2.7.1 实际问题中导数的意义 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.7.1 实际问题中导数的意义 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【情境导入】 【探究新知】 【典型例题】 例题1：物理应用——运动分析 情境一：历史回顾 情境二：生活实例 一、实际问题中导数意义的建模流程 二、常见实际问题的导数意义总结 例题2：经济应用——利润最大化 例题3：综合应用——容器设计 互动设计课程 学 习 目 标 能从实际问题中抽象出导数概念 返回主页 理解导数的实际意义：能从实际问题中抽象出导数概念，理解导数表示变化率的本质 掌握建模方法：能将实际问题转化为函数关系，并用导数分析解决问题 应用拓展：能利用导数解决速度、加速度、边际成本、增长率等实际问题 经历”实际问题→数学建模→导数求解→回归解释”的完整探究过程 体会导数作为研究变化率工具的强大功能，培养数学建模素养 情 境 引 入 返回主页 情境一：历史回顾 情境二：生活实例 情境一：历史回顾 牛顿与瞬时速度： 1665年，牛顿在研究天体运动时遇到一个问题：行星在某一时刻的速度如何计算？ 平均速度 = ，但当 时，平均速度的极限就是瞬时速度。 这正是导数的物理起源！今天我们来系统学习导数在实际问题中的意义。 情境二：生活实例 一杯热水的温度随时间变化，如何描述某一时刻温度的”冷却快慢”？ 问题1： 问题2： 某企业的生产成本随产量增加，如何确定”多生产一件产品”的额外成本？ 思考：这些问题都涉及”某一时刻的变化率”，如何用数学语言描述？ 师 生 互 动 返回主页 探究活动一：导数的物理意义——瞬时速度 探究活动二：导数的经济意义——边际成本 探究活动三：导数的一般意义——变化率 探究活动一：导数的物理意义——瞬时速度 一辆汽车沿直线运动，位移 （米）与时间 （秒）的关系为： 情境： 求汽车在 秒到 秒这段时间内的平均速度。 问题1 探究活动一：导数的物理意义——瞬时速度 如何精确描述汽车在 t=2 秒这一”瞬间”的速度？ 问题2 探究活动一：导数的物理意义——瞬时速度 归纳提升： 概念 数学表达 实际意义 平均速度 一段时间内的”平均快慢” 瞬时速度 某一时刻的”瞬时快慢” 加速度 速度变化的快慢 探究活动一：导数的物理意义——瞬时速度 关键理解： 导数的物理意义：位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是加速度。 探究活动二：导数的经济意义——边际成本 某工厂生产 件产品的总成本为： 情境 生产第101件产品的实际成本是多少？ 问题1： 探究活动二：导数的经济意义——边际成本 某工厂生产 件产品的总成本为： 情境 用导数近似计算”生产第100件产品时的边际成本”。 对比发现： 问题2： 概念 数学表达 经济意义 平均成本 每件产品的平均花费 边际成本 多生产一件产品的”额外成本”近似值 边际收益 多销售一件产品的额外收益 边际利润 多销售一件产品的额外利润 重要结论： 导数的经济意义：成本函数的导数是边际成本，表示产量为 x 时，再多生产一件产品所需成本的近似值。 当 C'(x)=0 时，边际成本为0，意味着增加产量几乎不增加成本（规模效应最优）。 探究活动三：导数的一般意义——变化率 完成下表，归纳导数在不同领域的意义 小组合作： 应用领域 函数关系 导数意义 实例 物理 瞬时速度 自由落体运动 物理 电流强度 电路中的电流 化学 反应速率 化学反应速度 生物 种群增长率 细菌繁殖速度 经济 边际成本 生产成本分析 地理 坡度/倾斜率 山坡陡峭程度 医学 药物浓度变化率 血药浓度监测 探 求 新 知 返回主页 一、实际问题中导数意义的建模流程 二、常见实际问题的导数意义总结 一、实际问题中导数意义的建模流程 实际问题 ↓ 抽象、量化 建立函数模型 y = f(x) ↓ 求导 计算导数 f'(x) ↓ 分析 解释导数的实际意义 ↓ 应用 解决实际问题（最值、变化趋势等） 二、常见实际问题的导数意义总结 原函数 导数 二阶导数 位移 速度 加速度 功 功率 — 电荷量 电流 — 动量 力 — 1. 物理学中的导数 二、常见实际问题的导数意义总结 2. 经济学中的导数 函数 导数意义 优化目标 成本函数 边际成本 求最小平均成本 收益函数 边际收益 求最大利润 利润函数 边际利润 时利润最大 需求函数 边际需求 价格弹性分析 典 例 铺 路 例题1：物理应用——运动分析 例题2：经济应用——利润最大化 例题3：综合应用——容器设计 例题1：物理应用——运动分析 一质点沿直线运动，其位移 （米）与时间 （秒）的关系为： （1）求 秒时的瞬时速度； （2）求速度为0的时刻； （3）求 上的最大位移。 题目 解： （1）速度函数： 负号表示方向与规定正方向相反。 （2）令 ： 规范解答： 例题2：经济应用——利润最大化 题目：某企业生产 件产品的总成本为 （元），销售价格为每件 （元）。求利润最大时的产量及最大利润。 题目 规范解答： 解： （1）建立利润函数： - 收益函数： - 利润函数： （2）定义域： 且 （3）求导分析： 令 ： （4）验证： - 当 时，，利润递增 - 当 时，，利润递减 是极大值点，也是最大值点。 规范解答： （5）计算最大利润： 经济解释： - 边际利润 - 当 时，，增加产量能增加利润 - 当 时，，增加产量反而减少利润 - 最优产量： 件，此时边际利润为0 答：产量为100件时利润最大，最大利润为1000元。 例题3：综合应用——容器设计 要设计一个容积为 的圆柱形无盖容器，如何设计底面半径 和高 ，才能使所用材料最省？ 题目 解： （1）建立目标函数： - 约束条件：（定值） - 目标函数（表面积）： （2）求导： （3）令 ： （4）验证： - 当 时， - 当 时， 是最小值点。 规范解答： （5）求高： 规范解答： 随 堂 演 练 返回主页 【1】 1. 一做直线运动的物体，其位移 （ 单位：秒， 单位：米）。 （1）求 秒时的瞬时速度； （2）求速度为0的时刻，并说明此时物体的运动状态。 【1】 解： （1）， m/s （2）令 ，得 秒 此时 米 物体到达最高点（或最远点），瞬间静止后反向运动。 【2】 2. 某商品的成本函数为 （元），需求函数为 （元/件），其中 为销售量。求边际利润为0时的销售量及此时的利润。 【2】 解： 收益： 利润： 边际利润： 令 ： 件 此时利润 元 答：销售量为750件时边际利润为0，此时利润为5425元。 【3】 3. 一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其容积最大，求漏斗的高。 【3】 解： 设高为 ，底面半径为 ，则 容积： 令 ： cm（舍去负值） 验证知此为最大值点。 答：高为 cm（约11.55cm）时容积最大。 【4】 4. 某工厂生产 吨产品的总成本为 （万元），每吨售价为9万元。求： （1）利润最大时的产量； （2）此时每吨的平均成本及边际成本。 【4】 解： （1）收益 ，利润 取 吨（另一根不在合理范围） 验证知此为最大值点。 【4】 （2）平均成本： 万元/吨 边际成本： 万元/吨 随 堂 检 测 返回主页 【1】 1. 一物体的运动方程为 （ 单位：m， 单位：s），则该物体在 s时的加速度为（　） A. 12 m/s² B. 21 m/s² C. 24 m/s² D. 48 m/s² 【1】 答案：C 解析：， m/s² 【2】 2. 某企业的利润函数为 （ 为产量，单位：万件），则获得最大利润时的产量为（　） A. 1万件 B. 3万件 C. 1万件或3万件 D. 无法确定 【2】 答案：B 解析： 得 或 （舍去） 当 时，；当 时， 是最大值点 【3】 3. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使两者面积之和最小，则正方形的周长应为（　） A. B. C. D. 【3】 答案：A 解析：设正方形周长为 ，则圆周长为 正方形边长 ，面积 圆半径 ，面积 总面积 【4】 4. 一做直线运动的物体，其位移 （），则该物体在 时的瞬时速度为 ______，加速度为 ______。 【4】 答案：； 解析：， ， 课 堂 小 结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 1.知识网络图 2.核心要点 3.思想方法 1.知识网络图 实际问题中导数的意义 ├── 物理意义 │ ├── 位移→速度：v = s'(t) │ ├── 速度→加速度：a = v'(t) = s''(t) │ └── 其他：功率、电流、力等 ├── 经济意义 │ ├── 边际成本：C'(x) │ ├── 边际收益：R'(x) │ ├── 边际利润：L'(x) = R'(x) - C'(x) │ └── 最优决策：L'(x) = 0 └── 一般意义 └── 瞬时变化率：f'(x) = lim) ├── 增长率（生物、人口） ├── 反应速率（化学） ├── 坡度（地理） └── 变化趋势分析 51 2.核心要点 一个本质：导数表示瞬时变化率 两类应用： 求变化快慢（速度、边际成本等） 求最优值（利润最大、成本最低等） 建模三步：实际问题→函数模型→导数求解→回归解释 优化关键：f'(x)=0 往往是最优解的临界点 52 3.思想方法 数形结合：通过函数图像理解变化趋势 数学建模：将实际问题抽象为数学问题 极限思想：从平均变化率到瞬时变化率 53 $