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM， ∴∠DAE=∠DBM， ∵∠ADE=∠BDM，AD=BD， ∴△ADE≌△BDM（AAS）， ∴DE=DM， 若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确； ∵△ADE≌△BDM， ∴AE=BM，DE=DM， ∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE， 若AB=4，则AD=2， 在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2， 即的最大值值为1， ∴△ABE面积的最大值为2，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共46分，第19－26题每小题5分，第27题6分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】运用二次根式的除法法则化简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：      ． 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】运用平方差公式和二次根式的性质进行计算．先计算乘法部分．再计算二次根式．最后求和即可． 【详解】解 ： 21. 如图，在中，于点D，．求： （1）的长； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：在中，． 根据勾股定理可知：， ； 【小问2详解】 解：∵， ． ． 22. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）则_____，_____，_____； （2）求证：． 【答案】（1）；； （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：依题意，，， 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4-FC，再根据勾股定理的知识，即可求出答案． 【详解】解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3． 在矩形ABCD中，DC=AB=5． ∴CE=DC-DE=2． 设FC=x，则EF=4-x． 在Rt△CEF中，x2+22=（4-x）2． 解得x＝． 即FC=． 【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等． 25. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法：如图， ①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的 延长线于点B； ②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC； ③以点B为圆心，BP长为半径画弧，交BC于点Q； ④作直线PQ． 所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：∵PB＝PA，BC＝　　，BQ＝PB， ∴PB＝PA＝BQ＝　　． ∴PQ∥l（　　）（填推理的依据）． 【答案】（1）详见解析；（2）BA，QC，三角形的中位线定理 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形． （2）利用三角形的中位线定理证明即可． 【详解】解：（1）直线PQ即为所求． （2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB， ∴PB＝PA＝BQ＝QC． ∴PQ∥l（三角形的中位线定理）． 故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 26. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【详解】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴▱BECD是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 27. 如图，在正方形ABCD外有一点P，满足，以AP，AD为邻边作． （1）如图1，根据题目要求补全图形； （2）连接QC，求的度数； （3）连接AQ，猜线段AQ，PQ和PB之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析； （2）45度； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的作法，过点P作PQ∥AD，过点D作DQ∥AP，PQ、DQ相交于点Q，即可得出平行四边形； （2）连接CQ，根据平行四边形的判定定理可得PQCB为平行四边形，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （3）过点D作DH⊥DQ交QC于点H，得出点Q、C、H在同一直线上，DQ=DH，根据全等三角形的判定和性质可得∆AQD≅∆CHD，AD=DC=PQ，AQ=CH，线段AQ、PQ、PB之间的数量关系转化为CH、DC、QC之间的关系，过点D作DE⊥QH，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DE=QE=EH=，结合图形、勾股定理及各线段间的数量关系即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作PQ∥AD，过点D作DQ∥AP，PQ、DQ相交于点Q，四边形APQD即为所求； 【小问2详解】 连接CQ，如图所示， ∵APQD为平行四边形， ∴AD∥PQ，AD=PQ， ∵AD∥BC，AD=BC， ∴PQ∥BC，PQ=DC， ∴PQCB为平行四边形， ∴∠PQD+∠APQ=180°，∠QPB+∠PQC=180°， ∵∠APB=∠APQ+∠QPB=45°，∠PQD+∠PQC+∠DQC=360°， ∴∠DQC=45°； 【小问3详解】 过点D作DH⊥DQ交QC于点H， ∵∠DQC=45°， ∴∠DHC=45°， ∴DQ=DH， ∴∆DQH为等腰直角三角形， ∴∠QDH=∠ADC=90°， ∴∠ADQ+∠QDC=∠HDC+∠QDC， ∴∠ADQ=∠HDC， 在∆AQD与∆CHD中， ， ∴∆AQD≅∆CHD， ∴AD=DC=PQ，AQ=CH， 由（2）得PQCB为平行四边形， ∴PB=CQ， 线段AQ、PQ、PB之间的数量关系转化为CH、DC、QC之间的关系， 过点D作DE⊥QH， ∴DE=QE=EH=， ∴CE=EH-CH=， ∴， 即， ∴线段AQ、PQ、PB之间的数量关系为． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $