第2章 二元一次方程组 综合能力评价测试 2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册

第2章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列方程中，属于二元一次方程的是(　B　) A.x＋xy=8 B.y=x－1 C.x＋=2 D.x2－2x＋1=0 2.方程组的解为(　A　) A. B. C. D. 3.已知是关于x，y的方程2x＋ay=6的一个解，则a的值为(　B　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 【解析】 ∵是关于x，y的方程2x＋ay=6的一个解，∴2×2－a=6，解得a=－2。 4.已知单项式xa－1y3与－3x－by2a＋b是同类项，则a，b的值为(　A　) A. B. C. D. 【解析】 由题意，得解得 5.已知关于x，y的方程组的解满足x＋y=k－1，则k=(　D　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 【解析】 ①＋②，得5x＋5y=2k＋1，即5(x＋y)=2k＋1。 ∵x＋y=k－1， ∴5(k－1)=2k＋1，解得k=2。 6.二元一次方程2x＋y=11的自然数解有(　C　) A.2个 B.5个 C.6个 D.无数个 【解析】 最小的自然数为0， 当x=0时，0＋y=11，解得y=11； 当x=1时，2＋y=11，解得y=9； 当x=2时，4＋y=11，解得y=7； 当x=3时，6＋y=11，解得y=5； 当x=4时，8＋y=11，解得y=3； 当x=5时，10＋y=11，解得y=1； 当x=6时，12＋y=11，解得y=－1(不合题意，舍去)， 易知当x＞6时均不合题意，故二元一次方程2x＋y=11的自然数解有6个。 7.为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分。若小红一共得到70分，则小红答对的题的个数为(　B　) A.14 B.15 C.16 D.17 【解析】 设小红答对的题的个数为x，答错或不答的题的个数为y。 由题意，得 解得 ∴小红答对的题的个数为15。 8.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶。根据题意，可列方程组为(　A　) A. B. C. D. 9.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的，另一根高出水面的长度是它的。若两根铁棒长度之和为110 cm，则此时木桶中水的深度为(　C　) A.60 cm B.50 cm C.40 cm D.30 cm 【解析】 设较长的铁棒长度为x(cm)，较短的铁棒长度为y(cm)。 由题意，得 解得 ∴x=40，即木桶中水的深度是40 cm。 10.下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是(　C　) ①是方程组的解； ②无论a取什么实数，x＋y的值始终不变； ③当a=－2时，x与y相等。 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】 把代入x＋3y=4－a，得5－3=4－a， 解得a=2。 把代入x－5y=3a，得5＋5=3a，解得a=，矛盾，①错误。 解方程得 ∴x＋y=3， 故无论a取什么实数，x＋y的值始终不变，②正确。 把a=－2代入方程组， 得 两式相加，得2x－2y=0， ∴x=y，③正确。 综上所述，正确的是②③。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)写出一个以为解的二元一次方程组： (答案不唯一)　。  12.(3分)已知方程组则x＋y=　6　。  【解析】 ①＋②，得5x＋5y=30， ∴5(x＋y)=30， ∴x＋y=6。 13.(3分)如果方程组的解与方程组的解相同，那么a=　－1　，b=　2　。  【解析】 由题意，把代入 得 解得 14.(3分)对于有理数x，y，定义新运算“※”：x※y=ax＋by＋1(a，b为常数)。若3※4=9，4※7=5，则7※11=　13　。  【解析】 ∵3※4=9，4※7=5， ∴根据题中的新定义化简，可得 ①＋②，得7a＋11b=12， 则7※11 =7a＋11b＋1 =12＋1 =13。 15.(3分)《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，若每3人同乘一辆车，则最终剩余2辆空车；若每2人同乘一辆车，则最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，则由题意可列方程组为 　。  16.(3分)若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为 　。  【解析】 ∵关于x，y的方程组的解为 ∴关于x，y的方程组中 解得 ∴所求方程组的解为 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)解下列方程组： (1)(4分) (2)(4分) 解：(1) ①×3＋②×4，得17x=68，解得x=4。 把x=4代入①，得12－4y=24，解得y=－3， ∴原方程组的解为 (2)方程组整理，得 ①－②，得4y=0，解得y=0。 把y=0代入①，得2x=5， 解得x=，∴原方程组的解为 18.(8分)已知二元一次方程2x＋5y=24。 (1)(4分)写出此方程的所有正整数解。 (2)(4分)若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在括号处补上一个方程，并求出此方程组的解。 解：(1)当x=2时，4＋5y=24，y=4； 当x=7时，14＋5y=24，y=2； ∴方程2x＋5y=24的正整数为 (2)∵方程组的解互为相反数， ∴x=－y， 把x=－y代入2x＋5y=24， 得－2y＋5y=24， 解得y=8， ∴x=－8。 ∵2×(－8)＋3×8=－16＋24=8， ∴括号处补的方程可以为2x＋3y=8， ∴方程组为方程组的解为 19.(8分)阅读以下内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 解：由①，得y=。③　第一步 把③代入①，得7x－2×=3，　第二步 整理，得3=3，　第三步 ∴x可取一切实数，原方程组有无数个解。　第四步 (1)(2分)以上解法中，出现错误的是第　二　步。  (2)(6分)用加减法解这个方程组。 解：(2)①－②，得6x=15， 解得x=。 把x=代入①，得－2y=3， 解得y=， ∴原方程组的解是 20.(8分)解方程组时，一位马虎的学生把c写错而得而正确的解为求a＋b－c的值。 解：把和分别代入ax＋by=2，得 ①＋②，得－b=4，解得b=－4。 把b=－4代入①，得－3a－4=2， 解得a=－2。 把代入cx＋5y=8，得3c－10=8，解得c=6， ∴a＋b－c=－2－4－6=－12。 21.(8分)如图，在大长方形ABCD中，放入6个相同的小长方形，已知BC=11，DE=7。 (1)(4分)设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值。 (2)(4分)求图中阴影部分的面积。 解：(1)由题意，得解得 (2)S阴影=11×(8＋1)－6×1×8=51。 22.(10分)小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A 的数量/个 购买商品B 的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1 140 第二次购物 3 7 1 110 第三次购物 9 8 1 062 (1)(2分)小林以折扣价购买商品A，B是第　三　次购物。  (2)(4分)求出商品A，B的标价。 (3)(4分)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 解：(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 由题意，得解得 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元。 (3)设商店是打a折出售这两种商品的， 由题意，得(9×90＋8×120)×=1 062， 解得a=6。 答：商店是打六折出售这两种商品的。 23.(10分)我们定义一个新的概念：“平衡数对”，对于给定的两个数a和b，当且仅当满足等式3a＋2b=5(a－b)＋10时，我们称数对(a，b)为“平衡数对”。并且，若存在另一个数对(c，d)，使得c=a＋b，d=a－b，我们称数对(c，d)为(a，b)的“衍生数对”。 (1)(2分)判断(5，2)是否为“平衡数对”，并说明理由。 (2)(4分)已知数对(x，3)是“平衡数对”，求该数对的“衍生数对”。 (3)(4分)若数对(m，n)是“平衡数对”，且其“衍生数对”(p，q)满足条件：2p＋3q=15，求m和n的值。 解：(1)(5，2)不是“平衡数对”。理由如下： 由题意，a=5，b=2， ∴3a＋2b=3×5＋2×2=19， 5(a－b)＋10=5×3＋10=25， 即3a＋2b≠5(a－b)＋10， ∴(5，2)不是“平衡数对”。 (2)∵(x，3)是“平衡数对”， ∴3x＋6=5(x－3)＋10， ∴x=5.5， ∴数对为(5.5，3)， ∴该数对的“衍生数对”为(5.5＋3，5.5－3)，即(8.5，2.5)。 (3)∵(m，n)是“平衡数对”， ∴3m＋2n=5(m－n)＋10， ∴－2m＋7n=10。① ∵(m，n)的“衍生数对”(p，q)， ∴p=m＋n，q=m－n。 又∵2p＋3q=15， ∴2(m＋n)＋3(m－n)=15， ∴5m－n=15，② ∴①＋②×7得，33m=115， ∴m=， ∴n=5m－15=。 24.(12分)根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图1所示的围栏搭建一块蔬菜基地。已知围栏的横杠长为20 dm，竖杠长为8 dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成。 图1 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏。已知这种规格的围栏材料每根长为60 dm，价格为50元/根。 续表 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 (1)(3分)一根60 dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？(余料作废) 方法①：当只裁剪8 dm长的用料时，最多可裁剪　7　根。  方法②：当先裁剪下1根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料　5　根。  方法③：当先裁剪下2根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料　2　根。  任务2 (2)(4分)要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为160 dm(即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠)。 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务。请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根60 dm长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 (3)(5分)如图2，劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根20 dm调整为每根16 dm，再将其中两根竖杠材料由每根8 dm调整为每根10 dm(其他三根竖杠长度不变)。 若要搭建任务2中所需的围栏长度(160 dm)，每根60 dm的材料恰好可裁下2根16 dm、a根8 dm、b根10 dm的用料(无剩余)或者若干根8 dm的用料(可剩余)。问：购买60 dm的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度。(剩余材料不可拼接) 图2 解：(1)方法①：60÷8=7(根)……4(dm)，即当只裁剪8 dm长的用料时，最多可裁剪7根； 方法②：(60－20)÷8=40÷8=5(根)，即当先裁剪下1根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料5根； 方法③：(60－2×20)÷8=2(根)……4(dm)，即当先裁剪下2根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料2根。 (2)设用方法②裁剪x根，用方法③裁剪y根， 由题意，得 解得 则用方法②裁剪6根，用方法③裁剪5根。 (3)由题意，得32＋8a＋10b=60，即4a＋5b=14， 则正整数解为a=1，b=2。 搭建160÷16=10(副)围栏共需20根16 dm的材料，20根10 dm的材料，30根8 dm的材料， 先买10根60 dm的材料可得20根16 dm的材料，10根8 dm的材料，20根10 dm的材料，则少20根8 dm的材料， 再买3根60 dm的材料，每根可得7根8 dm的材料， ∴剩余的长度为4＋4＋12=20 (dm)， 费用为(10＋3)×50=650(元)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.下列方程中，属于二元一次方程的是( ) A.x＋xy=8 B.y=x－1 C.x＋=2 D.x2－2x＋1=0 2.方程组的解为( ) A. B. C. D. 3.已知是关于x，y的方程2x＋ay=6的一个解，则a的值为( ) A.－3 B.－2 C.2 D.3 4.已知单项式xa－1y3与－3x－by2a＋b是同类项，则a，b的值为( ) A. B. C. D. 5.已知关于x，y的方程组的解满足x＋y=k－1，则k=( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 6.二元一次方程2x＋y=11的自然数解有( ) A.2个 B.5个 C.6个 D.无数个 7.为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分。若小红一共得到70分，则小红答对的题的个数为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 8.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶。根据题意，可列方程组为( ) A. B. C. D. 9.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的，另一根高出水面的长度是它的。若两根铁棒长度之和为110 cm，则此时木桶中水的深度为( ) A.60 cm B.50 cm C.40 cm D.30 cm 10.下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是( ) ①是方程组的解； ②无论a取什么实数，x＋y的值始终不变； ③当a=－2时，x与y相等。 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)写出一个以为解的二元一次方程组： 。  12.(3分)已知方程组则x＋y= 。  13.(3分)如果方程组的解与方程组的解相同，那么a= ，b= 。  14.(3分)对于有理数x，y，定义新运算“※”：x※y=ax＋by＋1(a，b为常数)。若3※4=9，4※7=5，则7※11= 。  15.(3分)《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，若每3人同乘一辆车，则最终剩余2辆空车；若每2人同乘一辆车，则最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，则由题意可列方程组为 。  16.(3分)若关于x，y的方程组的解为则关于x，y的方程组的解为 。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)解下列方程组： (1)(4分) (2)(4分) 18.(8分)已知二元一次方程2x＋5y=24。 (1)(4分)写出此方程的所有正整数解。 (2)(4分)若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在括号处补上一个方程，并求出此方程组的解。 19.(8分)阅读以下内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 解：由①，得y=。③　第一步 把③代入①，得7x－2×=3，　第二步 整理，得3=3，　第三步 ∴x可取一切实数，原方程组有无数个解。　第四步 (1)(2分)以上解法中，出现错误的是第 步。  (2)(6分)用加减法解这个方程组。 20.(8分)解方程组时，一位马虎的学生把c写错而得而正确的解为求a＋b－c的值。 21.(8分)如图，在大长方形ABCD中，放入6个相同的小长方形，已知BC=11，DE=7。 (1)(4分)设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值。 (2)(4分)求图中阴影部分的面积。 22.(10分)小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表： 购买商品A 的数量/个 购买商品B 的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1 140 第二次购物 3 7 1 110 第三次购物 9 8 1 062 (1)(2分)小林以折扣价购买商品A，B是第 次购物。  (2)(4分)求出商品A，B的标价。 (3)(4分)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 23.(10分)我们定义一个新的概念：“平衡数对”，对于给定的两个数a和b，当且仅当满足等式3a＋2b=5(a－b)＋10时，我们称数对(a，b)为“平衡数对”。并且，若存在另一个数对(c，d)，使得c=a＋b，d=a－b，我们称数对(c，d)为(a，b)的“衍生数对”。 (1)(2分)判断(5，2)是否为“平衡数对”，并说明理由。 (2)(4分)已知数对(x，3)是“平衡数对”，求该数对的“衍生数对”。 (3)(4分)若数对(m，n)是“平衡数对”，且其“衍生数对”(p，q)满足条件：2p＋3q=15，求m和n的值。 24.(12分)根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图1所示的围栏搭建一块蔬菜基地。已知围栏的横杠长为20 dm，竖杠长为8 dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成。 图1 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏。已知这种规格的围栏材料每根长为60 dm，价格为50元/根。 续表 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 (1)(3分)一根60 dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？(余料作废) 方法①：当只裁剪8 dm长的用料时，最多可裁剪 根。  方法②：当先裁剪下1根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料 根。  方法③：当先裁剪下2根20 dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8 dm长的用料 根。  任务2 (2)(4分)要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为160 dm(即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠)。 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务。请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根60 dm长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 (3)(5分)如图2，劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根20 dm调整为每根16 dm，再将其中两根竖杠材料由每根8 dm调整为每根10 dm(其他三根竖杠长度不变)。 若要搭建任务2中所需的围栏长度(160 dm)，每根60 dm的材料恰好可裁下2根16 dm、a根8 dm、b根10 dm的用料(无剩余)或者若干根8 dm的用料(可剩余)。问：购买60 dm的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度。(剩余材料不可拼接) 图2 学科网（北京）股份有限公司 $