1.2 向量的加法课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.2 向量的加法 第1章 平面向量及其应用 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的加法 1 向量加法的定义及两个重要法则 定义 求向量和的运算称为向量的加法. 向量加法的 三角形法则 前提 已知平面上两个向量, . 作法 在该平面上任取一点,分别作, . 结论 定义从到的向量为，的和（也称为, 的和向 量），记作,即 . 图形 6 向量加法的 平行四边形 法则 前提 已知两个方向既不相同也不相反的非零向量, . 作法 从同一点出发作有向线段,,以, 为邻边作 平行四边形 . 结论 对角线就是与的和，即 . 图形 续表 7 辨析比较 向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系#1.1.1 法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 （1）强调“首尾相连”； （2）适用于所有的非零向量求和. （1）强调“共起点”； （2）仅适用于不共线的两个向量求 和. 联系 （1）向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义;（2）当两个向量不同向也不反向时，三角形法则和平行四边形法则 的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形 的一半. 8 2 零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即 . 如果两个向量之和为 ，即，则与大小相等，方向相反，即是 的相反向量，记作.当然也是的相反向量，因此 （这是对 “负负得正”的一个几何解释）. . . 9 3 向量加法的运算律 （1）加法交换律： 对任意 两个向量, 成立. 证明：如图1.2-1，设, . 以,为邻边作，则 , . 因为, ,所以 . 10 （2）加法结合律：对任意三个向量,, 成立. 证明：如图1.2-2，设,, . 因为 , , 所以 . 11 4 多个向量相加 图1.2-3 为了得到有限个向量的和，只需将这 些向量依次首尾相接，那么以第一个向量 的起点为起点，最后一个向量的终点为终 点的向量，就是这些向量的和，如图1.2-3 所示. 12 图1.2-4 特别提醒 1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广， 是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相 接”．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 2.当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为 0．如图 1.2-4，在边形 中，有 .运用以上结论也可以判断一个图形 是否为封闭图形. 13 学思用·典例详解 【想一想丨情景引入】 图1.2-8 从物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.当在 光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图1.2-8 所示，物体会沿着或 的方向运动吗?如果不会，物体的运动方向 将是怎样的? 提示 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则，因此，情 景中的物体不会沿着或的方向运动，其会沿着以, 为邻边的平行四边形 （记为四边形）的对角线对应的向量 的方向运动.从力的合成得到启发，本 节引入了向量加法的平行四边形法则. 14 图1.2-9 例1-1 (2025·湖南省娄底市期末)如图1.2-9所示的方格纸中有格点 ，，，，，，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以，为邻边作平行四边形，可知 为所作平行四边 形的对角线，故由平行四边形法则可知对应的向量 即所求向 量. 15 例1-2 [教材改编P10 T1]如图1.2-10,已知向量,,,作向量 . 图1.2-10 16 图1.2-11 【解析】 （三角形法则） 如图1.2-11（1）,在平 面内作,,则 ； 再作,则 . （平行四边形法则） 如图1.2-11（2）,在平面内 作,,以与为邻边作平行四边形 , 则 ； 再作,以与为邻边作平行四边形,则 . 17 图1.2-12 例1-3 (2025·山东省春季高考研究联合体联考)如图1.2-12， 在矩形中， ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （三角形法则） 在矩形 中， （平行四边形法则） . ，则 . 18 知识点2 向量的减法运算 1 向量减法的定义 已知两个向量,，求满足 ，这样的运算叫作向量的减法，记为 ,称为与 之差. 也可以由向量加法运算来理解向量减法运算，即减去一个向量 ，等于加上它的 相反向量，即 . 19 2 向量减法的物理意义 图1.2-5 如图1.2-5，任取一点，由物理学知识可知，点， 的位置由 点分别到，的两个向量，唯一表示.将， 分别称为 点，的位置向量，则它们分别代表了， 两点的位置，于是 的物理意义就是:位置的改变量 终点的位置向量 起点的位置向量 . 图1.2-6 知识剖析 1.作非零向量,的差向量 ,可以简记为“共起点,连 终点,指向被减”. 2.如图1.2-6,以，为邻边作平行四边形 ,则两条对角 线所对应的向量, ，这一结论在以后的学习 中应用非常广泛. . . . . 20 学思用·典例详解 例2-4 [教材改编P11例5]如图1.2-13，已知向量，，，求作向量 ． 图1.2-13 图1.2-14 【解析】如图1.2-14所示，以为起点分别作向量和 ，使 ，,连接，得向量；再以 为起点作向 量，使，连接，得向量．则向量 即所求作的向 量 ． 21 图1.2-15 例2-5 [多选题]如图1.2-15，在平行四边形 中，下列结论正确 的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】与是一对相等向量，因此有 ，故选项A结论正确；由向 量加法的平行四边形法则知，故选项B结论正确；由 ， 得，故选项C结论错误；与是一对相反向量，故 ， 故选项D结论正确. 22 释疑惑 重难拓展 知识点3 向量形式的三角不等式 （1）当向量，方向既不相同也不相反时，作， ，则 ,如图 1.2-7（1），根据三角形的三边关系，有 . （2）当与方向相同或， 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图1.2-7 （2），此时 ； 23 教材深挖POINT 该知识点是针对教材第13页【习题1.2】第7题的深挖. 当与方向相反或，中至少有一个为零向量时，不妨设 ，作法同上， 如图1.2-7（3），此时 . 故对于任意向量，，总有 ①． 由于 ， 所以 ， 即 ②． 图1.2-7 将①②两式结合起来，即 ，我们称之为向量形 式的三角不等式. 24 学思用·典例详解 例3-6 [多选题]已知为 内一点（不包含边界），则下列四个结论中正确的是 ( ) ABD A. B. C. D.若，，则的取值范围是 25 【解析】根据向量加法的三角形法则，得 ，故A正确； 由三角形的两边之和大于第三边，可知， , 故B正确，C不正确； 因为且为 内一点， 所以 , 即 ，故D正确. 26 题型解析 03 题型1 向量的加减法运算 例7（1）(2025·山西省大同市期中) ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ． 28 （2）[多选题](2025·广东省揭阳市期中)如图1.2-16，在平行四边形 中，下列计 算正确的是( ) BCD 图1.2-16 A. B. C. D. 【解析】 ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确．故选 ． 29 （3）[多选题](2025·河南省创新发展联盟段考)下列四式中能化简为 的是 ( ) ABC A. B. C. D. 【解析】（或 ），故 A符合； ，故B符合； ，故C符合； ，故D不符合． 故选 ． 30 例8 [教材改编P12练习 T2]根据图1.2-17解答下列各题： 图1.2-17 （1）用,,表示 ； 【解析】 . 31 （2）用,表示 ； 【解析】（此处容易错写为 .切记，差向量是从减向量 的终点指向被减向量的终点） . （3）用,,表示 ； 【解析】 . （4）用,表示 . 【解析】 . 【解析】由题图知，，，，， ，则 . . 32 33 向量加、减法运算的基本方法 （1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”. （2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算. （3）转化为同一起点的向量后，再进行加减运算. 34 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·福建省龙岩市期末)下列结果不是零向量的是( ) B A. B. C. D. 【解析】对于A，由 ； 对于B，由 ； 对于C，由 ； 对于D，由 . 35 题型2 向量加、减法几何意义的应用 例9 [教材改编P12习题1.2 T3]若向量,满足， ,则 ____. 36 图1.2-18 【解析】如图1.2-18,在平面内任取一点,作,,以 , 为邻边作平行四边形,则, . 因为,所以四边形 为矩形，所以 是直角三角形. 在中，, ， 所以 . 在平行四边形 中，由平行四边形的性质对角线的平方和等于四边的平 方和，得 ，即 ，解得，即 . 37 名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论，在解题中可以直接使用.在 中， 记， ，①对角线的平方和等于四边的平方和，即 ；②若，则平行四边形 为 矩形. 38 【学会了吗丨变式题】 2.(全国Ⅰ卷)设,为单位向量,且,则 ____. 【解析】如图D 1.2-1所示，设,,利用平行四边形法则得 , , 为正三角形, . 图 D 1.2-1 39 题型3 向量的实际应用 例10 (2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测 出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、 方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图1.2-19所示（线段长度代 表速度大小,单位: ）,则该时刻的真风为( ) 级数 2 3 4 5 名称 轻风 微风 和风 劲风 风速大小（单位： ） A A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 40 【解析】真风风速对应的向量 视风风速对应的向 量-船行风风速对应的向量视风风速对应的向量 船速对应的向量 ，如图1.2-20所示， . 名师点评 本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情 境，引入了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关 知识，考查学生应用数学知识和方法解决问题的能力. 例11 一条河两岸平行，河的宽度为 米，一个人从岸边游向对岸，已知他在静 水中游泳时速度为 米/分，水流速度为12米/分. 当此人垂直游向河对岸时，他实际前进速度为____米/分；当此人游泳距离最短时， 他游到河对岸需要____分． 24 20 图1.2-21 【解析】由图1.2-21（1）可知，当此人垂直游向对岸时， 他实际前进速度为 （米/分）； 如图1.2-21（2）时，当此人游泳距离最短时，他的实际 前进速度为 （米/分）， 故他游到河对岸需要 （分）. 42 例12 如图1.2-22，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子 上． ， ，求和 处所受拉力的大小.（忽略绳子重量） 图1.2-22 43 【解析】根据力的分解，画出图形，如图1.2-23所示. 图1.2-23 设，分别表示，所受的拉力，的重力用表示，则 ， 易得 ， ． 所以 ， ， 所以处所受的拉力的大小为，处所受的拉力的大小为 ． 44 题型4 向量形式的绝对值三角不等式的应用 例13 ［多选题］下列说法正确的是( ) AD A.若，同向，则有 B.若，不共线，则有 C. 恒成立 D.对任意两个向量，，总有 【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知，当， 同向时，有 ；当，不共线时，有；当， 是任意向量时， 有 ，故A，D正确，B错误. 当时， ，故C错误. 45 例14 已知，,则 的取值范围为_______. 【解析】因为,且, , 当与同向时， ; 当与反向时， ; 当与不共线时， . 所以的取值范围为 . 46 知识测评 04 1. ( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 2.(2025·山东省济南市月考)化简： ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 48 图1.2-1 3.新情境 八卦模型 (2025·四川省遂宁中学校月考)八卦体现了 中国古老文化的深奥概念．如图1.2-1所示的是八卦模型的平 面图形，该图为正八边形，其中 为正八边形的中 心，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得，, . 49 4.［多选题］(2025·江苏省无锡市月考)下列各式中能化简为 的有( ) BCD A. B. C. D. 【解析】 ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确．故选 ． 50 图1.2-2 5.［多选题］(2025·江苏省徐州市沛县调研)如图1.2-2，，， 分 别是的边，， 的中点，则( ) ACD A. B. C. D. 【解析】, , ，故A正确; ,故B错误； ,故C正确； ,故D正确. 51 6.如图1.2-3,在四边形中,设,,,则可用,, 表示为_____ _____. 图1.2-3 【解析】 . 52 图1.2-4 7.如图1.2-4，已知，，分别为的三边，， 的中 点.求证： . 【答案】由题意知, , , . ,,分别为三边,, 的中点，由平面几何知识可 知， , ， . 53 高考模拟 05 8.(2025·浙江省金华市期末)一艘船以的速度沿着与水流方向成 夹角的方 向航行，已知河水流速为，则经过 ，该船的实际航程为( ) B A. B. C. D. 图D 1.2-1 【解析】如图D 1.2-1所示，表示水流速度， 表示船在静水 中的速度，则 表示船的实际速度. 又,， ,则 , , 实际速度为,则实际航程为 . 55 9.［多选题］已知为等腰直角三角形，且 ，则下列命题正确的是 ( ) BCD A. B. C. D. 56 【解析】以，为邻边作平行四边形，由题意知其为正方形，连接 . ,,, 错误； ,,, 正确； ,,, 正确; , , 正确. 57 10.在中心为的正八边形中， , , ,则 ____. 【解析】如图D 1.2-2，， . 图D 1.2-2 58 11.若非零向量和满足，则的取值范围是______， 的取 值范围是______. 【解析】因为，且 是非零向 量，所以的取值范围是 . 因为 ，所以 ， . 又，且是非零向量，所以的取值范围是 .（【易错点】 若,则，此时,是以， 为边长的矩形的 对角线长，又矩形的对角线长不可能等于其边长，这与 相矛盾，故 ） 59 12.如图1.2-5所示，一架飞机从地按北偏东 的方向飞行到达 地，然后 又从地按南偏东 的方向飞行到达 地，求这架飞机飞行的路程及两次位 移的和（参考数据： ）. 图1.2-5 60 【答案】设,分别表示飞机从地按北偏东 的方向飞行，从 地按 南偏东 的方向飞行，则飞机飞行的路程指的是 ；两次位移 的和指的是 . 依题意，有， . 在中， , 所以 , 所以 ，即两次位移的和的方向为北偏东 . 从而飞机飞行的路程是,两次位移的和的大小为 ，方向为北偏东 . 61 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 62 $