第2章 三角恒等变换 章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

章末总结 第2章 三角恒等变换 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 知识梳理 03 01 02 专题归纳 命题点分析 知识梳理 01 4 专题归纳 02 专题1 三角恒等变换的常用策略 1 变角——角的代换或转化 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般 先寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 7 例1 (2025·河北省秦皇岛市模拟)已知，,则 的值 为_____. 思路点拨 题目中涉及三种不同的角： , , ，又 , .所以，可先进行角的转化，再合理地选择三 角公式进行恒等变形，最后计算得解. 【解析】 , . 8 2 变名——函数名称变换 对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，正确选用 三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率． 例2 (2025·吉林省长春外国语学校测试)当时，函数 的 最小值是___. 4 思路点拨 注意到函数表达式的分子与分母都是关于与 的二次齐次式，所 以，分子与分母同时除以便可将原函数转化为关于 的函数进行求解． 9 【解析】因为，所以 ， 又 , 所以（观察分母结构，套用二次函数模型） ， 当且仅当时等号成立,故 的最小值为4. . . 10 3 变幂——升幂与降幂变换 分析三角函数中的次幂，应是低次的升幂，还是高次的降幂，要充分结合题目中的 要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到解决问题的目的． 例3 已知 为第二象限角，且，则 的值为______. 【解析】 ， 又 为第二象限角，且,所以 ,所以 . 11 例4 (2025·河南省濮阳市外国语学校期末)已知函数 ,，求函数 的最大值及取得最大值时自 变量 的集合. 【解析】 , 当，，即，时，取得最大值 . 取得最大值时自变量的集合是, }. 12 三角函数式的化简，主要有以下几类：①对于和式，基本思路是降幂、消项和逆用 公式；②对于分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数 值；③对于二次根式，则需要运用倍角公式的变形.在具体过程中体现的则是化归的 思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化（“函数名”的“化同”）、角的变换 （“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”）等方法. 13 专题2 三角函数最值的常见求法 三角函数的最值是函数最值问题的重要组成部分，也是历年高考命题的重点.三角函 数的最值问题，不仅可以考查三角函数自身的基础知识，也与一次函数、二次函数、 不等式等重要知识有密切的联系.这类问题综合很多知识点，解题方法灵活多样，下 面我们来探讨一下三角函数最值的常见求法. 14 1 二次函数模型 对于 的最值，我们可以采用换元法转化为一元 二次函数来求解.事实上，令，则 ，显然原函数可 化为一元二次函数，问题转化为求二次函数在某一区间上的最值.注意 的取值范围应 与 的取值范围保持一致. 15 例5 若，求函数的最值及取得最值时相应的 的值. 16 【解析】 ， 令，则 . ， ， . 从而原函数化为 ， 问题转化为求关于的一元二次函数在区间 上的最值. 显然，由二次函数的性质知,当，即 时函数取得最小 值,为 ； 当，即时函数取得最大值,为 . 17 名师点评 当与 同时存在于一个式子里时，我们经常用上面的 方法来得到一元二次函数，从而求得最值.注意设时， 是有取值范 围的，这是很多学生容易忽略的，必须引起足够的重视. 18 2 化为某个角的一种三角函数的一次式 对于三角函数的性质，我们一般将原函数化为 或 的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究.我们采用的方法有： ①对于 型的函数，利用公式 , ；②对于 型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化 为低次的；③对于 型的函数，我们利用和差化积来解 决；④对于 型的函数，我们利用积化和差来解决. 19 例6 已知函数 . （1）求 的最小正周期和最小值; 【解析】 , 故的最小正周期为 ,最小值为 . 20 （2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函 数的图象.当,时，求 的值域. 【解析】由条件可知， . 当,时，有，从而，则 的取值 范围为, . 故在区间,上的值域是, . 21 名师点评 对于和式或者其他高次形式的三角函数式，我们需要通过各种方法转化为 某个角的一种三角函数的一次式.从而可以利用正、余弦函数的性质来研究我们要求 的三角函数的性质. 22 3 利用有界性求最值 对于形如 的函数，我们可以反解，然后利用三角函数的有界性得到最值. 例7 函数 的最大值为_ __. 【解析】去分母整理可得， ， 所以 ， 故 . 23 由，可得 . 下面验证等号可以取到. 当,即时,可取，令 ，则 成立. 故时，函数有最大值, . 名师点评 注意观察式子的特点，将这种类型的式子反解之后，可以利用辅助角公式 将含有正、余弦的式子化为一个式子，从而利用有界性得到函数的最值. 24 一题一课 一题看尽三角恒等变换背景下的解三角形最值或范围问题 例8 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足 . （1）若，，求 的面积. 【解析】由,,得, . 由正弦定理得,解得 , . 25 （2）若，求 的面积的最大值. 【解析】由余弦定理得 , ,当且仅当时取等号， , 故面积的最大值为 . （3）若，求 的周长的最大值. 【解析】由余弦定理得, ,即 ,即 , 当且仅当时等号成立，则 . 的周长为 , 故 周长的最大值为6. 26 （4）若,求 的最大值. 【解析】 , , , ,即, , 故的最大值为 . 27 （5）若为锐角三角形，求 的范围. 【解析】 , 为锐角三角形， , 又,, , ,即, . 28 （6）若，求 的最大值. 【解析】由正弦定理得， , , . （由（5）可知， ,代入 即可）,其中 . 故的最大值为 . . . 29 说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在第2.1.2节题型3中的 例8我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三角 形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出来）， 若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究一下， 借此体会数学问题中一题多变的奥秘. 30 一章一练 例9 新定义 友好角 (2025·北京市清华大学附属中学测试)若 ，则称 为 的“友好角”.已知 为锐角，则 在, 内的“友好角”的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 31 【解析】由 ， 可得 ， 则有 ， 所以 .（倍角公式的应用） 因为 为锐角，所以也为锐角，所以 ， 所以 ①. 又 ， 32 当或 ，即或 时， ，则①式成立，满足题意； 当且 ，即或 时， ， 则由①可得， ， 因为,, 均不等于零， 所以，所以 ， 因为，所以 ， 所以，即 . 综上，, , ，共有3个取值. 33 例10 新定义 切比雪夫多项式 [多选题](2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式 可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一 个次多项式 ，使得 ，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项 式的方法可得( ) ABD A. B. C. D. 34 【解析】对于A， . 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 令,可知 ，故A正确. 对于B， ． 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 35 令,可知 ，故B正确. 对于D，因为 ， ，由 ,可得 ， ． 又 ，所以 ， 所以 ． 令，可知 ， 展开即得 ， 所以，解得 . 36 因为 ， 所以，所以 ，所以 ，故D正确. 对于C，假设，因为 ， ，所以假设不正确，故C错误．故选 ． 37 命题点分析 03 命题点1 三角恒等变换 例11 (2025·北京大学强基计划)若 , 是 的两解，且 ，求 . 【解析】, ， 两式作差可得， , 即， ， 39 所以或 ， 即或 ， 当时， ， ， 与 矛盾，舍去； 当时， . 故 . 40 例12 (2025·山东大学强基计划)已知,，， ， 求 的值. 【解析】， ， 平方求和 ， 化简得 ， ， ，即 ， 所以 . 41 例13 (2025·全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知 ，求 的值. 【解析】由条件知， ， 则或 ，即或 . 假设，则，则，但 ，相互矛盾， 因此只能是 ， 由，可得，所以， ， 所以 ， 又，所以化简得，解得 . 42 例14 (2023·浙江大学强基计划) ___. 【解析】原式 . 43 注意到 . 故原式 . 命题点2 三角恒等变换与解三角形的综合 例15 (2025·山东大学强基计划)在中，， ，最长边的边长为 1，求最短边的边长. 【解析】记中角,,的对边分别为,, . 由，可知 ， 所以，因为，所以 ， 即 是最短边， 因为， ， 解得 ，由正弦定理得 ， 即，所以 . 45 例16 (2022 ·全国高中数学联赛重庆市初赛)已知，，分别为三个内角，， 的 对边，，且，若为的中点，求 长 的最小值. 【解析】由正弦定理可知 即为 . 再由和差化积公式可知 ，即 ， 46 再由积化和差公式可知 ，即，即，则 ， 此时 ， 再由余弦定理和基本不等式可知 ，即 ，此时 ， 所以,当且仅当时，等号成立.故长的最小值为 . 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 48 $