5.1.1变化率问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.体会极限思想 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。而今天所要学习的导数就是计算微积分的基础工具。 牛 顿 莱 布 尼 茨 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想； 导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 平均速度 问题探究 思考2：平均速度可以准确描述运动员的运动状态吗？ 问题一：跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系: 思考1：为了描述运动员从起跳到入水的过程中运动状态，你能求该运动员在, ， 内的平均速度吗？ 请计算对应时间段的平均速度： 新知探究： 思考 追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬间速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 当时，在时间段内 当时，在时间段内 = = 新知探究 问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当Δt <0时, 在时间段[1+Δt, 1]内 当Δt >0时, 在时间段[1, 1+Δt]内 Δt=-0.01 -4.951 Δt=0.01 -5.049 Δt=-0.001 -4.9951 Δt=0.001 -5.0049 Δt=-0.0001 -4.99951 Δt=0.0001 -5.00049 Δt=-0.00001 -4.999951 Δt=0.00001 -5.000049 Δt=-0.000001 -4.9999951 Δt=0.000001 -5.0000049 ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ 新知探究 归纳总结 归纳总结 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 课本P61 巩固练习 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 巩固练习 问题2 抛物线的切线的斜率 与研究瞬时速度类似, 为了研究抛物线f(x)=x2 在点P0 (1, 1)处的切线 , 我们通常在点P0(1, 1)的附近取一点P(x, x2) 考察抛物线f(x)=x2的割线P0P 的变化情况. 我们发现, 当点P无限趋近于点P0时，割线PP0无限趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 探究！我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f(x)=x2 在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率呢？ 从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在的联系. 记∆x=x-1, 则点P的坐标(1+ ∆x, (1+ ∆x)2)，于是割线P0P的斜率 k= = = ∆x+2 . 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精度，得到如下表格. 问题2：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？ 新知探究：抛物线的切线斜率 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kP0P→2. 可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： Δx <0 Δx>0 ∆x k=∆x+2 ∆x k=∆x+2 -0.01 1.99 0.01 2.01 -0.001 1.999 0.001 2.001 -0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 -0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 -0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 ∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙ 我们发现，当Δx无限趋近于0时 , 即无论 x从小于1的一边 , 还是从大于1的一边无限趋近于1时, 割线P0P的斜率k都无限趋近于 2. 概念形成 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．因此，切线P0T的斜率k0＝2． 抛物线的割线及切线的斜率 1.割线的斜率 2.切线的斜率 点P0(x0, f(x0))与P两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 概念形成 T 试求抛物线f(x)＝x2在点P0(﹣1，1)处的切线P0T的斜率. 巩固练习 解： 记点P的横坐标x＝﹣1＋Δx, 则P(﹣1＋Δx, (﹣1＋Δx)2). 于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(﹣1，1)处的切线斜率为﹣2. 在点 P0(2,4) 处的切线斜率呢？点(x0，x02)？ 巩固练习 例1 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 你学到了什么？ 1.抛物线切线的斜率 (2) 割线的斜率： (3) 切线的斜率： (1) 切线的定义： (4) 瞬时速度的几何意义. 切线 割线 无限逼近 取极限 2.研究方法 无限逼近的极限思想 课堂小结 1．求抛物线 f(x)＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程． 2. 求曲线y＝ x2－2在点(1，－ )处的切线的倾斜角． 解: 4x＋y﹣3=0 解: 45° 课堂补充练习 Lavf58.20.100 求运动物体瞬时速度的3个步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即 v＝s′(t0)＝ .　 $